第四板塊 創(chuàng)新強(qiáng)化練“統(tǒng)計與概率”創(chuàng)新考法專訓(xùn)

第四板塊創(chuàng)新強(qiáng)化練“統(tǒng)計與概率”創(chuàng)新考法專訓(xùn)1．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，下列四個命題：甲：P(X>m＋1)>P(X<m－2)；乙：P(X≥m)＝0.5；丙：P(X≤m)＝0.5；?。篜(m－1<X<m)<P(m＋1<X<m＋2)，如果有且只有一個是假命題，那么該命題是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：選D因?yàn)镻(X≥m)＝0.5，P(X≤m)＝0.5均等價于μ＝m，由題意可得乙，丙均為真命題，且μ＝m.對于甲：因?yàn)镻(X>m＋1)＝P(X<m－1)>P(X<m－2)，故甲為真命題；對于丁：因?yàn)镻(m－1<X<m)＝P(m<X<m＋1)>P(m＋1<X<m＋2)，故丁為假命題．2．(2023·赤峰模擬)如圖，將正方體沿交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，如此共可截去八個三棱錐，截取后的剩余部分稱為“阿基米德多面體”，它是一個24等邊半正多面體．從它的棱中任取兩條，則這兩條棱所在的直線為異面直線的概率為()A.eq\f(10,23)B.eq\f(12,23)C.eq\f(29,69)D.eq\f(50,69)解析：選B當(dāng)一條直線位于上(或下)底面，另一條不在底面時，共有10×8＝80對異面直線，當(dāng)兩條直線都位于上、下底面時，有4×2＝8對異面直線，當(dāng)兩條直線都不在上、下底面時，有7×8＝56對異面直線，所以兩條棱所在的直線為異面直線的概率為P＝eq\f(80＋8＋56,C\o\al(2,24))＝eq\f(12,23).3．(2023·金華模擬)某市舉行一環(huán)保知識競賽活動．競賽共有“生態(tài)環(huán)境”和“自然環(huán)境”兩類題，每類各5題．其中每答對1題“生態(tài)環(huán)境”題得10分，答錯得0分；每答對1題“自然環(huán)境”題得20分，答錯扣5分．已知小明同學(xué)“生態(tài)環(huán)境”題中有3題會作答，而答對各個“自然環(huán)境”題的概率均為eq\f(2,5).若小明同學(xué)在“生態(tài)環(huán)境”題中抽1題，在“自然環(huán)境”題中抽3題作答，每個題抽后不放回．則他在這次競賽中得分在10分以下(含10分)的概率為()A.eq\f(81,625) B.eq\f(243,625)C.eq\f(189,625) D.eq\f(162,625)解析：選B小明在這次競賽中得分在10分以下(含10分)的事件為A，“生態(tài)環(huán)境”題答對且“自然環(huán)境”題全錯的事件為A1，“生態(tài)環(huán)境”題答錯且“自然環(huán)境”題最多答對1題的事件為A2，顯然A1與A2互斥，A＝A1＋A2，P(A1)＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,5)))3＝eq\f(81,625)，P(A2)＝eq\f(2,5)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(Ceq\o\al(1,3)×eq\f(2,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2＋Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))))3＝eq\f(162,625)，所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(243,625).4．(2023·銀川模擬)泊松分布是一種描述隨機(jī)現(xiàn)象的概率分布，在經(jīng)濟(jì)生活、事故預(yù)測、生物學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，泊松分布的概率分布列為P(x＝k)＝eq\f(λk,k！)e－λ(k＝0,1,2，…)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，λ是泊松分布的均值．當(dāng)n很大且p很小時，二項分布近似于泊松分布，其中λ＝np.一般地，當(dāng)n≥20而p≤0.05時，泊松分布可近似作為二項分布．若隨機(jī)變量X～B(1000，0.001)，P(X≥2)的近似值為()A．1－eq\f(1,e) B．1－eq\f(2,e)C．1－eq\f(e,4) D．1－eq\f(1,e2)解析：選B由題，n＝1000≥20，p＝0.001≤0.05，泊松分布可近似作為二項分布，此時λ＝1000×0.001＝1，所以P(X＝k)＝eq\f(1,k！)e－1，所以P(X＝0)＝eq\f(1,0！)e－1＝eq\f(1,e)，P(X＝1)＝eq\f(1,1！)e－1＝eq\f(1,e)，則P(X≥2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)＝1－eq\f(2,e).5．[多選]已知隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)a)e－eq\f(x－b2,2a2)(a>0，b>0)，且φ(x)的極大值點(diǎn)為x＝2a，記f(k)＝P(X<k)，g(k)＝P(X>k＋a)，則()A．X～N(b，a)B．X～N(2a，a2)C．f(a)＝g(2a)D．f(2a)＋g(2a)＝f(a)＋g(a)解析：選BCD根據(jù)已知可得，μ＝b，σ＝a.因?yàn)棣?x)的極大值點(diǎn)為x＝2a，所以有b＝2a.所以X～N(2a，a2)，故A錯誤，B正確；由A分析可知，μ＝2a.又f(a)＝P(X<a)，g(2a)＝P(X>2a＋a)＝P(X>3a)，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性，可知P(X<a)＝P(X>3a)，所以f(a)＝g(2a)，故C正確；因?yàn)棣蹋?a，所以f(2a)＝P(X<2a)＝eq\f(1,2)，g(a)＝P(X>2a)＝eq\f(1,2).