《機(jī)械制圖》課件-第2章 正投影基礎(chǔ)

第二章

正投影基礎(chǔ)目錄導(dǎo)航2.1投影法與投影圖2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5直線與平面、平面與平面的相對位置2.1投影法與投影圖2.1.1投影的概念物體在光源的照射下會(huì)出現(xiàn)影子。投影的方法就是從這一自然現(xiàn)象抽象出來，并隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展而發(fā)展起來的。目

錄2.1.2投影法的分類投影法有兩大類，即：中心投影法和平行投影法。中心投影法投影法正投影法斜投影法平行投影法目

錄1.中心投影法中心投影法：投射線均通過投射中心。投射中心S投射線投影投影特性：如改變△ABC與投射中心或投影面之AaCB投影面H間的距離，則其投影△abc的大小也隨之改變，度量性較差。cb規(guī)

定大寫字母表示空間點(diǎn);小寫字母表示在投射中心確定的情況下，空間的一個(gè)點(diǎn)在投影面上只存在唯一一個(gè)投影。相應(yīng)空間點(diǎn)的投影。目

錄2.平行投影法如果把中心投影法的投射中心移至無窮遠(yuǎn)處，則各投射線成為相互平行的直線，這種投影法稱為平行投影法。SSHH斜投影法投射方向S傾斜于投影面H正投影法投射方向S垂直于投影面H目

錄平行投影的應(yīng)用：投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好。工程圖樣大多數(shù)采用平行投影法的正投影法。目

錄3.平行投影的基本性質(zhì)(1).同素性(2).從屬性(3).平行性(4).定比性(5).類似性特殊情況下：積聚性、全等性。目

錄(1)同素性點(diǎn)的投影是點(diǎn)，直線的投影一般仍是直線。目

錄(2)從屬性若點(diǎn)在直線上，則該點(diǎn)的投影一定在該直線的投影上。即C在AB上，則c在ab上。目

錄(3）

平行性兩平行直線的投影一般仍平行。AB/CD=ab/cd目

錄（4）

定比性一條直線上任意三個(gè)點(diǎn)的簡單比是平行投影的不變量。即：AC/BC=ac/bc目

錄（5）

相仿性一般情況下，平面形的投影都要發(fā)生變形，但投影形狀總與原形相仿，即平面投影后，與原形的對應(yīng)線段保持定比性，表現(xiàn)為投影形狀與原形的邊數(shù)相同、平行性相同、凸凹性相同及邊的直線或曲線性質(zhì)不變。目

錄伸縮系數(shù)

k：投影長與線段原長之比。k=ab/AB=cosα目

錄特殊情況下，平行投影具有以下重要性質(zhì)：1）.積聚性當(dāng)直線平行于投射方向S時(shí)，直線的投影為點(diǎn)；當(dāng)平行圖形平行于投射方向S時(shí)，其投影為直線。目

錄2）全等性（現(xiàn)真性）當(dāng)線段平行于投影面H時(shí)，其投射長度反映線段的實(shí)長；當(dāng)平面圖形平行于投影面H時(shí)，其投影與原平面圖形全等。目

錄2.2點(diǎn)的投影點(diǎn)是最基本的幾何元素，下面用點(diǎn)的投影說明正投影的規(guī)律。僅有點(diǎn)的一個(gè)投影不能確定點(diǎn)的空間位置。Vb

●B●1B2B3●●采用多面投影可解決此問題。為了確定幾何元素的空間位置，需要建立正投影的投影面體系。目

錄2.2.1.點(diǎn)的三面投影及規(guī)律1.投影面體系與投影軸三投影面體系：用三個(gè)相互垂直的投影面構(gòu)成投影面體系。目

錄三投影面體系：水平投影面（H面）正面投影面（V面）側(cè)面投影面（W面）ZVXWO兩投影面相交，其交線稱為投影軸：V∩H=OX軸H∩W=OY軸V∩W=OZ軸Y目

