北京大學數(shù)學物理方法經(jīng)典課件第五章-傅里葉變換

第五章傅里葉變換對自然界的最深刻的研究是數(shù)學最富饒的源泉。----傅里葉2023最新整理收集do

something2學習要求與內(nèi)容提要目的與要求：了解在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開法；掌握周期函數(shù)的傅里葉展開、定義和性質(zhì)；δ函數(shù)的定義與性質(zhì)。重點：難點：傅里葉變換、δ函數(shù)。δ函數(shù)的概念。

1807年12月21日，F(xiàn)ourier向法國科學院宣布：任意的周期函數(shù)都能展開成正弦及余弦的無窮級數(shù)。當時整個科學院，包括拉格朗日等，都認為他的結(jié)果是荒謬的。傅立葉的兩個最主要的貢獻:“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”——傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示”

——傅里葉的第二個主要論點5.1傅里葉級數(shù)4

1.波的疊加

在普通物理學中,我們已經(jīng)知道最簡單的波是諧波(正弦波),它是形如Asin(ωt+φ)的波,其中A是振幅,ω是角頻率,φ

是初相位.其他的波如矩形波,鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來.（一）周期函數(shù)的傅里葉展開非正弦周期函數(shù):矩形波可以用不同頻率正弦波疊加構(gòu)成！56由上例可以推斷：一個周期為2l的函數(shù)f(x+2l)=f(x)

可以看作是許多不同頻率的簡諧函數(shù)的疊加.7[-l,l]上的積分等于

0.①其中任意兩個不同的函數(shù)之積在

2.

三角函數(shù)族及其正交性引入三角函數(shù)族上的積分不等于0.②兩個相同的函數(shù)的乘積在[-l,l]8證:同理可證:①任意兩個不同的函數(shù)之積在[-l,l]上的積分等于0.9同理可證:10②兩個相同的函數(shù)的乘積在[-l,l]上的積分不等于0.證:11如果周期為2l

的函數(shù)

f(x)滿足收斂定理條件,則它可以展開式為下列級數(shù)(在

f(x)的連續(xù)點處)

3.周期函數(shù)的傅里葉展開①式①稱為f(x)的傅里葉級數(shù)

.式中a0,ak,bk稱為函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù);問題:

a0,ak,bk

等于什么?我們利用三角函數(shù)族的正交性來求解12對①在[-l,l]逐項積分,得①乘

在[-l,l]逐項積分并運用正交性,得由三角函數(shù)的正交性0由三角函數(shù)的正交性得0n=k由三角函數(shù)的正交性013類似地,用

sinkπξ/l

乘①式兩邊,再逐項積分可得歸納:14(1)處處連續(xù)，或在每個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點；(2)在每個周期內(nèi)只有有限個極值點，則傅里葉級數(shù)收斂，且在收斂點有：在間斷點有：狄里希利定理

:

若函數(shù)f(x)滿足條件：

4.傅里葉級數(shù)的收斂性定理注:第一類間斷點如果f(x)在間斷點x0處左右極限存在,則稱點x0為f(x)的第一類間斷點.15其中(在f(x)的連續(xù)點處)

如果

f(x)為奇函數(shù),

則a0和ak均為零，即有傅里葉正弦級數(shù)（二）奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅里葉展開說明：16如果

f(x)

為偶函數(shù),則bk為零，即有傅里葉余弦級數(shù)(在f(x)的連續(xù)點處)其中注:無論哪種情況,在f(x)的間斷點

x處,傅里葉級數(shù)都收斂于說明：17當函數(shù)定義在任意有限區(qū)間上時,變換法令即在上展成傅里葉級數(shù)周期延拓將在回代入展開式上的傅里葉級數(shù)其傅里葉展開方法:（三）有限區(qū)間中的函數(shù)的傅里葉展開*(自學)18延拓法在上展成正弦或余弦級數(shù)奇或偶式周期延拓19利用歐拉公式已知周期為

2l的周期函數(shù)f(x)可展開為級數(shù)：（四）復數(shù)形式的傅里葉展開20注意到同理21傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式:因此得例2：矩形波解：coskπk=2n:coskπ=1k=2n+1:coskπ=-1231.周期為2l的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開公式(x

間斷點)其中當f(x)為奇(偶)函數(shù)時,為正弦(余弦)級數(shù).2.在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開法變換延拓3.傅里葉級數(shù)的復數(shù)形式利用歐拉公式導出內(nèi)容小結(jié)2412§5.1作業(yè)25周期函數(shù)的性質(zhì)是f(x+2l)=f(x),x每增大2l，函數(shù)值就重復一次，非周期函數(shù)沒有這個性質(zhì)，但可以認為它是周期2l∞的周期函數(shù)。所以，我們也可以把非周期函數(shù)展開為所謂“傅里葉積分”。5.2傅里葉積分與傅里葉變換考察復數(shù)形式的傅里葉級數(shù):（一）傅里葉變換2626非周期函數(shù)的復數(shù)形式的形式“傅里葉級數(shù)”:引入新參量：上式改寫為：27令有若有限，則非周期函數(shù)可以展開為稱f(x)的傅里葉變換稱F(ω)的逆傅里葉變換像函數(shù)原函數(shù)注意到：28傅里葉積分定理：若函數(shù)

f(x)

