專(zhuān)題24.2垂徑定理-【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典（原卷版）【人教版】

【講練課堂】2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專(zhuān)題24.2垂徑定理【名師點(diǎn)睛】1.垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．推論3：平分弦所對(duì)一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?.垂徑定理的應(yīng)用（1）得到推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．（2）垂徑定理和勾股定理相結(jié)合，構(gòu)造直角三角形，可解決計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題．這類(lèi)題中一般使用列方程的方法，這種用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題即幾何代數(shù)解的數(shù)學(xué)思想方法一定要掌握．【典例剖析】【考點(diǎn)1】垂徑定理的認(rèn)識(shí)【例1】（2020·山西忻州·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB且相交于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（

）A．∠A=∠D B．CB=BD C．∠ACB=90° D【變式1】（2021·湖北宜昌·九年級(jí)期中）如圖所示，AB是⊙O的直徑，CD為弦，CD⊥AB于點(diǎn)E，則下列結(jié)論中不成立的是（）A．∠COE=∠DOE B．CE=DEC．OE=BE D．BD【考點(diǎn)2】利用垂徑定理求邊長(zhǎng)【例2】（2021·江蘇·淮安市洪澤實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)A、B是⊙O上兩點(diǎn)，AB=8，點(diǎn)P是⊙O上的動(dòng)點(diǎn)（P與A、B不重合），連接AP、PB，過(guò)點(diǎn)O分別作OE⊥AP于E，OF⊥PB于F，則EF為（）A．2 B．3 C．4 D．5【變式2】（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，⊙O的半徑為9，AB是弦，OC⊥AB于點(diǎn)C，將劣弧AB沿弦AB折疊交OC于點(diǎn)D，若OD=DC，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A．53 B．65 C．35【考點(diǎn)3】利用垂徑定理求最值【例3】（2022·河南商丘·九年級(jí)期末）如圖，AB是⊙O的直徑，AB＝8，點(diǎn)M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中點(diǎn)，P是直徑AB上的一動(dòng)點(diǎn)，若MN＝a，則△PMN周長(zhǎng)的最小值為（