錄2.點(diǎn)的投影及影射規(guī)律Z（1）點(diǎn)的三面投影Va

a點(diǎn)A的水平投影。點(diǎn)A的正面投影。點(diǎn)A的側(cè)面投影?！馎a

a

a

●●XWa●規(guī)定：Y空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的三個(gè)投影都用同一個(gè)小寫字母表示。其中H投影不加撇，V投影加一撇，W投影加兩撇。目

錄投影面展開Z向右翻不動(dòng)

Vaza

Z●VWa

●az

aAa

ax●●●XWOYWayXaxOaay●Ha●ayYHYH向下翻目

錄在投影時(shí)，投影的大小不受限制，通常不必畫出投影面的邊框。Za

a

aaz●●aYWXxOya●ayYH目

錄3.點(diǎn)的投影規(guī)律1、V、H兩投影都反映橫標(biāo)，且投影連線垂直X軸；a

a⊥OX軸。Z2、V、W兩投影都反映高標(biāo)，且投影連線垂直a

●aza

●Z軸；a

a

⊥OZ軸。axOYXWay3、H、W兩投影都反映縱標(biāo)，投影連線是一條折線。a●ayYH其中W面上的一段垂直O(jiān)Y，H面上的一段W。垂直O(jiān)Y心的圓弧聯(lián)系起來。H，中間可用折線、45斜線或以O(shè)為圓目

錄a

a=a

a=z=A到H面的距離xyaa=a

a=x=A到W面的距離yzaa=a

a=y=A到V面的距離xzZa

●aa

z●aXxOYWaya●ayYH目

錄小

結(jié)：Z1、點(diǎn)的投影連線垂直于相應(yīng)的投影軸。Vaza

●Aa

●●ax●XWOZaa

●az

●aay●Haxa●XOYWYay2、點(diǎn)的投影到投影軸的距離等于空間點(diǎn)到投影面的距離。ayYH目

錄［例1］已知點(diǎn)C的兩個(gè)投影c

和c

，求作其水平投影c。Zc

●cc

●z通過作45°轉(zhuǎn)寬線使c

cz=ccxYwcxcywoXcyHc●YH目

錄4.點(diǎn)的投影和坐標(biāo)點(diǎn)的每個(gè)投影反映兩個(gè)坐標(biāo)：V投影反映高標(biāo)和橫標(biāo)(a′a和a′a)，XZH投影反映縱標(biāo)和橫標(biāo)(aa和aa)，XYHW投影反映高標(biāo)和縱標(biāo)(a″a和a″a)。YWZ目

錄5.各種位置點(diǎn)的投影（1）

一般位置點(diǎn)（X、Y、Z）（2）

特殊位置點(diǎn)1)投影面上的點(diǎn)：V面上點(diǎn)（X、0、Z）H面上點(diǎn)（X、Y、0）W面上點(diǎn)（0、Y、Z）2)投影軸上點(diǎn):X軸上點(diǎn)（X、0、0）Y軸上點(diǎn)（0、Y、0）Z軸上點(diǎn)（0、0、Z）3)原點(diǎn)上的點(diǎn):（0、0、0）注意:點(diǎn)的各個(gè)投影一定要寫在它所屬的投影面區(qū)域內(nèi)。目

錄各種位置點(diǎn)的投影圖目

錄2.2.2兩點(diǎn)的相對位置和重影點(diǎn)（1）

兩點(diǎn)的相對位置兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：X坐標(biāo)大的在左Y坐標(biāo)大的在前Z坐標(biāo)大的在上目

錄［例2］如圖，已知點(diǎn)A的三投影，另一點(diǎn)B在點(diǎn)A上方8mm，左方12mm，前方10mm處，求:點(diǎn)B的三個(gè)投影。作圖步驟：Zb

b

bzaz1）在a′左方12mm，上方8mm處確定b′；●●a

a

812bxaxbyYWO2）作b′b⊥OX軸，且在a前10mm處確定b；ayXaay10●bby3）按投影關(guān)系求得b″。YH目

錄（2）

重影點(diǎn)當(dāng)空間兩點(diǎn)位于對投影面的同一條投影線上時(shí)，這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，稱這兩點(diǎn)為對該投影面的重影點(diǎn)。目

