2023年新高一數學暑假課程（人教A版2019）第三十二講函數的單調性和最大（?。┲担ㄔ戆妫?/h1>

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第三十二講：函數的單調性和最大（?。┲怠窘虒W目標】圖象理解函數在某區(qū)間上單調遞增(或遞減)和增函數、減函數的概念；2.理解函數在某區(qū)間上具有(嚴格的)單調性和單調區(qū)間的概念；；4.了解函數的最大(小)值的概念及其幾何意義；5.能夠借助函數圖象的直觀性得出函數的最值；6.會借助函數的單調性求最值.【基礎知識】一、函數的單調性一般地，設函數f(x)的定義域為I，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間D上單調遞增．特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞增時，我們就稱它是增函數．如果?x1，x2∈D，當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就稱函數f(x)在區(qū)間D上單調遞減．特別地，當函數f(x)在它的定義域上單調遞減時，我們就稱它是減函數．注意點：①區(qū)間D可以是整個定義域I，也可以是定義域的真子集；②同區(qū)間性，即x1，x2∈D；③任意性，即不可以用區(qū)間D上的特殊值代替；④有序性，即要規(guī)定x1，x2的大小；⑤“單調遞增(遞減)”“x1，x2的大小”“f(x1)與f(x2)的大小”知二求一，但自變量和函數值的不等方向要一致，簡稱為“步調一致增(減)函數”；⑥單調遞增(遞減)是函數的局部性質，增(減)函數是函數的整體性質．二、函數的最值一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：(1)?x∈I，都有f(x)≤M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我們稱M是函數y＝f(x)的最大值．一般地，設函數y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數M滿足：(1)?x∈I，都有f(x)≥M；(2)?x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我們稱M是函數y＝f(x)的最小值．注意點：①最大(小)值的幾何意義：最高(低)點的縱坐標；②并不是所有的函數都有最大(小)值，比如y＝x，x∈R；③一個函數至多有一個最大(小)值；④研究函數最值需先研究函數的定義域和單調性；⑤對于定義域內的任意x都滿足f(x)≤M(f(x)≥M)，那么M不一定是函數f(x)的最大(小)值，只有定義域內存在一點x0，使f(x0)＝M時，M才是函數的最大(小)值，否則不是．比如f(x)＝－x2≤3成立，但3不是f(x)的最大值，0才是它的最大值．【題型目錄】考點一：根據函數圖象寫單調區(qū)間考點二：已知單調區(qū)間判斷解析式考點三：根據解析式求解函數單調區(qū)間考點四：證明函數的單調性考點五：利用單調性求函數值考點六：利用單調性求解不等式考點七：已知單調區(qū)間求參（一次、二次函數）考點八：已知分段函數單調性求參【考點剖析】考點一：根據函數圖象寫單調區(qū)間例1．已知的圖象如圖所示，則該函數的單調增區(qū)間為（） A． B．和 C． D．和變式訓練1．定義在區(qū)間上的函數的圖象如圖所示，則的單調遞減區(qū)間為（） A． B． C． D．變式訓練2．函數，的圖象如圖所示，則的單調遞增區(qū)間是（） A． B． C． D．變式訓練3．（多選）如圖是函數的圖象，則函數在下列區(qū)間單調遞減的是（） A． B． C． D．考點二：已知單調區(qū)間判斷解析式例2．（多選）下列函數中，在上單調遞增的是（） A． B． C． D．變式訓練1．（多選）下列函數中，在區(qū)間上為增函數的是（） A． B． C． D．變式訓練2．（多選）下列函數在上是減函數的是（） A． B． C． D．變式訓練3．（多選）下列函數中滿足在上單調遞減的是（） A． B． C． D．考點三：根據解析式求解函數單調區(qū)間求解單調區(qū)間時，首先要注意定義域的范圍.例3．函數的單調遞減區(qū)間為__________．變式訓練1．函數的單調遞增區(qū)間是______變式訓練2．已知函數，則的單調遞增區(qū)間為__________.變式訓練3．函數的增區(qū)間為______．考點四：證明函數的單調性證明單調性的步驟：（1）取值；（2）作差；（3）化簡；（4）定號；（5）下結論.例4．已知函數；判斷在上的單調性，并用定義加以證明；變式訓練1．已知函數；判斷函數在的單調性，并用定義證明.