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文檔簡介
2023學(xué)年第一學(xué)期錢塘聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知:1.本卷共6頁滿分150分,考試時間120分鐘.2.答題前,在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上,寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后,只需上交答題紙.選擇題部分一、單項選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.空間直角坐標(biāo)系中,點關(guān)于平面的對稱點是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】關(guān)于平面對稱,則橫坐標(biāo)互為相反數(shù),縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo)不變,得到答案.【詳解】關(guān)于平面的對稱點為.故選:C2.高二年級有男生310人,女生290人,用分層隨機抽樣的方法按性別比例從全年級學(xué)生中抽取樣本,若抽取的樣本中男生有31人,則該樣本的樣本容量為()A.30 B.40 C.50 D.60【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用分層抽樣的意義列式計算作答.【詳解】由題意樣本容量為.故選:D.3.在下列條件中,點與點,,一定共面的是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共面可得出,據(jù)此可排除ABD,只有C滿足.【詳解】若點與點,,共面,則共面,從而存在實數(shù)使得,即,,,而AD選項都不滿足,故AD錯誤;對B,由,可得,因為,所以B錯誤;對C,可得,化簡可得,滿足,故選:C4.已知一組數(shù),,,的平均數(shù)是,方差,則數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)和方差分別是()A.3,4 B.2,8 C.2,4 D.5,8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運算求解.【詳解】由題意可得:數(shù)據(jù),,,的平均數(shù)為,方差是.故選:D.5.已知直線,,則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】【分析】由直線的位置關(guān)系與充分必要條件的概念求解,【詳解】令得,當(dāng)時,,重合,當(dāng)時,,故“”是“”的充要條件,故選:C6.已知向量在向量上的投影向量是,且,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量求出,代入的定義式即可.【詳解】,設(shè)向量在向量夾角為,所以向量在向量上的投影向量為,所以,所以.故選:C.7.已知是橢圓的上頂點,若過的直線與圓相切,且的傾斜角為,則橢圓的離心率是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)斜率和點得直線方程,根據(jù)相切,結(jié)合點到直線的距離公式即可得,進而可得求解.【詳解】由題意可得,,所以的方程為,圓心到的距離等于半徑,即,所以,故,故選;A8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O:與圓M:相交于A,B兩點,若對于直線AB上的任意一點P,均有成立,則半徑r的取值范圍是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意可知與直線AB位置關(guān)系,利用圓與圓的位置關(guān)系即可得出r的范圍.【詳解】圓O的圓心為,半徑為r,圓M的圓心為半徑為2.∴,∵圓O與圓M相交,∴.∵對于直線AB上任意一點P,均有成立,又,當(dāng)直線AB過點M時,.∴.故答案為:.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列說法中,正確的有()A.直線在軸上的截距為1B.直線的傾斜角C.直線必過定點D.點到直線的距離為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線的相關(guān)概念和定義逐個判定即可.【詳解】對于A:當(dāng)時解得,所以直線在軸上的截距為1,A正確;對于B:直線的斜率,所以,又,所以,B錯誤;對于C:直線滿足當(dāng)時無論參數(shù)取什么值時,恒成立,所以過定點,C正確;對于D:點到直線的距離為,D正確,故選:ACD10.教育部《關(guān)于進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)健康管理工作的通知》中指出,“各地要加強對學(xué)生體質(zhì)健康重要性的宣傳,讓家長和中小學(xué)生科學(xué)認(rèn)識體質(zhì)健康的影響因素”.提高學(xué)生體育與健康素養(yǎng),增強體質(zhì)健康管理的意識和能力.某學(xué)校共有2000名男生,為了了解這部分學(xué)生的身體發(fā)育情況,學(xué)校抽查了100名男生的體重情況.