錄點(diǎn)A、B在對H面的同一條投射線上，它們在H面的投影重合，稱為對H面的重影點(diǎn)。而點(diǎn)C、A則稱為對W面的重影點(diǎn)。目

錄2.2.3點(diǎn)的兩面投影點(diǎn)的兩面投影是三面投影去掉W面和側(cè)面投影所構(gòu)成的，如下圖所示。在點(diǎn)的兩面投影中確定出Z軸的位置后，由點(diǎn)的投影規(guī)律即可將它轉(zhuǎn)換成三面投影。目

錄2.3直線的投影2.3.1直線的表示方法與直線的位置1.一般情況下，直線的投影仍為直線。直線Za

●a

●的投影規(guī)定用粗實(shí)線繪制。b

b

●●oXYW2.直線的表示方法：將直線上兩個(gè)端點(diǎn)的同面投影用直線連接起來，就得到直線的三個(gè)投影。a●●bYH目

錄3.直線的傾角直線的傾角是指空間直線與三個(gè)投影面間的傾角，一般用直線與其相應(yīng)投影間的夾角表示，如：直線AB與ab的夾角為α直線AB與a′b′的夾角為β直線AB與a″b″的夾角為γ目

錄4.直線的位置正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面平行線統(tǒng)稱特殊位置直線正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）垂直于某一投影面投影面垂直線一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線目

錄2.3.2特殊位置直線的投影及特性1.投影面平行線水平線Z正平線側(cè)平線實(shí)長實(shí)長b

a

a

baZa

b

Za

b

a

b

γβαb

αYWYWXYWXXaaβγbabbYHYHYH與H面的夾角:α與V面的夾角:β與W面的夾角:γ實(shí)長投

影

特

性1）在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面的真實(shí)傾角。2）另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。目

錄投影面平行線的投影及特性名稱正平線水平線側(cè)平線立體圖βγβαγαγαβ投影圖αβγ1.V面投影a'b'反映實(shí)長。1.H面投影ac反映實(shí)長。1.W面投影b"c"反映實(shí)長。投影特性2.a'b'與OX和OZ軸的夾角2.ac與OX和OYh軸的夾角分2.b"c"與OY

和OZ軸的夾角wγβγα分別是和β角的大小。α別反映和角的大小。分別為和傾角。3.H和W面投影ab和a"b"分別3.V和W面投影a'c'和a"c"分3.V和H面投影b'c'和bc分別平行OX和OZ軸。別平行和OYw軸。OX平行OZ和OYh軸。應(yīng)用實(shí)例目

錄2.投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線Zc

(d

)●

c

a

a

ZdZe

(f

)●e

f

ob

b

YWXodcYWoXYWX●a(b)efYHYHYH投

影

特

性（1）

在其垂直的投影面上，投影有積聚性。（2）

另外兩個(gè)投影反映線段實(shí)長，且垂直于相應(yīng)的投影軸。（3）三個(gè)傾角都可知。目

錄名稱鉛垂線正垂線側(cè)垂線投影面垂直線的投影及特性立體圖投影圖1.V面投影c'd'積聚成一點(diǎn)。1.W面投影c"e"積聚成一點(diǎn)。1.H面投影ab積聚成一點(diǎn)。投影特性2.H面和V面投影ce和c'e'均平行OX軸(或分別垂直O(jiān)Yh和OZ軸)，其投影長度等于直線實(shí)長。2.V面和W面投影a'b'和a"b"

2.H面和W面投影cd和c"d"均平行OZ軸(或分別垂直O(jiān)X

均平行OY軸(或分別垂直和OYW軸),其投影長等于直O(jiān)X和OZ軸)，其投影長度線實(shí)長。等于直線實(shí)長。3.直線CD的傾角β=90°,α=γ=0°。3.直線CE的傾角γ=90°,α=β=0°。3.直線AB的傾角α=90°,β=γ=0°。應(yīng)用實(shí)例目

