四年級奧數(shù)第四講-等差數(shù)列含答案

第四講等差數(shù)列一、知識點：1、數(shù)列：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做項，第一項稱為首項，最后一項稱為末項。數(shù)列中共有的項的個數(shù)叫做項數(shù)。2、等差數(shù)列與公差：一個數(shù)列，從第二項起，每一項與與它前一項的差都相等，這樣的數(shù)列的叫做等差數(shù)列，其中相鄰兩項的差叫做公差。3、常用公式等差數(shù)列的總和=〔首項+末項〕項數(shù)2項數(shù)=〔末項-首項〕公差+1末項=首項+公差〔項數(shù)-1〕首項=末項-公差〔項數(shù)-1〕公差=〔末項-首項〕〔項數(shù)-1〕等差數(shù)列〔奇數(shù)個數(shù)〕的總和=中間項項數(shù)二、典例剖析：例〔1〕在數(shù)列3、6、9……，201中，共有多少數(shù)？如果繼續(xù)寫下去，第201個數(shù)是多少？分析：〔1〕因為在這個等差數(shù)列中，首項=3，末項=201，公差=3，所以根據(jù)公式：項數(shù)=〔末項-首項〕公差+1,便可求出?！?〕根據(jù)公式：末項=首項+公差〔項數(shù)-1〕解：項數(shù)=〔201-3〕3+1=67末項=3+3〔201-1〕=603答：共有67個數(shù)，第201個數(shù)是603練一練：在等差數(shù)列中4、10、16、22、……中，第48項是多少？508是這個數(shù)列的第幾項？答案:第48項是286，508是第85項例〔2〕全部三位數(shù)的和是多少？分析：：所有的三位數(shù)就是從100~999共900個數(shù)，觀察100、101、102、……、998、999這一數(shù)列，發(fā)現(xiàn)這是一個公差為1的等差數(shù)列。要求和可以利用等差數(shù)列求和公式來解答。解：〔100+999〕9002=10999002=494550答：全部三位數(shù)的和是494550。練一練：求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。答案:1000例〔3〕求自然數(shù)中被10除余1的所有兩位數(shù)的和。分析一：在兩位數(shù)中，被10除余1最小的是11，最大的是91。從題意可知，此題是求等差數(shù)列11、21、31、……、91的和。它的項數(shù)是9，我們可以根據(jù)求和公式來計算。解一：11+21+31+……+91=〔11+91〕92=459分析二：根據(jù)求和公式得出等差數(shù)列11、21、31、……91的和是459，我們可以求得這9個數(shù)的平均數(shù)是4599=51，而51恰好是這個等差數(shù)列的第五項，即中間的一項(稱作中項)，由此我們又可得到S=中項n，但只能是項數(shù)是奇數(shù)時，等差數(shù)列有中項，才能用中項公式計算。解二：11+21+31+……+91=519=459答：和是459。練一練：求不超過500的所有被11整除的自然數(shù)的和。答案:11385例〔4〕求以下方陣中所有各數(shù)的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。分析一：這個方陣的每一橫行〔或豎行〕都各是一個等差數(shù)列，可先分別求出每一橫行〔或豎行〕數(shù)列之和，再求出這個方陣的和。解一：每一橫行數(shù)列之和：第一行：〔1+50〕502=1275第二行：〔2+51〕502=1325第三行：〔3+51〕502=1375……第四十九行：〔49+98〕502=3675第五十行：〔50+99〕502=3725方陣所有數(shù)之和：1275+1325+1375+……+3675+3725=〔1275+3725〕502=125000分析二：觀察每一橫行可以看出，從第二行起，每一行和都比前一行多50，所以可以先將第一行的和乘以50，再加上各行比第一行多出的數(shù)，這樣也能求得這個方陣所有數(shù)的和。解二：〔1+50〕50250=6375050〔1+2+3+……+49〕=50【〔1+49〕492】=6125063750+61250=125000答：這個方陣的和是125000練一練：求以下方陣中100個數(shù)的和。0、1、2、3、……8、9；1、2、3、4、……9、10；2、3、4、5、……10、11；……9、10、11、12、……17、18。答案:900例〔5〕班級男生進行扳手腕比賽，每個參賽男生都要和其他參賽選手扳一次。假設一共扳了105次，那么共有多少男生參加了這項比賽?分析：設共有幾個選手參加比賽，分別是A、A2、A3A、……An。從A開始按順序分析比賽場次：A必須和A2、A3、A4、……，An逐一比賽1場，共計〔n-1〕場；A2已和A賽過，他只需要和A3、A4、A5、……、An各賽1場，共計〔n-2〕場A3已和AA2賽過、他只需要和A4、A5、A6、……、An、各賽1場，共計〔n-3〕場。以此類推，最后An-1只能和An賽1場解：Sn=〔n-1〕+〔n-2〕+……+2+1=〔1+n-1〕〔n-1〕=n(n-1)〔場〕根據(jù)題意，Sn=105(場)，那么n〔n-1〕=210，因為n是正整數(shù)，通過試算法，可知1514=210.那么n=15,即共有15個男生參加了比賽。答：有15個男生參加了比賽。練一練：從1到50這50個連續(xù)自然數(shù)中，取兩數(shù)相加，使其和大于50，有多少種不同的取法？