一元二次方程及應用

第8講一元二次方程及應用考點?梳理知識點【梳理】1.一元二次方程：只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是2，且系數(shù)不為0，這樣的方程叫一元二次方程.一般形式為ax2＋bx+c=0（a≠0）.其中二次項系數(shù)是a，一次項系數(shù)是b，常數(shù)項是c.2.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.考點1一元二次方程的有關(guān)概念及解法

配方法的一般步驟：①化二次項系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項系數(shù)；②移項，即使方程的左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；③配方，即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方；④化原方程為（x+m）2=n的形式；⑤如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解；如果n＜0，則原方程無解.（3）公式法：用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通過配方推導出來的.一元二次方程的求根公式是（4）因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.它的理論依據(jù)是兩式相乘積為0時至少有一個因式為0.因式分解法的步驟：①將方程右邊化為0；②將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；③令每個因式等于0，得到兩個一元一次方程，解這兩個一元一次方程，它們的解就是原一元二次方程的解.4.解一元二次方程時一般不使用配方法（除特別要求外），但又必須熟練掌握.解一元二次方程的一般順序是：直接開平方法→因式分解法→公式法.1.把一元二次方程3x2+1=7x化成一般形式是____________________.2.方程（m-2）xn-1+3mx+1=0是關(guān)于x的一元二次方程，則m_____，n________.3.方程axa-2=0是關(guān)于x的一元二次方程，則方程的根為________.典例精析3x2-7x+1=0≠2=324.把方程x2+6x+3=0變形為（x+h)2＝k的形式后，h=_____,k=_____.5.把方程x2-2x-1=0配方后可得_____________,然后開平方可得_______________.6.用公式法解方程x2+4x-2=0,可直接寫出x=_________________.7.把方程x2+x-2=0用因式分解法可化先化為_____________________,然后求得方程的根是______和________.36(x-1)2=2

(x-1)(x+2)=01－2【梳理】1.一元二次方程根的判別式（1）根的判別式：在一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，Δ=b2-4ac叫做它的根的判別式.（2）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情況與根的判別式之間的關(guān)系是：①Δ＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；考點2一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系②Δ=0方程有兩個相等的實數(shù)根；③Δ＜0方程沒有實數(shù)根.2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：設(shè)x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根，則x1+x2=________，x1x2=_______.3.以兩個實數(shù)x1，x2為根的一元二次方程（二次項系數(shù)為1）是x2-（x1＋x2）x＋x1x2＝0.

1.在方程3x2-6x+2=0中，Δ=(-6)2-4×3×2=12>0,方程有_________________的實數(shù)根.2.在設(shè)x1，x2是方程2x2+8x-2=0的兩根，則x1+x2=____，x1·x2=___，x12+x22=_______.3.已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為－3和－1，則p=______,q=_____.典例精析兩個不相等-4-11843【梳理】1.運用一元二次方程解決簡單的實際問題.2.了解數(shù)學解題中的方程思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和整體思想.一元二次方程的應用考點3某種商品經(jīng)過兩次降價后，價格為降價前的64%，則平均每次降價______%.典例精析20考點?聚焦寧夏中考

命題點1一元二次方程的解法C2.(2013·寧夏)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（）A.-1B.0C.1和2D.-1和2D3.(2018·紹興)解方程x2-2x-1=0.補充加練4.由多項式乘法：(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab，將該式從右到左使用，即可得到“十字相乘法”進行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).(1)嘗試：分解因式：x2+6x+8=(x+_______)(x+_______)；(2)應用：請用上述方法解方程：x2-3x-4=0.解：x2-3x-4=x2+(-4+1)x+(-4)×1=(x+1)(x-4)=0，∴x+1=0或x-4=0，∴x1=-1,x2=4.24

一元二次方程根的判別式命題點2

D

D8.（2018·山西）下列一元二次方程中，沒有實數(shù)根的是()A.x2-2x=0B.x2+4x-1=0C.2x2-4x+3=0D.3x2=5x-2補充加練C9.(2018·婁底)關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+k=0的根的情況是()A.有兩不相等實數(shù)根B.有兩相等實數(shù)根C.無實數(shù)根D.不能確定10.(2018·聊城)若關(guān)于x的方程(k-1)x2-2kx+k-3=0有兩個相等的實根，則k的值是________.A

一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系命題點3A12.(2018·宜賓)一元二次方程x2-2x=0的兩根分別是x1、x2，則x1x2為（）A.-2B.1C.2D.013.(2018·江西)若一元二次方程x2-4x+2=0的兩根為x1、x2，則x21-4x1+2x1x2的值為___________.補充加練D2

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16.（2018·寧夏）某企業(yè)2018年初獲利潤300萬元，到2020年初計劃利潤達到507萬元.設(shè)這兩年的年利潤平均增長率為x.應列方程是()A.300（1+x）=507B.300（1+x）2=507C.300（1+x）+300（1+x）2=507D.300+300（1+x）+300（1+x）2=507一元二次方程的應用命題點4B17.(2015·寧夏)如圖，某小區(qū)有一塊長為18m，寬為6m的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的矩形綠地，它們的面積之和為60m2，兩塊綠地之間及周邊留有寬度相等的人行通道.若設(shè)人行道的寬度為xm，則可以列出關(guān)于x的方程是()A.x2+9x-8=0B.x2-9x-8=0C.x2-9x+8=0D.2x2-9x+8=0C18.(2018·綿陽)酒會上，每兩人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，則參加酒會的有()A.9人B.10人C.11人D.12人補充加練C19.(2018·宜賓)某市從2017年開始大力發(fā)展“竹文化”旅游產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計，該市2017年“竹文化”旅游收入約為2億元.預計2019“竹文化”旅游收入達到2.88億元，據(jù)此估計該市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增長率約為()A.2%B.4.4%C.20%D.44%C20.(2018·鹽城)一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經(jīng)過一段時間銷售，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件.(1)若降價3元，則平均每天銷售數(shù)量為______件；(2)當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元?26解：（1）26