所以f(2a)＋g(2a)＝eq\f(1,2)＋f(a)＝f(a)＋g(a)，故D正確．6．(2023·東北師大附中校聯(lián)考模擬)[多選]金槍魚因?yàn)槿赓|(zhì)柔嫩鮮美、營養(yǎng)豐富深受現(xiàn)代人喜愛，常被制作成罐頭食用．但當(dāng)這種魚罐頭中的汞含量超過1.0mg/kg時，食用它就會對人體產(chǎn)生危害．某工廠現(xiàn)有甲、乙兩條金槍魚罐頭生產(chǎn)線，現(xiàn)從甲、乙兩條生產(chǎn)線中各隨機(jī)選出10盒罐頭并檢驗(yàn)其汞含量(單位為mg/kg)，其中甲生產(chǎn)線數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下：0.07,0.24,0.39,0.54,0.61,0.66,0.73,0.82,0.95,0.99，其方差為seq\o\al(2,1)＝0.08.乙生產(chǎn)線統(tǒng)計數(shù)據(jù)的均值為eq\x\to(x)2＝0.4，方差為seq\o\al(2,2)＝0.11，下列說法正確的是()A．甲生產(chǎn)線的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值樣本的上四分位數(shù)是0.82B．甲生產(chǎn)線的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值樣本的上四分位數(shù)是0.775C．由樣本估計總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量平均值高于兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量平均值D．由樣本估計總體，甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值更穩(wěn)定解析：選ACD10×0.75＝7.5，則從小到大排列，第8個數(shù)為上四分位數(shù)，即0.82，A正確，B錯誤；甲生產(chǎn)線數(shù)據(jù)平均數(shù)為eq\f(1,10)×(0.07＋0.24＋0.39＋0.54＋0.61＋0.66＋0.73＋0.82＋0.95＋0.99)＝0.6，故兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量的平均值為eq\f(0.6＋0.4,2)＝0.5，因?yàn)?.6>0.5，所以C正確；設(shè)兩條生產(chǎn)線的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值樣本的方差為s2，則s2＝eq\f(s\o\al(2,1)×10＋s\o\al(2,2)×10,20)＝eq\f(0.8＋1.1,20)＝0.095>0.08，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值更穩(wěn)定，D正確．故選A、C、D.所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值較兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的金槍魚罐頭汞含量數(shù)值更穩(wěn)定，D正確．故選A、C、D.7．(2023·泉州三模)[多選]某商場設(shè)有電子盲盒機(jī)，每個盲盒外觀完全相同，規(guī)定每個玩家只能用一個賬號登錄，且每次只能隨機(jī)選擇一個開啟．已知玩家第一次抽盲盒，抽中獎品的概率為eq\f(2,7)，從第二次抽盲盒開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為eq\f(1,2)，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為eq\f(1,3).記玩家第n次抽盲盒，抽中獎品的概率為Pn，則()A．P2＝eq\f(19,42)B．?dāng)?shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,7)))為等比數(shù)列C．Pn≤eq\f(19,42)D．當(dāng)n≥2時，n越大，Pn越小解析：選ABC記玩家第i(i∈N)次抽盲盒并抽中獎品為事件Ai，依題意，P1＝eq\f(2,7)，P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(An－1)))＝eq\f(1,3)，P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)n－1)))＝eq\f(1,2)，Pn＝P(An)，P2＝P(A2)＝P(A1)P(A2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(A1)))＋P(eq\x\to(A)1)P(A2eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)1)))＝eq\f(2,7)×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,7)))×eq\f(1,2)＝eq\f(19,42)，A正確；P(An)＝P(An－1)P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(An－1)))＋P(eq\x\to(A)n－1)·P(Aneq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\x\to(A)n－1)))，所以Pn＝eq\f(1,3)Pn－1＋eq\f(1,2)(1－Pn－1)＝－eq\f(1,6)Pn－1＋eq\f(1,2)，所以Pn－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Pn－1－\