）A．4 B．4＋a C．2＋a D．3＋a【變式3】（2022·河北廊坊·九年級(jí)期末）如圖，⊙O的半徑為5，OA=3，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O的最短弦的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【考點(diǎn)4】利用垂徑定理解決平行弦問(wèn)題【例4】（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)九年級(jí)期中）已知⊙O的直徑為26cm，AB、CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=24cm，CD=10cm，則AB、CD之間的距離為_(kāi)______cm．【變式4】（2020·天津和平·九年級(jí)期中）如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為_(kāi)____．【考點(diǎn)5】垂徑定理的有關(guān)計(jì)算與證明【例5】（2021·浙江·杭州仁和實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）如圖，AC為⊙O的直徑，BD是弦，且AC⊥BD于點(diǎn)E．連接AB、OB、BC．(1)求證：∠CBO=∠ABD；(2)若AE=4cm,CE=16cm【變式5】（2022·上海·華東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，已知⊙O的直徑AB=10，點(diǎn)P是弦BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OP，∠OPB=45°，PC=1，求弦BC的長(zhǎng)．【例6】（2021·浙江杭州·九年級(jí)期中）如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．(1)求AB所在圓的半徑r的長(zhǎng)；(2)當(dāng)洪水上升到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施．若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？并說(shuō)明理由．【變式6】（2021·浙江寧波·九年級(jí)期中）如圖，有一座圓弧形拱橋，橋下水面寬度AB為12m，拱高CD為4m．（1）求拱橋的半徑．（2）有一艘寬為7.8m的貨船，船艙頂部為長(zhǎng)方形，并高出水面3m，則此貨船是否能順利通過(guò)此圓弧形拱橋？并說(shuō)明理由．【滿(mǎn)分訓(xùn)練】一．選擇題（共10小題）1．（2022?大名縣三模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，若BE＝CD＝8，則⊙O的半徑的長(zhǎng)是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2022?甘肅模擬）如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，點(diǎn)M是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．4≤OM≤5 B．3≤OM＜5 C．3＜OM≤5 D．3≤OM≤53．（2022?威海模擬）⊙O中，點(diǎn)C為弦AB上一點(diǎn)，AB＝1，CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則線(xiàn)段CD的最大值是（）A． B．1 C． D．24．（2022?平桂區(qū)一模）如圖，在⊙O中，直徑AB＝8，弦DE⊥AB于點(diǎn)C，若AD＝DE，則BC的長(zhǎng)為（）A． B． C．1 D．25．（2022?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦，CD⊥AB于E，DE＝2，AB＝8，則AC的長(zhǎng)為（）A．8 B．10 C．4 D．46．（2022?澄城縣三模）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于F，若BD＝8，OF＝，則OE的長(zhǎng)為（）A．3 B．4 C．2 D．57．（2022?宣州區(qū)二模）如圖所示的是一圓弧形拱門(mén)，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，則該拱門(mén)的半徑為（）A． B．2m C． D．3m8．（2022?白云區(qū)二模）往圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB＝48cm，水的最大深度為16cm，則圓柱形容器的截面直徑為（）cm．A．10 B．14 C．26 D．529．（2022?天河區(qū)二模）把半徑長(zhǎng)為2.5的球放在長(zhǎng)方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知CD＝4，則EF＝（）A．2 B．2.5 C．4 D．510．（2021秋?開(kāi)化縣期末）《九章算術(shù)》被尊為古代數(shù)學(xué)“群經(jīng)之首”，其卷九勾股定理篇記載：今有圓材埋于壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)徑幾何？如圖，大意是，今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知其大小，用鋸去鋸這個(gè)木材，鋸口深CD等于1寸，鋸道AB長(zhǎng)1尺，則圓形木材的直徑是（）（1尺＝10寸）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸二．填空題（共8小題）11．（2022?牡丹江）⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC＝3：5，則AC的長(zhǎng)為．12．（2022?青海）如圖是一個(gè)隧道的橫截面，它的形狀是以點(diǎn)O為圓心的圓的一部分，如果C是⊙O中弦AB的中點(diǎn)，CD經(jīng)過(guò)圓心O交⊙O于點(diǎn)D，并且AB＝4m，CD＝6m，則⊙O的半徑長(zhǎng)為m．13．（2022?長(zhǎng)沙）如圖，A、B、C是⊙O上的點(diǎn)，OC⊥AB，垂足為點(diǎn)D，且D為OC的中點(diǎn)，若OA＝7，則BC的長(zhǎng)為．14．（2022?南漳縣模擬）已知⊙O的半徑為13cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，且AB∥CD，AB＝24cm，CD＝10cm，則弦AB與CD之間的距離為cm．15．（2022?上海）如圖所示，小區(qū)內(nèi)有個(gè)圓形花壇O，點(diǎn)C在弦AB上，AC＝11，BC＝21，OC＝13，則這個(gè)花壇的面積為.（結(jié)果保留π）16．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模）如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為16米，拱的半徑為10米，則拱高CD為米．17．（2022?柯橋區(qū)一模）《九章算術(shù)》是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作之一，奠定了中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架．其中卷九中記載了一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問(wèn)徑幾何？”其意思是：如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，BE＝1寸，CD＝1尺，那么直徑AB的長(zhǎng)為多少寸？（注：1尺＝10寸）根據(jù)題意，該圓的直徑為寸．18．（2022春?長(zhǎng)沙期中）某隧道口橫截面如圖所示，上部分是圓弧形，下部分是矩形、已知隧道口最高點(diǎn)E與DC的距離EF為4米，且弧DC所在圓的半徑為10米，則路面AB的寬度為米．三．解答題（共6小題）19．（2021秋?潛山市期末）如圖1所示，圓形拱門(mén)屏風(fēng)是中國(guó)古代家庭中常見(jiàn)的裝飾隔斷，既美觀(guān)又實(shí)用，彰顯出中國(guó)元素的韻味．圖2是一款拱門(mén)的示意圖，其中拱門(mén)最下端AB＝18分米，C為AB中點(diǎn)，D為拱門(mén)最高點(diǎn)，圓心O在線(xiàn)段CD上，CD＝27分米，求拱門(mén)所在圓的半徑．20．（2021秋?黔西南州期末）如圖，在一座圓弧形拱橋，它的跨度AB為60m，拱高PM為18m，當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30m時(shí)，就要采取緊急措施，若某次洪水中，拱頂離水面只有4m，即PN＝4m時(shí)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明是否需要采取緊急措施．21．（2021秋?長(zhǎng)葛市期中）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作，書(shū)中記載：“今有中，不知大?。凿忎徶?，深1寸，鋸道長(zhǎng)1尺，問(wèn)經(jīng)幾何？”其意思為：“如圖，今有一圓形木材在墻中，不知其大小用鋸子去鋸這個(gè)木材，鋸口深DE＝1寸，鋸道長(zhǎng)AB＝10寸，問(wèn)這塊圓形木材的直徑是多少？”22．（2021秋?金安區(qū)月考）如圖所示，某地有一座圓弧形的拱橋，橋下的水面寬度AB為7.2m，拱頂高出水面（CD）2.4m，現(xiàn)有一艘寬EF為3m且船艙頂部為長(zhǎng)方形并高出水面1.5m的貨船要經(jīng)過(guò)這里，則貨船能順利通過(guò)這座拱橋嗎？請(qǐng)作出判斷并說(shuō)