浙江省杭州市錢塘聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1.本卷共6頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】關(guān)于平面對稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)不變，得到答案.【詳解】關(guān)于平面的對稱點(diǎn)為.故選：C2.高二年級有男生310人，女生290人，用分層隨機(jī)抽樣的方法按性別比例從全年級學(xué)生中抽取樣本，若抽取的樣本中男生有31人，則該樣本的樣本容量為（）A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用分層抽樣的意義列式計(jì)算作答.【詳解】由題意樣本容量為.故選：D.3.在下列條件中，點(diǎn)與點(diǎn)，，一定共面的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共面可得出，據(jù)此可排除ABD，只有C滿足.【詳解】若點(diǎn)與點(diǎn)，，共面，則共面，從而存在實(shí)數(shù)使得，即，，，而AD選項(xiàng)都不滿足，故AD錯誤；對B，由，可得，因?yàn)椋訠錯誤；對C，可得，化簡可得，滿足，故選：C4.已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是，方差，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（）A.3，4 B.2，8 C.2，4 D.5，8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為，方差是.故選：D.5.已知直線，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由直線的位置關(guān)系與充分必要條件的概念求解，【詳解】令得，當(dāng)時(shí)，，重合，當(dāng)時(shí)，，故“”是“”的充要條件，故選：C6.已知向量在向量上的投影向量是，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出，代入的定義式即可.【詳解】，設(shè)向量在向量夾角為，所以向量在向量上的投影向量為，所以，所以.故選：C.7.已知是橢圓的上頂點(diǎn)，若過的直線與圓相切，且的傾斜角為，則橢圓的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率和點(diǎn)得直線方程，根據(jù)相切，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可得，進(jìn)而可得求解.【詳解】由題意可得,，所以的方程為，圓心到的距離等于半徑，即，所以，故，故選；A8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：與圓M：相交于A，B兩點(diǎn)，若對于直線AB上的任意一點(diǎn)P，均有成立，則半徑r的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知與直線AB位置關(guān)系，利用圓與圓的位置關(guān)系即可得出r的范圍．【詳解】圓O的圓心為，半徑為r，圓M的圓心為半徑為2．∴，∵圓O與圓M相交，∴．∵對于直線AB上任意一點(diǎn)P，均有成立，又，當(dāng)直線AB過點(diǎn)M時(shí)，．∴．故答案為：．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中，正確的有（）A.直線在軸上的截距為1B.直線的傾斜角C.直線必過定點(diǎn)D.點(diǎn)到直線的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的相關(guān)概念和定義逐個(gè)判定即可.【詳解】對于A：當(dāng)時(shí)解得，所以直線在軸上的截距為1，A正確；對于B：直線的斜率，所以，又，所以，B錯誤；對于C：直線滿足當(dāng)時(shí)無論參數(shù)取什么值時(shí)，恒成立，所以過定點(diǎn)，C正確；對于D：點(diǎn)到直線的距離為，D正確，故選：ACD10.教育部《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出，“各地要加強(qiáng)對學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳，讓家長和中小學(xué)生科學(xué)認(rèn)識體質(zhì)健康的影響因素”.提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng)，增強(qiáng)體質(zhì)健康管理的意識和能力.某學(xué)校共有2000名男生，為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況，學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率直方圖如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.樣本的眾數(shù)為 B.樣本的80百分位數(shù)為C.樣本的平均值為66 D.該校男生中低于的學(xué)生大約為300人【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的估計(jì)方法判斷A；根據(jù)80百分位數(shù)的求法可判斷B；根據(jù)平均值的估計(jì)方法判斷C；根據(jù)頻數(shù)的計(jì)算方法判斷D.【詳解】對于A，由頻率分布直方圖可得樣本的眾數(shù)為，正確；對于B，由于，，故設(shè)樣本的80百分位數(shù)為x，則，正確；對于C，樣本的平均值為，錯誤；對于D，該校男生中低于的學(xué)生大約為（人），正確，故選：ABD11.先后兩次鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，表示事件“第二次鄭出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，表示事件“兩次鄭出的點(diǎn)數(shù)相同”，表示事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”，則（）A.事件，為互斥事件 B.事件，為對立事件C. D.事件，為相互獨(dú)立事件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷AB，寫出基本事件空間判斷CD.【詳解】因?yàn)锳事件包含兩次擲出點(diǎn)數(shù)分別為（3，3），所以事件A，可以同時(shí)發(fā)生，故A錯誤；因?yàn)槭录暗诙梧嵆龅狞c(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”與事件“至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)點(diǎn)”可以同時(shí)發(fā)生，如事件（1,2），故B錯誤；因?yàn)榛臼录臻g為，，，，，，共36個(gè)基本事件，至少出現(xiàn)一個(gè)奇數(shù)的事件共有27個(gè)，所以，故C正確；因?yàn)楦鶕?jù)C選項(xiàng)可知，，，，所以，故D正確.故選：CD12.已知長方體的棱，，點(diǎn)滿足：，，下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)，時(shí)，到的距離為B.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離的最大值為C.當(dāng)，時(shí)，四棱錐的體積為D.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由向量關(guān)系判斷所在位置或所在區(qū)域，根據(jù)長方體特征結(jié)合點(diǎn)線面距離判斷AB，根據(jù)棱錐體積公式判斷C，由線面角定義判斷D.【詳解】如圖，.A：，則，即，故在上運(yùn)動，所以到的距離即棱與的距離，故A錯誤；B：，則，故在面上運(yùn)動，所以，當(dāng)在上時(shí)，的到平面的距離最大，而，面，面，則面，所以，由長方體結(jié)構(gòu)特征，最大值問題轉(zhuǎn)化為到的距離，，則，故B正確；C：，則，故為中點(diǎn)，如下圖，，，所以的底面為矩形，頂點(diǎn)在的投影為底面中心，即，的交點(diǎn)，∴，故C正確；D：，則，故在上運(yùn)動，根據(jù)長方體可知為線面角，所以當(dāng)與重合時(shí)，直線與面所成角正切值的最大值為，故D正確；故選：BCD非選擇題部分三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.13.