f(3,7)))，又因?yàn)镻1＝eq\f(2,7)，則P1－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,7)≠0，所以數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(3,7)))是首項為－eq\f(1,7)，公比為－eq\f(1,6)的等比數(shù)列，B正確；由B項可知，Pn－eq\f(3,7)＝－eq\f(1,7)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，則Pn＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，當(dāng)n為奇數(shù)時，Pn＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7·6n－1)<eq\f(3,7)<eq\f(19,42)，當(dāng)n為偶數(shù)時，Pn＝eq\f(3,7)＋eq\f(1,7·6n－1)，則Pn隨著n的增大而減小，所以Pn≤P2＝eq\f(19,42).綜上所述，對任意的n∈N，Pn≤eq\f(19,42)，C正確；因?yàn)镻n＝eq\f(3,7)－eq\f(1,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)))n－1，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn))為擺動數(shù)列，D錯誤．故選A、B、C.8．(2023·溫州二模)若數(shù)列a1，a2，a3，a4滿足a1＋a4＝a2＋a3，則稱此數(shù)列為“準(zhǔn)等差數(shù)列”．現(xiàn)從1,2，…，9,10這10個數(shù)中隨機(jī)選取4個不同的數(shù)，則這4個數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)呐帕泻罂梢詷?gòu)成“準(zhǔn)等差數(shù)列”的概率是________．解析：和為5有2種組合，和為6有2種組合，和為7有3種組合，和為8有3種組合，和為9有4種組合，和為10有4種組合，和為11有5種組合，和為12有4種組合，和為13有4種組合，和為14有3種組合，和為15有3種組合，和為16有2種組合，和為17有2種組合，所以P＝eq\f(4×C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,4)＋C\o\al(2,5),C\o\al(4,10))＝eq\f(5,21).答案：eq\f(5,21)9．某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時隨機(jī)選擇一家餐廳用餐．如果第一天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6，如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.(1)計算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率；(2)王同學(xué)某次在A餐廳就餐，該餐廳提供5種西式點(diǎn)心，n種中式點(diǎn)心，王同學(xué)從這些點(diǎn)心中選擇三種點(diǎn)心，記選擇西式點(diǎn)心的種數(shù)為X，求n的值使得P(X＝1)取得最大值．解：(1)設(shè)A1＝“第1天去A餐廳用餐”，B1＝“第1天去B餐廳用餐”，A2＝“第2天去A餐廳用餐”，根據(jù)題意得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.所以王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率為0.7.(2)由題意，X的可能取值有0,1,2,3，由超幾何分布可知P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(2,n),C\o\al(3,n＋5))＝eq\f(15nn－1,n＋5n＋4n＋3).令an＝eq\f(15nn－1,n＋5n＋4n＋3)，因?yàn)閚∈N，所以an＋1≥an，可得(n＋1)(n＋3)≥(n＋6)(n－1)，解得n≤9.易知當(dāng)n＝9和n＝10時，P(X＝1)的值相等．所以當(dāng)n＝9或10時，P(X＝1)有最大值，為eq\f(45,91)，即當(dāng)n的值為9或10時，P(X＝1)取得最大值．10．現(xiàn)有4個除顏色外完全一樣的小球和3個分別標(biāo)有甲、乙、丙的盒子，將4個球全部隨機(jī)放入三個盒子中(允許有空盒)．(1)記盒子乙中的小球個數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)對于兩個不互相獨(dú)立的事件M，N，若P(M)>0，P(N)>0，則稱ρ(M，N)＝eq\f(PMN－PMPN,\r(PMP\x\to(M)PNP\x\to(N)))為事件M，N的相關(guān)系數(shù)．①若ρ(M，N)>0，求證：P(M|N)>P(M)；②若事件M：盒子乙不空，事件N：至少有兩個盒子不空，求ρ(M，N)．解：(1)由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,4，且X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,3)))，故E(X)＝4×eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).(2)①證明：因?yàn)棣?M，N)＝eq\f(PMN－PMPN,\r(PMP\x\to(M)PNP\x\to(N)))，且ρ(M，N)>0，所以P(MN)－P(M)P(N)>0，即eq\f(PMN,PN)>P(M)．而P(M|N)＝eq\f(PMN,PN)，所以P(M|N)>P(M)．②事件M：盒子乙不空，則事件eq\x\to(M)：盒子乙空，由(1)可知P(eq\x\to