在區(qū)間(-

，+)上滿足條件:(1)在任意有限區(qū)間滿足狄里希利條件；

(2)在區(qū)間(-

，+)上絕對可積（即收斂），則f(x)

可表為傅里葉積分，且傅里葉積分值=f(x)的傅里葉變換式29奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅里葉變換傅里葉變換對30

當f(x)是偶函數(shù)

當f(x)是奇函數(shù)

進一步注意到

當f(x)是偶函數(shù)

同理,當f(x)是奇函數(shù)

31例1定義:矩形函數(shù)為將矩形脈沖展開為傅里葉積分。解:矩形脈沖函數(shù)的周期為[-T,T],如右圖.32(1)導數(shù)定理（二）傅里葉變換的基本性質(zhì)根據(jù)傅里葉積分定理，33(2)積分定理由變上限積分定理：由導數(shù)定理利用導數(shù)定理證明，記(3)相似性定理空域中的壓縮（擴展）等于頻域中的擴展（壓縮）

f(x/2)壓縮擴展35(4)延遲定理(5)位移定理36例2求：的頻譜？解：由位移定理37若(6)卷積定理和則卷積定義38卷積卷積定理反映了兩個傅立葉變換之間的關(guān)系，它構(gòu)成了空間域和頻率域之間的基本關(guān)系。卷積對深入理解在傅立葉變換基礎(chǔ)上的圖像處理技術(shù)是十分重要的。其中

是積分偽變量。

兩個函數(shù)f(x)和g(x)的卷積記作f(x)*g(x)，由下式所定義：39f()

011g(-)

0-11/2g(x-)

0-11/2xg()

011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如圖所示的f(x)*g(x)，即卷積積分的圖解計算40f()

g(x-)

0-11/211x0

x1卷積為：x/2

0-11/2x-1f()

g(x-)1x11

x2卷積為：1-x/2x0-11/211f(x)*

g(x)

x/20

x1f(x)*g(x)=1-x/21

x20其它（7）帕塞瓦爾等式——能量守恒42(三)．傅里葉變換的物理意義求和振幅譜

相位譜43(四)高維傅里葉變換二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換定義如下：設f(x,y)是兩個獨立變量x,y的函數(shù)，且在±∞上絕對可積，則定義積分

為二維連續(xù)函數(shù)f(x,y)的傅里葉變換，并定義為F(k1,k2)的逆變換。f(x,y)和F(k1,k2)稱為傅里葉變換對。（1）（2）1二維傅里葉變換44例2:求函數(shù)

的傅里葉變換(矩孔費瑯和夫衍射)。

解：由傅里葉變換關(guān)系

有45其幅度譜為（a）信號的頻譜圖（b）圖（a）的灰度圖 （幅度譜）圖信號的頻譜圖k1F(k1,k2)k2462三維Fourier變換4748其中：49§5.21,5本講作業(yè)501.源與場質(zhì)點→引力場，電荷→電場，熱源→溫度場…2.點源：質(zhì)點﹑點電荷﹑點熱源﹑點光源

點電荷激發(fā)的場：點源q0位于

0處，場點位于r

處的電場的數(shù)學表示：

3.連續(xù)分布的源所產(chǎn)生的場：

無數(shù)個點源產(chǎn)生的場的疊加。

如何描述點源?5.3δ－函數(shù)(特殊函數(shù))51（一）δ函數(shù)

在物理學中對于在某種坐標系下高度集中的量，如點電荷、點光源、質(zhì)點以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特殊的函數(shù)——δ函數(shù)來描述。

設質(zhì)量m均勻分布在長為l的線段[-l/2,l/2]上（如圖）,

進一步設線的單位長度質(zhì)量即線質(zhì)量密度為

l

：下面我們從質(zhì)點的描述來引入δ函數(shù)52線段總質(zhì)量：時，線段收縮為質(zhì)點(x=0)。設線段在收縮為當線段在質(zhì)點的極限下總質(zhì)量不變，即，即線段收縮為質(zhì)點(x=0)。線質(zhì)量密度為當線段在在總質(zhì)量不變的條件下：5353引入廣義函數(shù)：

－函數(shù)一般地，我們有定義1：且量綱為：1/[x]

δ(x)的形象描述見（圖示）54（二）性質(zhì)(1)偶函數(shù)定義2

函數(shù)

（篩選性）如果對于任意一個在區(qū)間

上連續(xù)的函數(shù)

恒有

為則稱滿足上式中的函數(shù)

函數(shù)，

利用積分形式證55(2)階躍函數(shù)或亥維賽單位函數(shù)(δ函數(shù)的原函數(shù))(3)復合函數(shù)(尺度變換)若

的實根

全部是單根，則