專題13 弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積壓軸題十種模型全攻略（原卷版）

專題13弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積壓軸題十種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一已知圓心角的度數(shù)，求弧長(zhǎng)】 1【考點(diǎn)二已知弧長(zhǎng)，求圓心角的度數(shù)】 2【考點(diǎn)三求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度】 3【考點(diǎn)四已知圓心角的度數(shù)或弧長(zhǎng)，求扇形的面積】 6【考點(diǎn)五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積】 7【考點(diǎn)六求弓形的面積】 9【考點(diǎn)七求其他不規(guī)則圖形的面積】 12【考點(diǎn)八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】 15【考點(diǎn)九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 17【考點(diǎn)十圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題】 18【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 22【典型例題】【考點(diǎn)一已知圓心角的度數(shù)，求弧長(zhǎng)】例題：（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為，則該扇形的弧長(zhǎng)為cm．【變式訓(xùn)練】1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個(gè)扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長(zhǎng)為．2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長(zhǎng)為．【考點(diǎn)二已知弧長(zhǎng)，求圓心角的度數(shù)】例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的面積為，弧長(zhǎng)為，則該扇形的圓心角的度數(shù)為．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）扇形的弧長(zhǎng)為，半徑是12，該扇形的圓心角為度．2．（2023·浙江溫州·?？既＃┤羯刃伟霃綖?，弧長(zhǎng)為，則該扇形的圓心角為．【考點(diǎn)三求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度】例題：（2023秋·云南昭通·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)．如果，．則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)度為（含的式子表示）【變式訓(xùn)練】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是cm（結(jié)果用含的式子表示）．

2．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，和是兩個(gè)完全重合的直角三角板，，斜邊長(zhǎng)為．三角板繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為．【考點(diǎn)四已知圓心角的度數(shù)或弧長(zhǎng)，求扇形的面積】例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個(gè)扇形的面積是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是，圓心角是144°，則此扇形的面積是．2．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，正五邊形的邊長(zhǎng)為4，以頂點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是．【考點(diǎn)五求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過(guò)的面積】例題：（2023·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則掃過(guò)的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為．

【變式訓(xùn)練】1．（2022春·四川德陽(yáng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積為．2．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置，使三點(diǎn)在同一條直線上，則直角邊掃過(guò)的圖形面積為．【考點(diǎn)六求弓形的面積】例題：（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，，則陰影部分的面積是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點(diǎn)，，則陰影部分的面積是

2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點(diǎn)D為圓心、長(zhǎng)為半徑作半圓交線段于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為．

【考點(diǎn)七求其他不規(guī)則圖形的面積】例題：（2023春·河南漯河·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）圖1是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖2，其中是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為．

【變式訓(xùn)練】1．（2023·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形的邊長(zhǎng)為1，分別以點(diǎn)C，D為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，圖中陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

2．（2023·河南南陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，以C為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點(diǎn)E處，則陰影部分的面積為．【考點(diǎn)八求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】例題：（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長(zhǎng)為5，則該圓錐的側(cè)面積是．（結(jié)果保留）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若圓雉的側(cè)面積為，底面圓半徑為3，則該圓雉的母線長(zhǎng)是．2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）若圓錐的底面半徑為3cm，母線長(zhǎng)為4cm，則圓錐的側(cè)面積為．（結(jié)果保留π）3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)是120°，母線長(zhǎng)為3，則圓錐的底面圓的半徑是．4．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則這個(gè)圓錐的底面半徑為cm．【考點(diǎn)九求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】例題：（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面圓半徑是，母線長(zhǎng)是，則圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是．【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知圓錐的母線長(zhǎng)5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為，圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角是度．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若要制作一個(gè)母線長(zhǎng)為，底面圓的半徑為的圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【考點(diǎn)十圓錐側(cè)面上最短路徑問(wèn)題】例題：（2023秋·山東東營(yíng)·九年級(jí)東營(yíng)市勝利第一初級(jí)中學(xué)?？计谀┤鐖D，已知圓錐底面半徑為，母線長(zhǎng)為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來(lái)的位置）所爬行的最短路徑為．（結(jié)果保留根號(hào)）

【變式訓(xùn)練】1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點(diǎn)為的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為．2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長(zhǎng)是（）A． B． C． D．2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知圓錐的底面半徑為4，母線長(zhǎng)為5，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到的位置．若的長(zhǎng)為，那么頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，折痕為，則陰影部分的面積為（）

A． B． C． D．5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宜傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長(zhǎng)分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面愁為（

）

A． B． C． D．二、填空題6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）圓錐母線長(zhǎng)，底面圓半徑，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是．7．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為．

8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為．9．（2023·吉林長(zhǎng)春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與、重合），過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接．若，則的長(zhǎng)度是（結(jié)果保留）10．（2023秋·河南開封·九年級(jí)開封市第十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以，為圓心，，長(zhǎng)為半徑畫和，連接，則圖中陰影部分面積是．

三、解答題11．（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓被分成三個(gè)扇形，其中一個(gè)扇形的圓心角為，另外兩個(gè)扇形的圓心角度數(shù)的比為．(1)求另外兩個(gè)扇形的圓心角；(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．12．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的與對(duì)角線相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，連接，且．

(1)求證：為的切線；(2)若當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的半徑為，求陰影部分的面積．13．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過(guò)網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：(1)請(qǐng)?jiān)趫D中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置，D點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)連接，則的半徑為______；扇形的圓心角度數(shù)為______；(3)若扇形是某一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．14．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹫D1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要