北京市通州區(qū)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

通州區(qū)20232024學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，共150分.考試時(shí)長120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的含義即可.【詳解】根據(jù)交集的含義知，故選：B2.命題:的否定是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題的否定為全稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題：為存在量詞命題，其否定為：.故選：D3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)以及對(duì)勾函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可得到答案.【詳解】對(duì)A，函數(shù)的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則其不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知其不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，，而，則在區(qū)間不是單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)知是奇函數(shù)且其在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D.4.已知函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表所示，函數(shù)的圖象如圖所示,則的值為（）036306A.9 B.6 C.3 D.0【答案】B【解析】【分析】直接根據(jù)函數(shù)圖像和表格計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：B.5.有限集合中元素的個(gè)數(shù)記作，若都為有限集合,則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合新定義以及集合交集、子集的含義即可判斷.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)槎紴橛邢藜?，所以，則正向可以推出，若，舉例，，但，則反向無法推出，則“”是“”的充分不必要條件.故選：A.6.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】的對(duì)稱軸為，且開口向上，則要使其在區(qū)間上增函數(shù)，需，解得，則其取值范圍為，故選：C.7.下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【詳解】舉例說明判斷ABC，利用不等式性質(zhì)推理判斷D.【分析】對(duì)于A，由，得，取，顯然，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，取，顯然，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，取，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得，則，而，因此，所以，D正確.故選：D8.向體積相同且高為的花瓶中，注水注滿為止.如果注水量與水深的函數(shù)關(guān)系式如圖所示，那么花瓶的形狀是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】確定花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對(duì)比選項(xiàng)得到答案.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖像知：開始階段相同的高度下體積增加得快，結(jié)束階段增加得慢，故花瓶形狀為下寬上窄的形狀，對(duì)比知B滿足.故選：B9.我們知道函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為:函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的對(duì)稱中心是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】，根據(jù)定義域得到，根據(jù)得到，得到對(duì)稱中心.【詳解】，為奇函數(shù)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故，，，即，即，故，故，即對(duì)稱中心為.故選：A.10.公園內(nèi)常設(shè)有如圖所示的護(hù)欄，柱與柱之間是一條均勻懸鏈.數(shù)學(xué)中把這種兩端固定的一條(粗細(xì)與質(zhì)量分布)均勻、柔軟的鏈條，在重力的作用下所具有的曲線形狀稱為懸鏈線.在恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，這類函數(shù)的表達(dá)式可以為(其中為非零常數(shù),為無理數(shù),，則以下結(jié)論正確的是（）A.若，則為奇函數(shù)B.若，則函數(shù)的最小值為2C.若，則方程沒有實(shí)數(shù)根D.若，則函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的相關(guān)概念逐項(xiàng)分析判斷即可得解.【詳解】顯然函數(shù)的定義域?yàn)镽，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，，函數(shù)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此方程沒有實(shí)數(shù)根，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，有，而函數(shù)是減函數(shù)，也為減函數(shù)，因此函數(shù)是減函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域是_______.【答案】【解析】【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得，故函數(shù)定義域?yàn)?故答案為：12.不等式的解集為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算性質(zhì)分類討論求出不等式的解集.【詳解】或，解第一個(gè)不等式組，得，第二個(gè)不等式組的解集為空集.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了分式不等式的解集，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13.能說明“”為假命題的一個(gè)實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】取得到，恒成立，得到答案.【詳解】取，則，恒成立，故“”為假命題.故答案為：14.設(shè)函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得，則的值為_______.若存在最大值，則實(shí)數(shù)的最小值為_______.【答案】①.18②.0【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求得，再利用指數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得；分段討論函數(shù)的取值情況，求出有最大值的的范圍即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，恒成立，又，則不存在最大值，即不符合題意，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒有，而，則函數(shù)有最大值0，符合題意，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值，因此函數(shù)有最大值時(shí)，所以實(shí)數(shù)的最小值為0.