錄2.3.3一般位置直線的投影與特性直線與H、V和W三投影面的夾角分別用α、β、γ表示。ab=ABcosαa

b

=ABcosβa

b

=ABcosγ投影長分別是：目

錄一般位置直線投影特性：三個(gè)投影均傾斜投影軸，任一個(gè)投影都不是直線的實(shí)際長度。三個(gè)傾角在投影圖中均不反映。目

錄2.3.4直線上的點(diǎn)及其投影特性1點(diǎn)和直線的從屬關(guān)系若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的同面投影上。如圖所示，C∈AB，則有c∈ab，c′∈a′b′，c″∈a″b″。從屬性反之，如果點(diǎn)的各個(gè)投影均在直線的同面投影上，則點(diǎn)在直線上。在圖中，C點(diǎn)在直線AB上，而D、E兩點(diǎn)均不滿足上述條件，所以都不在AB直線上。目

錄2.判斷點(diǎn)是否在直線的方法。［例1］判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。Za

c

a

利用第三面投影判斷c

●●b

b

oXYWac●因c

不在a

b

上，故點(diǎn)C不在AB上。bYH另一判斷法?應(yīng)用簡單比定理目

錄利用點(diǎn)分割線段成定比的特性判斷b

Vb

c

Bbc

a

a

CcXXbAcaaH直線上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即：AC/CB=ac/cb=a

c

/c

b

定比定理目

錄［例２］試在AB線段上取一點(diǎn)C，使AC∶CB＝1∶2，求

:分點(diǎn)C的投影。作圖步驟：1）過a(或b)任作一直線aB1（或bB1)；b

c

a

2）在aB上取C，11使aC∶CB＝1∶2；X111b3）連接B1、b；ca4）過C作Cc∥Bb，與ab交于c；111C15）過c作X軸的垂線與a′b′交于c。則c、c′即所求分點(diǎn)C的投影。B1分析：分點(diǎn)C的投影，必在AB線段的同面投影上，且

ac∶cb＝a′c′∶c′b′＝1∶2可用比例作圖法作圖。目

錄[例３]已知直線EF及點(diǎn)K的二投影，試判斷:點(diǎn)K是否在直線EF線上。作圖步驟：e

1）在H投影上，過f（或e）任作一條直線fE1;k

f

2)在fE上取fK=f

k

,KE=k

e

;1111X3)連接Ee，過K作直線平行于e11Ee，與fe交于k；E11k1。k.K11因?yàn)橐阎队?/p>

k與k1不重合，所以點(diǎn)K不在直線EF上。f應(yīng)用簡單比定理目

錄2.3.5兩直線的相對位置及投影特性空間兩直線的相對位置有：平行、相交、交叉。1、兩直線平行投影特性：b

Vd

a

B空間兩直線平c

AD行，則其各同面投影必相互平行，反之亦然。CXacbHd目

錄［例4］判斷圖中兩條直線是否平行。對于一般位置b

d

直線，只要有兩個(gè)同面投影互相平行，空間兩直線就平行。a

c

Xac若

AB//CD，則有

ab//cdbda′b′//c′d′目

錄［例5］判斷圖中兩條直線是否平行。c

Zc

對于特殊位置直線，只有兩個(gè)同面投影互相平行，空間直線不一定平行。a

a

b

d

d

ob

YXWcbad求出側(cè)面投影后可知：YHAB與CD不平行。目

錄2、兩直線相交交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)Vc

b

d

k

b

c

a

k

CBbd

AaKDda

XXkcdaHkcb判別方法：若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。目

錄相交兩直線的三面投影：若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，若兩直線的各同面投影相交，且交點(diǎn)符合一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律，則此兩直線在空間一定相交。目

錄3、兩直線交叉d

2

a

3

(4

)●●1

c

●Ab

XB●4cb●2(1)●3daⅠ、Ⅱ是對H面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是對V面的重影點(diǎn)。目