答案：625種例〔6〕假設干人圍成16圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)圈人數(shù)依次少6人，如果共有912人，問最外圈有多少人？最內(nèi)圈有多少人？分析：從條件912人圍成16圈，一圈套一圈，從外到內(nèi)各圈依次減少6人，也就是告訴我們這個等差數(shù)列的和是912，項數(shù)是16，公差是6。題目要求的是等差數(shù)列末項a-a=d(n-1)=6(16-1)=90(人)解：a+a=S2n=912216=114〔人〕外圈人數(shù)=〔90+114〕2=102〔人〕內(nèi)圈人數(shù)=〔114-90〕2=12〔人〕答：最外圈有102人，最內(nèi)圈有12人。練一練：假設干人圍成8圈，一圈套一圈，從外向內(nèi)各圈人數(shù)依次少4人，如果共有304人，最外圈有幾人？答案：52人模擬測試〔4〕一、填空題〔每題5分〕1、有一串數(shù)，第一個數(shù)是6，而后面的每一個數(shù)都比它前面的數(shù)大4，這串數(shù)中第2003個數(shù)是。2、等差數(shù)列0、3、6、9、12、……、45是這個數(shù)列的第項。從2開始的連續(xù)100個偶數(shù)的和是。3、一個劇院共有25排座位，從第一排起，以后每排都比前一排多2個座位，第25排有70個座位，這個劇院共有個座位。4、所有5、除以4余1的三位數(shù)的和是。6、時鐘在每個整點敲該鐘點數(shù)，每半點鐘敲一下，一晝夜這個時鐘一共敲下。7、一個五層書架共放了600本書，下面一層都比上面一層多10本書。最上面一層放本書，最下面一層放本書。8、從200到500之間能被7整除的各數(shù)之和是。9、在1949、1950、1951、……1987、1988、這40個自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和比所有奇數(shù)之和多。10、有一列數(shù)：1、2002、2001、1、2000、1999、1、……、從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都是它前面兩個數(shù)中大數(shù)減去小數(shù)的差，從第一個數(shù)開始到第2002個數(shù)為止這2002個數(shù)的和是。二、簡答題(每題10分)1、有10只金子，54個乒乓球，能不能把54個乒乓球放進盒子中去，使各盒子的乒乓球數(shù)不相等？2、小明家住在一條胡同里，胡同里的門牌號從1號開始摸著排下去。小明將全胡同的門牌號數(shù)進行口算求和，結果誤把1看成10，得到錯誤的結果為114，那么實際上全胡同有多少家？3、有一堆粗細均勻的圓木，堆成如以下圖的形狀，最上面一層有7根園木，每面下層增加1根，最下面一層有95根，問：這堆圓木一共有多少根？4、有一個六邊形點陣，如以下圖，它的中心是一個點，算做第一層，第二層每邊有兩個點，第三層每邊有三個點……這個六邊形點陣共100層，問，這個點陣共有多少個點？5、X+Y+Z=1993有多少組正整數(shù)解？模擬測試〔4〕解答一、填空題1、80146+4〔2003-1〕=6+42002=80142、16〔45-0〕3+1=453+1=163、10100末項=2+〔100+1〕2=200和=〔2+200〕1002=101004.1150a=70-(25-1)2=22(個)總座位數(shù)：〔22+70〕252=1150〔個〕5、123525所有除以4余1的三位數(shù)為：101、105、109、……997。項數(shù)：〔997-101〕4+1=225和：〔101+997〕2252=1235256、180〔1+12〕12+124=1312+24=180〔下〕7、100、140中間一層本數(shù)：6005=120〔本〕最上面一層：12-102=100〔本〕最下面一層：120+12=140〔本〕8、15050構成等差數(shù)列為：203、210、……、497。項數(shù)=〔497-203〕7+1=43數(shù)列和=〔203+497〕432=150509、20〔1950+1988〕202-〔1949+1987〕202=3938202-3936202=39380-39360=2010、1782225在原數(shù)列中，以數(shù)1為標志，把三個數(shù)看成一組，20023=667……1，其中2001個數(shù)分為667組，有667個1，因為余下的一個數(shù)恰為1，那么2002個數(shù)中有668個1，其余的數(shù)是2002那么669有1334個數(shù)。6681+〔2002+669〕13342=668+1781557=1782225二、簡答題1、解：答：題中要求辦不到。2、解：誤把1看成10，錯誤結果比正確結果多10-1=9，那么正確結果為114-9=105，即全胡同門牌號組成的數(shù)列求和為105設全胡同有n家，此數(shù)列為1、2、3……、n。數(shù)列求和：〔1+n〕n2=105〔1+n〕n=210將210分解：210=2357=1415那么n為14答：全胡同實際有14家。3、解：7+95=102〔根〕95-7+1=89〔層〕102892=4539〔根〕答：這堆圓木一共有4539根。4、解：第100層有點：6+〔99-1〕6=6+986=699=594〔個〕點陣只有點：1+〔6+594〕992=1+600992=29701〔個〕答：這個點陣共有點29701個。5、解：當X=1991時，那么Y+Z=2，Y=Z=1有1組當X=1990時，那么Y+Z=3，或