故答案：18；015.狄利克雷函數(shù)定義為:當(dāng)自變量取有理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為1當(dāng)自變量取無理數(shù)時(shí)，函數(shù)值為0.以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的性質(zhì):①的值域?yàn)椋虎谌?，則有成立；③函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；④不存在，使得為等腰直角三角形.其中表述正確的是_______.【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的值域?yàn)椋盛僬_；對(duì)于②，若均為有理數(shù)，則為有理數(shù)，，，，則，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，若x是有理數(shù)，則是有理數(shù)，則，若x是無理數(shù)，則是無理數(shù)，則，故對(duì)任意,都有，故函數(shù)是偶函數(shù)，③正確；對(duì)于④，若為等腰直角三角形，不妨設(shè)角為直角，則的值R可能性只能為或，由等腰直角三角形的性質(zhì)得，所以，這與矛盾，故不存在，使得為等腰直角三角形.故答案為：①③④.三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知全集，集合.（1）求和;（2）設(shè)集合，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），；（2）或.【解析】【分析】（1）化簡集合A，利用交集、補(bǔ)集、并集的定義求解即得.（2）利用交集運(yùn)算的結(jié)果列出不等式求解即可.小問1詳解】依題意，，則，，所以.【小問2詳解】集合，而，因此或，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是或.17.已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式（2）試比較這三個(gè)數(shù)的大小，并說明理由;（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2），理由見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)函數(shù)為，代入數(shù)據(jù)計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算得到答案.（3）根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，解得答案.【小問1詳解】設(shè)函數(shù)為，則，解得，即；【小問2詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，故，即；【小問3詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即，故，解得，即.18.已知函數(shù).（1）證明:為偶函數(shù);（2）用定義證明:在區(qū)間上單調(diào)遞減.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用奇偶函數(shù)的判定方法即可；（2）利用定義法進(jìn)行取值作差變形判定即可.【小問1詳解】因?yàn)椋缘亩x域?yàn)?對(duì)于任意，因?yàn)椋詾榕己瘮?shù).【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，.任取，且，那么，因?yàn)?，所以，從而，?所以是上的減函數(shù).19.剛剛結(jié)束的2023年杭州亞運(yùn)會(huì)給人們留下了深刻印象，也帶火了很多杭州特色產(chǎn)品.某小組通過對(duì)一款杭州特產(chǎn)龍井茶的某官網(wǎng)銷售情況的調(diào)查發(fā)現(xiàn):該商品在過去30天內(nèi)，銷售單價(jià)(單位:百元)與時(shí)間(單位:天)的函數(shù)關(guān)系近似滿足(為常數(shù)),日銷售量(單位:件)與時(shí)間的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示:51015202530180310390420400330已知第5天的日銷售收入為216百元.（1）求的值；（2）給出以下三種函數(shù)模型(1)；(2)；(3).請(qǐng)根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述與的變化關(guān)系，并求出函數(shù)的解析式;（3）記該商品在這30天內(nèi)的日銷售收入為(單位:百元)，求的最大值.【答案】（1）（2），（3）【解析】分析】（1）由代入計(jì)算可得；（2）首先判斷，再代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得；（3）由求出的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.【小問1詳解】由題意得，解得．【小問2詳解】由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，該商品的日銷售量有增有減，并不單調(diào)，而①，③中的函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，故只能選②，即．由表中數(shù)據(jù)可得，，即，解得，故，．【小問3詳解】由（1）可得，依題意，，所以當(dāng)時(shí)取得最大值，即，即的最大值為.20.設(shè)函數(shù)，函數(shù)，用表示中的較大者，記為，再從條件（1）、條件（2）這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.條件（1）:條件（2）:恒成立.（1）求不等式的解集;（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍;注:如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）選擇條件①代入計(jì)算即可求得值，再列出不等式解出即可；選擇條件②根據(jù)二次函數(shù)的最值即可得到的值；（2）求出分段函數(shù)，再分離參數(shù)，利用基本不等式即可得到答案.【小問1詳解】若選擇條件①因?yàn)?，所以，?所以，因?yàn)椋?，解得或，所以不等式解集?若選擇條件②恒成立，故最小值為，所以對(duì)稱軸方程為，所以，故.以下同條件條件①.【小問2詳解】不論是條件①或是條件②均可以得到，因?yàn)椋鶕?jù)（1）中條件①的同種方法即可得到當(dāng)時(shí)，，所以，又因?yàn)楫?dāng)，不等式恒成立，故當(dāng)，不等式恒成立，即恒成立，.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，即.21.已知正整數(shù)集合,對(duì)任意，定義.若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意，都有,則稱集合具有性質(zhì).記是集合中的最大值.（1）判斷集合和集合是否具有性質(zhì)，直接寫出結(jié)論；（2）若集合具有性質(zhì)，求證：；（3）若集合具有性質(zhì)，求的最大值.【答案】（1）集合具有性質(zhì)；集合不具有性質(zhì)；（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)定義直接判斷得到答案.（2）確定，變換，計(jì)算得到證明.（3）確定，得到，確