錄位置兩直線平行兩直線相交兩直線交叉立體圖投影圖1.若空間兩直線相交，則它1.既不平行又不相交的空間們的各組同面投影也必然相兩直線必然是交叉的。交，且交點(diǎn)的各面投影連線2.交叉兩直線可能有一組或投1.若空間兩直線相互平行，則它們的各組同面投影一定影平行。垂直相應(yīng)的投影軸。兩組同面投影平行，但第三2.反之，若兩直線的所有同特2.反之，若兩直線的所有同組一定不平行；也可能有一面投影都相交，且交點(diǎn)的各組、二組或三組同面投影相面投影連線垂直相應(yīng)的投影交，但交點(diǎn)各面投影的連線軸，則這兩直線一定相交。必不完全垂直相應(yīng)的投影軸。面投影相互平行，則此兩直線在空間一定平行。性應(yīng)用實(shí)例目

錄4、兩直線垂直（1）垂直相交兩直線的投影特例，可用直角投影定理來描述如下：垂直相交的兩直線，若其中一條平行某投影面，則在該投影面上兩直線的投影反映直角。兩直線垂直是相交的特例，垂足就是兩直線的交點(diǎn)。兩直線垂直的主要問題是：垂直兩直線處在什么位置時(shí)，其投影反映它們的直角關(guān)系。目

錄直角投影逆定理：若相交兩直線的某面投影為直角，且其中一條直線是該投影面的平行線，則它們在空間垂直。該逆定理主要用于直線垂直的投影判斷。[例1]試判斷下面兩相交直線是否垂直。（b）（c）（d）（a）目

錄位置垂直兩直線均為平行線垂直兩直線之一為平行線垂直兩直線均為一般線垂直相交立體圖垂直相交投影圖交叉垂直投影圖目

錄2.4平面的投影2.4.1平面的表示法與平面的位置1.平面的表示法--幾何元素表示平面不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)直線及線

相交兩外一點(diǎn)

直線平行兩直線任意平面圖形目

錄2.平面的位置平面位置指平面相對三個(gè)投影面的位置，可分為三類：正垂面

(垂直V）垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面投影面垂直面?zhèn)却姑妫ù怪盬）鉛垂面（垂直H）特殊位置平面，稱為特殊面正平面(//V）平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面投影面平行面?zhèn)绕矫?//W）水平面(//H)與三個(gè)投影面都傾斜一般位置平面，簡稱一般面目

錄2.4.2平面的投影及特性1.投影面的平行面1）平行于某一個(gè)投影面的平面稱為投影面的平行面。2）根據(jù)其所平行的投影面不同，投影面平行面也可分為三種：?

水平面——平行于H面的平面；?

正平面——平行于V面的平面；?

側(cè)平面——平行于W面的平面。目

錄3）投影面平行面的投影及特性Z以水平面為例：b

c

a

c

b

a

積聚性積聚性oYWXac實(shí)

形bYH投影面平行面的投影特性是：1)當(dāng)用平面圖形表示平面時(shí)，平面在其所平行的投影面上的投影，反映平面圖形的實(shí)形；2)在另外兩個(gè)投影面上的投影均積聚性為平行相應(yīng)投影軸的直線段。目

錄名稱正平面水平面?zhèn)绕矫媪Ⅲw圖投影面的平行面投影圖應(yīng)用實(shí)例目

錄2.投影面的垂直面1).只垂直于一個(gè)投影面而傾斜另兩個(gè)投影面的平面，稱為投影面的垂直面。2).根據(jù)其所垂直的投影面不同，可以分為三種：?

鉛垂面——垂直于H面；?

正垂面——垂直于V面；?

