數(shù)學(xué)《幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型》（新人教A版）

函數(shù)模型及其應(yīng)用幾種不同增長(zhǎng)的函數(shù)模型例題：例1、假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報(bào)如下：方案一：每天回報(bào)40元；方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多 回報(bào)10元；方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前 一天翻一番。請(qǐng)問(wèn)，你會(huì)選擇哪種投資方案呢？思考投資方案選擇原則：投入資金相同，回報(bào)量多者為優(yōu)

比較三種方案每天回報(bào)量(2)比較三種方案一段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量

哪個(gè)方案在某段時(shí)間內(nèi)的總回報(bào)量最多，我們就在那段時(shí)間選擇該方案。分析

我們可以先建立三種投資方案所對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，再通過(guò)比較它們的增長(zhǎng)情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報(bào)為y元，則方案一：每天回報(bào)40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回報(bào)10元，以后每天比前一天多回 報(bào)10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報(bào)0.4元，以后每天的回報(bào)比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元y/元增長(zhǎng)量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.2…………………3040030010214748364.8107374182.4圖112-1從每天的回報(bào)量來(lái)看： 第1~4天，方案一最多： 每5~8天，方案二最多： 第9天以后，方案三最多；有人認(rèn)為投資1~4天選擇方案一；5~8天選擇方案二；9天以后選擇方案三？畫圖累積回報(bào)表

天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8結(jié)論

投資1~6天，應(yīng)選擇第一種投資方案；投資7天，應(yīng)選擇第一或二種投資方案；投資8~10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。

例題的啟示解決實(shí)際問(wèn)題的步驟：實(shí)際問(wèn)題讀懂問(wèn)題抽象概括數(shù)學(xué)問(wèn)題演算推理數(shù)學(xué)問(wèn)題的解還原說(shuō)明實(shí)際問(wèn)題的解例2、某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷售部門的獎(jiǎng)勵(lì)方案：在銷售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨著銷售利潤(rùn)x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，但資金數(shù)不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)利潤(rùn)的25%。現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y=0.25x，y=log7x+1，y=1.002x，其中哪個(gè)模型能符合公司的要求呢？(1)、由函數(shù)圖象可以看出，它在區(qū)間[10,1000]上遞增，而且當(dāng)x=1000時(shí)，y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎(jiǎng)金不超過(guò)5萬(wàn)元的要求。模型y=log7x+1(2)、再計(jì)算按模型y=log7x+1獎(jiǎng)勵(lì)時(shí)，獎(jiǎng)金是否不超過(guò)利潤(rùn)的25%，即當(dāng)x∈[10,1000]時(shí)，是否有成立。令f(x)=log7x+1-0.25x，x∈[10,1000].利用計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知它是遞減的，因此f(x)<f(10)≈-0.3167<0,即

log7x+1<0.25x所以，當(dāng)x∈[10,1000]，例3.探究函數(shù)的增長(zhǎng)情況并分析差異1.列表：幾何畫板演示2.作圖：結(jié)論1：一般地，對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=ax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，無(wú)論n比a大多少，盡管在x的一定范圍內(nèi)，ax會(huì)小xn，但由于ax的增長(zhǎng)快于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有ax>xn.結(jié)論2：一般地，對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>1)和冪函數(shù)y=xn(n>0)，通過(guò)探索可以發(fā)現(xiàn)：在區(qū)間(0,+∞)上，隨著x的增大，logax增大得越來(lái)越慢，圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣。盡管在x的一定范圍內(nèi)，logax可能會(huì)小xn，但由于logax的增長(zhǎng)慢于xn的增長(zhǎng)，因此總存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就會(huì)有l(wèi)ogax<xn.綜上所述：(1)、在區(qū)間(0,+∞)上，y=ax(a>1)，y=logax(a>1)和y=xn(n>0)都是增函數(shù)。(2)、隨著x的增大，y=ax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度。(3)、隨著x的增大，y=logax(a>1)的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，會(huì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于y=xn(n>0)的增長(zhǎng)速度?？偞嬖谝粋€(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，就有

lo