變式訓練2．根據定義證明函數在區(qū)間上單調遞增.變式訓練3．已知函數；判斷函數在上的單調性，并用單調性的定義證明你的結論；考點五：利用單調性求函數值例5．已知二次函數，，且.(1)求函數的解析式；(2)求函數在區(qū)間上的值域．變式訓練1．已知函數，則在上的最大值為（） A．9 B．8 C．3 D．變式訓練2．若函數,則下列結論正確的是（） A．函數的最小值為 B．函數在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間上單調遞增 C．函數的最大值為 D．函數在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減變式訓練3．已知函數，且.(1)求實數m的值；(2)判斷函數在上的單調性，并證明你的結論；(3)求函數在上的最值.考點六：利用單調性求解不等式例6．已知函數是定義在區(qū)間上的函數，且在該區(qū)間上單調遞增，則滿足的x的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練1．已知函數是實數集上的減函數，則不等式的解集為（） A． B． C． D．變式訓練2．函數的定義域為，且在定義域內是增函數，若，則m的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練3．已知函數是定義域為的減函數，若，則實數m的取值范圍是（） A． B． C． D．考點七：已知單調區(qū)間求參（一次、二次函數）例7．已知函數，若對任意，且，不等式恒成立，則實數的取值范圍是________．變式訓練1．函數在上是減函數，則（） A． B． C． D．變式訓練2．已知函數在上單調，則實數k的取值范圍為（） A． B． C． D．變式訓練3．已知，則“”是“函數在內單調遞減”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點八：已知分段函數單調性求參例8．若函數在上是單調函數，則的取值可以是（） A．0 B．1 C．2 D．3變式訓練1．已知函數在上單調遞增，則實數的取值范圍是（） A． B． C． D．變式訓練2．已知函數在上單調遞增，則（） A． B． C．或 D．或變式訓練3．已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍是（） A． B． C． D．【課堂小結】1．知識清單：(1)增函數、減函數的定義．(2)函數的單調區(qū)間．(3)函數的最大值、最小值定義．(4)求解函數最值的方法．2．方法歸納：數形結合法，配方法，分類討論法，數形結合法．3．常見誤區(qū)：(1)函數的單調區(qū)間不能用并集．(2)在利用單調性求最值時，勿忘求函數的定義域．(3)利用函數的單調性求參數的取值范圍忽略函數的定義域．(4)求含參數的二次函數的最值時不要忘記按對稱軸與區(qū)間的位置分類討論．【課后作業(yè)】1．函數單調減區(qū)間是（） A． B． C． D．2．下列函數在上不是增函數的是（） A． B． C． D．3．函數的單調遞減區(qū)間是（） A． B．和 C． D．和4．函數的單調增區(qū)間為（） A． B． C．和 D．5．下列四個函數中，在區(qū)間上為增函數的是（） A． B． C． D．6．（多選）已知函數的定義域為，其圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（） A．的單調遞減區(qū)間為 B．的最大值為 C．的最小值為 D．的單調遞增區(qū)間為7．（多選）已知函數，則（） A． B．若，則或 C．函數在上單調遞減 D．函數在的值域為8．“函數在上為減函數”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件9．已知二次函數在區(qū)間內是單調函數，則實數的取值范圍是（） A．或 B． C．或 D．10．（多選）若二次函數在區(qū)間上是增函數，則a可以是（） A． B．0 C．1 D．211．已知函數在上單調遞增，則實數a的取值范圍為（） A． B． C． D．12．已知函數在上單調遞減，則實數的取值范圍為（） A． B． C． D．13．已知是上的增函數，那么a的取值范圍是（） A． B． C． D．14．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為________．15．己知函數滿足對任意，且，都有成立，則實數a的取值范圍是__________．16．函數，對任意的，總存在，使得成立，則a的取值范圍為_________．17．已知函數.(1)求的解析式;(2)判斷并證明函數在上的單調性.18．