側(cè)垂面——垂直于W面。目

錄3）.投影面垂直面的投影及其特性Zb

b

以鉛垂面為例類似性類似性c

c

a

投影面垂直面的投影特性是：a

XoYWβc積聚性bγaYH1)在其所垂直的投影面上的投影積聚為一斜線，該斜線與投影軸的夾角反映該平面對相應(yīng)投影面的傾角；2)如用平面圖形表示平面，則在另外兩個(gè)投影面上的投影不是實(shí)形，但具有類似性。目

錄名稱正垂面鉛垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵婕巴队疤匦粤Ⅲw圖γβα投影圖αβγ應(yīng)用實(shí)例目

錄3.投影面的一般面（1）

一般位置平面與三個(gè)投影面既不垂直也不平行，是空間傾斜的平面。如上圖實(shí)例。目

錄（2）.一般位置平面的投影特性：如用平面圖形(例如三角形)表示一般位置平面，則它的三個(gè)投影均不是實(shí)形，但具有類似性。目

錄2.4.3平面上的點(diǎn)和直線1.平面內(nèi)的點(diǎn)點(diǎn)在平面上的條件：如果點(diǎn)在平面上的某一直線上，則此點(diǎn)必在該平面上

，反之亦然。m’Mm目

錄2.平面內(nèi)的直線直線在平面上的條件:1).過平面上的兩個(gè)點(diǎn)所作的直線在已知面內(nèi)

。m’n’MNmm目

錄2.平面內(nèi)的直線直線在平面上的條件:2).過平面上一點(diǎn)且平行面內(nèi)的一條在面線所作的直線在已知面上。m

Mm目

錄［例1］已知平面ABC內(nèi)一點(diǎn)K的H投影k,試求K點(diǎn)的V投影k

。b

b

d

1）d

2）k

●k

c

●c

a

a

0XX0bbdd●k●kaacc過平面內(nèi)兩已知點(diǎn)作輔助線求解過平面內(nèi)一個(gè)已知點(diǎn)作平面內(nèi)已知直線的平行線求解目

錄［例2］已知四邊形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V投影a′b′c′，試完成其V投影

。d′a′1）連接ac和a′c′得輔助線AC的兩投影；e′b′2）連接bd交ac于e；c′3ea′c′e′b′e′）由

在

上求出

；a4）連接b′e′，

在

上求d出d′；e5）分別連接a′d′；及c′d′，即為所求。bc目

錄［例3］已知平面ABC和直線MN的兩面投影，試判斷MN是否在ABC平面上。1）連c‘m’和

c‘n’分別交

a'b'于1'、2'點(diǎn)；2）在水平投影ab上求得1、2兩點(diǎn)，并連接cm和

cn；如圖2-44b所示。1′2′3）判斷：由于cm過1點(diǎn)，但cn不過2點(diǎn)，所以M點(diǎn)在平面內(nèi)但N不在，因此，直線MN不在平面ABC內(nèi)。21目

錄2.4.4平面內(nèi)的特殊線—在面平行線既在已知平面上，同時(shí)又平行某一投影面的線段叫在面平行線1.在面平行線的種類：在面正平線在面?zhèn)绕骄€在面水平線在面正平線（∥V面的在面線）在面水平線（∥H面的在面線）在面?zhèn)绕骄€（∥W面的在面線）目

錄2.在面平行線的特性1）它是已知平面上的直線，符合在面線的投影特性。2）它又是投影面的平行線，所以具有投影面平行線的投影特性，即兩個(gè)投影平行投影軸，一個(gè)投影為反映實(shí)長的斜線。下圖分別為在面正平線、在面水平線和在面?zhèn)绕骄€的三面投影圖。目

錄3.在面平行線作圖要點(diǎn)1.先畫在面平行線平行投影軸的兩個(gè)投影；2.由在面條件求反映實(shí)長的傾斜投影。目

錄2.5直線與平面、平面與平面的相對位置本節(jié)討論直線與平面、平面與平面的相對位置關(guān)系及其投影，包括以下內(nèi)容：1)平行關(guān)系：直線與平面平行，兩平面平行。2)相交關(guān)系：直線與平面相交，兩平面相交。目

錄當(dāng)平面是特殊位置（垂直面或平行面）平面時(shí)，該平面至少有一個(gè)積聚性投影。由平面的積聚性投影入手，就能直觀地了解直線與平面和平面與平面平行或相交的投影特性，并能簡化相應(yīng)的作圖。目