高二某位同學(xué)參加物理、政治科目學(xué)考，已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得的概率分別為，，這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響，則這位考生至少得1個(gè)的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用相互獨(dú)立事件、對立事件的概率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，這位考生至少得1個(gè)A的對立事件為物理、政治科目考試都沒有得A，其概率為，所以這位考生至少得1個(gè)A的概率為.故答案為：14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，平面，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)面距離的向量公式計(jì)算即可.【詳解】，為平面的一個(gè)法向量，，即點(diǎn)到平面的距離為1.故答案為：115.過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則______.【答案】【解析】【分析】利用切線構(gòu)造直角三角形，由三角函數(shù)定義求出，，再利用二倍角正弦公式即可求解．【詳解】由可得，故圓心，記，設(shè)切點(diǎn)為M，N,，，故，，，

.故答案為：16.橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，若存在直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，的重心為，直線的斜率取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)差法求出直線斜率，再由重心及均值不等式求最值即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，設(shè)，，因?yàn)橹匦臑?，所以，，所以，，又，兩式相減可得：，所以，所以直線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，所以直線的斜率取值范圍是.故答案為：四.解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，，求：（1）邊上的中線所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)及B求所在直線的斜率求解；（2）根據(jù)高所在直線斜率求解即可.【小問1詳解】設(shè)中點(diǎn)為，則，所以，所以中線所在直線方程為，即.【小問2詳解】因?yàn)?，所以邊的高所在直線的斜率為，所以邊上高所在直線為，即直線方程為.18.如圖，在正四面體中，已知是線段的中點(diǎn)，在上，且（1）試用向量，，表示向量；（2）若正四面體的邊長為2，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，準(zhǔn)確化簡、運(yùn)算，即可求解；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【小問1詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，在上，且,根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得：，即.【小問2詳解】解：因?yàn)檎拿骟w的邊長為，且，可得，且，由（1）可得知.19.已知點(diǎn)，，求：（1）過點(diǎn)，且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線被過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓所截得的弦長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）當(dāng)為直徑時(shí)滿足題意，求出圓的方程即可；（2）由題意求出圓的方程，再由圓心距、半徑、半弦長的關(guān)系求弦長.【小問1詳解】當(dāng)為直徑時(shí)，過，的圓的半徑最小，從而周長最小.即的中點(diǎn)為圓心，半徑，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】的斜率為，則的垂直平分線的方程是，即，由圓心在直線上，得兩直線交點(diǎn)為圓心，即圓心坐標(biāo)是..故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.圓心到直線的距離，弦長.20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)滿足.記的軌跡為.（1）求的方程；（2）直線交于，兩點(diǎn)，，為上的兩點(diǎn)，若四邊形的對角線，求四邊形面積的最大值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的定義得到軌跡方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求出，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)根的判別式和位置關(guān)系得到，表達(dá)出，四邊形的面積，求出最大值.【小問1詳解】因?yàn)?，由橢圓定義，軌跡是以點(diǎn)，為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，設(shè)橢圓方程為，則，∴又∵，則，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】由，解得或，因此.設(shè)直線的方程為，設(shè)，.由得，故.又，的交點(diǎn)在，之間，故.因?yàn)橹本€的斜率為1，所以.又四邊形的面積，當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，所以四邊形面積的最大值為.【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．21.如圖，三棱柱，底面ABC是邊長為2的正三角形，，平面平面．（1）證明：平面ABC；（2）若BC與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）平面與平面所成角的余弦值為.【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，得到，再證明出，從而得到平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，然后算出直線的方向向量和平面的法向量坐標(biāo)，然后可求出，然后再算出平面的法向量坐標(biāo)，然后可算出答案.【小問1詳解】如圖，取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)?，是的中點(diǎn)，所以，平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，因，，是的中點(diǎn)，所以，，又，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?又，平面，所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為，軸，平行為軸，建系如圖所示，設(shè)，則，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，取可得，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成的角為，則，解得，從而，，設(shè)平面的法向量為，，取可得，，所以，所以，設(shè)平面與平面夾角為，所以，所以平面與平面所成角的余弦值為.22.已知橢圓：的左頂點(diǎn)為，焦距為.動圓的圓心坐標(biāo)是，過點(diǎn)作圓的兩條切線分別交橢圓于和兩點(diǎn)，記直線、的斜率分別為和.（1）求證：；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，作，垂足為.是否存在定點(diǎn)，使得為定值？【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出方程組，求得的值，得出橢圓的方程，結(jié)合直線與圓相切，轉(zhuǎn)化為和是方程的兩根，結(jié)合韋達(dá)定理，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，分別求得點(diǎn)和點(diǎn)，得出直線的方程，結(jié)合橢圓的對稱性，化簡得到，進(jìn)而得到的值，即可求解.【小問1詳解】解：由題意知，橢圓的左頂點(diǎn)為，焦距為，可得，解得，所以故橢圓方程為，設(shè)過點(diǎn)與圓的切線的直線為，動圓的半徑為，則化簡得，所以和是方程的兩根，由韋達(dá)定理知，.【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程組，整理得