聚焦中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)知識點第42課相似三角形的應(yīng)用

第42課相似三角形的應(yīng)用

基礎(chǔ)知識題型分類要點梳理題型一利用相似解決生活實際問題基礎(chǔ)自測題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格

中的圖形變換

題型三相似三角形與其他知識的綜

合應(yīng)用思想與方法11.三角形內(nèi)線段比的計算知識點索引要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.觀察者眼睛的位置叫做視點；從視點出發(fā)經(jīng)過觀察點的射線叫做視線；兩條視線的夾角叫做視角．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.實際生活中，面對不能直接測量出長度和寬度的物體，我們可以應(yīng)用相似三角形的知識來測量．相似應(yīng)用最廣泛的是測量學(xué)中的應(yīng)用，在實際測量物體的高度、寬度時，關(guān)鍵是要構(gòu)造和實物所在三角形相似的三角形，而且要能測量已知三角形的各條線段的長，只要將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立相似三角形模型，再利用線段成比例來求解．要點梳理基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.判斷三角形相似時的思路：

(1)條件中若有平行線，可采用相似三角形的基本定理；

(2)條件中若有一對等角，可找一對等角或找夾邊成比例；

(3)條件中若有兩邊對應(yīng)成比例，可找夾角相等；

(4)條件中若有一對直角，可考慮再找一對銳角相等或證明兩邊對應(yīng)成比例；

(5)條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等，或找一對底角相等，或找底與腰對應(yīng)成比例．基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引1.(中考真題-柳州)小明在測量樓高時，先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖)，然后在A處樹立一根高2米的標(biāo)桿，測得標(biāo)桿的影長AC為3米，則樓高為(

)A.10米B.12米

C.15米D.22.5米A基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.(中考真題-宜昌)如圖，A、B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC、BC的中點M、N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是(

)A.AB＝24m B.MN∥ABC.△CMN∽△CAB D.CM∶MA＝1∶2基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引∴△CMN∽△CAB，∴AB＝2MN＝2×12＝24(m)，∵M是AC的中點，∴CM＝MA，∴CM∶MA＝1∶1，故描述錯誤的是D選項．故選D.基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引2.(中考真題-宜昌)如圖，A、B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測出了A、B間的距離：先在AB外選一點C，然后測出AC、BC的中點M、N，并測量出MN的長為12m，由此他就知道了A、B間的距離．有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是(

)A.AB＝24m B.MN∥ABC.△CMN∽△CAB D.CM∶MA＝1∶2D基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引3.(中考真題-北京)如圖，為估算某河的寬度，在河對岸邊選定一個目標(biāo)點A，在近岸取點B、C、D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，點E在BC上，并且點A、E、D在同一條直線上．若測得BE＝20m，EC＝10m，CD＝20m，則河的寬度AB等于

(

)A.60mB.40mC.30mD.20mB基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引4.(中考真題-咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引4.(中考真題-咸寧)如圖，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃．已知自由飛翔的小鳥，將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥在花圃上的概率為(

)C基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.如圖，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置邊長分別

3，4，x的三個正方形，則x的值為(

)A.5B.6C.7D.12基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引解析∵在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置邊長分別3，4，x的三個正方形，∴△CEF∽△OME∽△PFN，∴OE∶PN＝OM∶PF，∵EF＝x，OM＝3，PN＝4，∴OE＝x－3，PF＝x－4，基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)知識點索引5.如圖，在直角三角形ABC中(∠C＝90°)，放置邊長分別

3，4，x的三個正方形，則x的值為(

)A.5B.6C.7D.12C題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-遵義)“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點

E、南門點F分別是AB、AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG

＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝________里．題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引解析∵EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，HG經(jīng)過A點，∴FA∥EG，EA∥FH，∴∠HFA＝∠AEG＝90°，∠FHA＝∠EAG，∵AB＝9，AD＝7，EG＝15，∴FA＝3.5，EA＝4.5，題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引【例1】

(中考真題-遵義)“今有邑，東西七里，南北九里，各開中門，出東門一十五里有木，問：出南門幾何步而見木？”這段話摘自《九章算術(shù)》，意思是說：如圖，矩形ABCD，東邊城墻AB長9里，南邊城墻AD長7里，東門點

E、南門點F分別是AB、AD的中點，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥AD，EG

＝15里，HG經(jīng)過A點，則FH＝________里．1.05題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引探究提高本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實際問題中整理出相似三角形．題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練1為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE＝2.7

米，觀測者目高CD＝1.6米，則樹高AB約是__________．

(精確到0.1米)題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引解析由光的反射原理可知，∠CED＝∠AEB，∵∠CDE＝∠ABE＝90°，∴△CED∽△AEB.題型一利用相似解決生活實際問題題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練1為了測量校園內(nèi)一棵不可攀的樹的高度，學(xué)校數(shù)學(xué)應(yīng)用實踐小組做了如下的探索：根據(jù)光的反射定律，利用一面鏡子和皮尺，設(shè)計如圖所示的測量方案：把鏡子放在離樹(AB)8.7米的點E處，然后沿著直線BE后退到點D，這時恰好在鏡子里看到樹梢頂點A，再用皮尺量得DE＝2.7