錄2.5.1平行關(guān)系1.直線與平面平行定理:若直線平行于平面上的任一在面線，則該直線必定平行此平面。當(dāng)平面為特殊面時(shí)，若直線的投影平行平面同面的積聚性投影，則直線平行該平面。目

錄如圖：由于ef∥ad，e

f

∥a

d

，即EF∥AD，且AD是ABC平面上的一直線，所以，直線EF平行于ABC平面。目

錄當(dāng)平面EFG為鉛垂面時(shí)，只要AB直線的水平投影ab平行平面的積聚性投影efg（水平投影）,則直線一定平行平面EFG。注：只要直線的投影平行平面同面的積聚性投影，則在沒有其他約束條件的情況下，直線的另一個(gè)投影可以是任意位置，目

錄[例4]過已知點(diǎn)k，作一條水平線平行于△ABC平面。步驟：b′k′l′1）在ABC平面內(nèi)作一水平線AD；d′a′c′2）過點(diǎn)K作XKL∥AD；akc3）直線KLl即為所求。db目

錄[例5]試判斷:已知直線EF是否平行于三棱錐的側(cè)表面SBC。作圖步驟：1）作三棱錐在面線b

m

∥e

f

；2）根據(jù)在面條件求作水平投影bm；m

3）判斷：由于bm不平行于ef，即在該平面內(nèi)作不出與EF平行的直線，所以，直線EF不平行m于三棱錐側(cè)表面SBC。目

錄2.5.1平行關(guān)系2.平面與平面平行定理:如果一平面上的兩條相交直線分別平行于另一平面上的兩條相交直線，則此兩平面平行。當(dāng)平面為特殊面時(shí)，如果兩平面任一組同面的積聚性投影平行，則這兩個(gè)平面平行。目

錄兩個(gè)特殊面平行因?yàn)槠矫鍼∥Q且它們是鉛垂面，所以其水平投影積聚且平行，即

p∥q，正面投影p’和q’是符合各自投影關(guān)系的類似圖形。目

錄［例6］判斷下面直線與平面是否平行。（

）（

）

（

）

（

）目

錄［例7］過點(diǎn)K作一平面，使其平行平面ABC。解：只要過K點(diǎn)作兩條相交直線分別平行于△ABC的兩條邊，則這兩條相交直線所確定的平面就是所求平面。作圖步驟：l

b

1）作KL∥BC(k

l

∥b

c

,kl∥bc);d

a

k

c

2）作KD∥ACXb(k

d

∥a

c

,kd∥ac);lca3）平面KDL即為所求。kd目

錄2.5.2相交關(guān)系1.直線與平面和兩個(gè)平面相交的基本問題（1）直線與平面相交的交點(diǎn)具有共有性，即它既在直線上，也在平面上，并且交點(diǎn)是直線可見與不可見部分的分界點(diǎn)。求直線與平面的交點(diǎn)，實(shí)質(zhì)是求它們的共有點(diǎn)。（2）兩個(gè)平面的交線是一條直線，交線既是兩個(gè)平面的公有線，也是兩個(gè)平面投影圖中的可見與不可見部分的分界線。求兩個(gè)平面的交線，需求出兩個(gè)共有點(diǎn)，或求出一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向，即可確定該交線。目

錄1.直線與平面和兩個(gè)平面相交的基本問題（3）由此可見：求直線與平面的交點(diǎn)，或求兩個(gè)平面的交線，都可以歸結(jié)為求它們的共有點(diǎn)的問題。（4）求出直線與平面的交點(diǎn)，或者求出兩個(gè)平面的交線后，還要根據(jù)它們在空間的相互位置，在投影圖中判斷其可見性，不可見的部分不畫或畫成虛線。目

錄2.直線與平面相交

（1）利用積聚性求交點(diǎn)當(dāng)平面或直線的投影有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的兩個(gè)投影