米，觀測者目高CD＝1.6米，則樹高AB約是__________．

(精確到0.1米)5.2題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引【例2】

(中考真題-安徽)如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點)．(1)將△ABC向上平移3個單位得到△A1B1C1，請畫出△A1B1C1；(2)請畫一個格點△A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不為1.題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)如圖所示：△A1B1C1即為所求．(2)如圖所示：△A2B2C2即為所求．題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引探究提高此題主要考查了相似變換和平移變換，得出變換后圖形對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引(1)如圖1，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN

與△ABC相似，求線段MN的長；題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引(2)如圖2，是由100個邊長為1的小正方形組成的10×10的正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點在這些小正方形頂點上的三角形為格點三角形．①請你在所給的網(wǎng)格中畫出格點△A1B1C1與△ABC全等；

(畫出一個即可，不需證明)②試直接寫出所給的網(wǎng)格中與△ABC相似且面積最大的格點三角形的個數(shù)，并畫出其中一個(不需證明)．題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引(2)①作圖如圖所示：題型二相似三角形在坐標(biāo)系、網(wǎng)格中的圖形變換題型分類·深度剖析知識點索引②每條對角線處可作4個三角形與原三角形相似，故共有8個．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引【例3】

(中考真題-紹興)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l

平行x軸，交y軸于點A，第一象限內(nèi)的點B在l上，連接

OB，動點P滿足∠APQ＝90°，PQ交x軸于點C.題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引(1)當(dāng)動點P與點B重合時，若點B的坐標(biāo)是(2，1)，求PA的長；(2)當(dāng)動點P在線段OB的延長線上時，若點A的縱坐標(biāo)與點B的橫坐標(biāo)相等，求PA∶PC的值；(3)當(dāng)動點P在直線OB上時，點D是直線OB與直線CA的交點，點

E是直線CP與y軸的交點，若∠ACE＝∠AEC，PD＝2OD，求PA∶PC的值．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)∵點P與點B重合，點B的坐標(biāo)是(2，1)，∴點P的坐標(biāo)是(2，1)，∴PA的長為2.(2)過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，如圖1所示．∵點A的縱坐標(biāo)與點B的橫坐標(biāo)相等，∴OA＝AB，∵∠OAB＝90°，∴∠AOB＝∠ABO＝45°，∵∠AOC＝90°，∴∠POC＝45°，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，∴PM＝PN，∠ANP＝∠CMP＝90°，∴∠NPM＝90°，∵∠APC＝90°，∴∠APN＝90°－∠APM＝∠CPM.在△ANP和△CMP中，∵∠APN＝∠CPM，PN＝PM，∠ANP＝∠CMP，∴△ANP≌△CMP(ASA)，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引(3)①若點P在線段OB的延長線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，如圖2所示．∵∠APN＝∠CPM，∠ANP＝∠CMP，∵∠ACE＝∠AEC，∴AC＝AE，∵AP⊥PC，∴EP＝CP，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引∵∠APC＝90°，AF＝CF，∴AC＝2PF＝4x，∵∠PNO＝∠NOM＝∠OMP＝90°，∴四邊形PMON是矩形，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引②若點P在線段OB的反向延長線上，過點P作PM⊥x軸，垂足為M，過點P作PN⊥y軸，垂足為N，PM與直線AC的交點為F，連接PA，如圖3所示．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引探究提高本題考查了角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線等分線段定理、勾股定理等知識，綜合性非常強．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引變式訓(xùn)練3

(中考真題-廣東)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，BC＝10cm，AD＝8cm.點P從點B出發(fā)，在線段

BC上以每秒3cm的速度向點C勻速運動，與此同時，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB、AC、AD于E、F、H，當(dāng)點P到達點

C時，點P與直線m同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒(t＞

0)．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引(1)當(dāng)t＝2時，連接DE、DF，求證：四邊形AEDF為菱形；(2)在整個運動過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時，求線段BP的長；(3)是否存在某一時刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請求出此時刻t的值；若不存在，請說明理由．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引解

(1)證明：∵當(dāng)t＝2時，DH＝AH＝2，∴H為AD的中點，如答圖1所示．∵EF⊥AD，∴EF為AD的垂直平分線，∴AE＝DE，AF＝DF，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠B＝∠C，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C，∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，即四邊形AEDF為菱形．題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引∴當(dāng)t＝2秒時，S△PEF存在最大值，最大值為10，此時BP＝3t＝6.題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引(3)存在．理由如下：①若點E為直角頂點，如答圖3－1所示，此時PE∥AD，PE＝DH＝2t，BP＝3t，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引②若點F為直角頂點，如答圖3－2所示，此時PE∥AD，PF＝DH＝2t，BP＝3t，CP＝10－3t，題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引③若點P為直角頂點，如答圖3－3所示，過點E作EM⊥BC于點M，過點F作FN⊥BC于點N，則EM＝FN＝DH＝2t，EM∥FN∥AD.題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用題型分類·深度剖析知識點索引題型三相似三角形與其他知識的綜合應(yīng)用