根據(jù)所得數(shù)據(jù)繪制樣本的頻率直方圖如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是()A.樣本的眾數(shù)為 B.樣本的80百分位數(shù)為C.樣本的平均值為66 D.該校男生中低于的學(xué)生大約為300人【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)眾數(shù)的估計方法判斷A;根據(jù)80百分位數(shù)的求法可判斷B;根據(jù)平均值的估計方法判斷C;根據(jù)頻數(shù)的計算方法判斷D.【詳解】對于A,由頻率分布直方圖可得樣本的眾數(shù)為,正確;對于B,由于,,故設(shè)樣本的80百分位數(shù)為x,則,正確;對于C,樣本的平均值為,錯誤;對于D,該校男生中低于的學(xué)生大約為(人),正確,故選:ABD11.先后兩次鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子,表示事件“兩次鄭出的點數(shù)之和是6”,表示事件“第二次鄭出的點數(shù)是偶數(shù)”,表示事件“兩次鄭出的點數(shù)相同”,表示事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”,則()A.事件,為互斥事件 B.事件,為對立事件C. D.事件,為相互獨立事件【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷AB,寫出基本事件空間判斷CD.【詳解】因為A事件包含兩次擲出點數(shù)分別為(3,3),所以事件A,可以同時發(fā)生,故A錯誤;因為事件“第二次鄭出的點數(shù)是偶數(shù)”與事件“至少出現(xiàn)一個奇數(shù)點”可以同時發(fā)生,如事件(1,2),故B錯誤;因為基本事件空間為,,,,,,共36個基本事件,至少出現(xiàn)一個奇數(shù)的事件共有27個,所以,故C正確;因為根據(jù)C選項可知,,,,所以,故D正確.故選:CD12.已知長方體的棱,,點滿足:,,下列結(jié)論正確的是()A.當(dāng),時,到的距離為B.當(dāng)時,點到平面的距離的最大值為C.當(dāng),時,四棱錐的體積為D.當(dāng)時,直線與平面所成角的正切值的最大值為【答案】BCD【解析】【分析】由向量關(guān)系判斷所在位置或所在區(qū)域,根據(jù)長方體特征結(jié)合點線面距離判斷AB,根據(jù)棱錐體積公式判斷C,由線面角定義判斷D.【詳解】如圖,.A:,則,即,故在上運動,所以到的距離即棱與的距離,故A錯誤;B:,則,故在面上運動,所以,當(dāng)在上時,的到平面的距離最大,而,面,面,則面,所以,由長方體結(jié)構(gòu)特征,最大值問題轉(zhuǎn)化為到的距離,,則,故B正確;C:,則,故為中點,如下圖,,,所以的底面為矩形,頂點在的投影為底面中心,即,的交點,∴,故C正確;D:,則,故在上運動,根據(jù)長方體可知為線面角,所以當(dāng)與重合時,直線與面所成角正切值的最大值為,故D正確;故選:BCD非選擇題部分三、填空題:本題共4小題,每題5分,共20分.13.高二某位同學(xué)參加物理、政治科目學(xué)考,已知這位同學(xué)在物理、政治科目考試中得的概率分別為,,這兩門科目考試成績的結(jié)果互不影響,則這位考生至少得1個的概率為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件利用相互獨立事件、對立事件的概率公式計算作答.【詳解】依題意,這位考生至少得1個A的對立事件為物理、政治科目考試都沒有得A,其概率為,所以這位考生至少得1個A的概率為.故答案為:14.在空間直角坐標(biāo)系中,已知點,向量,平面,則點到平面的距離為______.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)點面距離的向量公式計算即可.【詳解】,為平面的一個法向量,,即點到平面的距離為1.故答案為:115.過點與圓相切的兩條直線的夾角為,則______.【答案】【解析】【分析】利用切線構(gòu)造直角三角形,由三角函數(shù)定義求出,,再利用二倍角正弦公式即可求解.【詳解】由可得,故圓心,記,設(shè)切點為M,N,,,故,,,
.故答案為:16.橢圓的左焦點為,上頂點為,若存在直線與橢圓交于不同兩點,,的重心為,直線的斜率取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)點差法求出直線斜率,再由重心及均值不等式求最值即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為,由已知,設(shè),,因為重心為,所以,,所以,,又,兩式相減可得:,所以,所以直線的斜率,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,又,所以直線的斜率取值范圍是.故答案為:四.解答題:本題共6小題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知的三個頂點是,,,求:(1)邊上的中線所在直線的方程;(2)邊上的高所在直線的方程.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)中點及B求所在直線的斜率求解;(2)根據(jù)高所在直線斜率求解即可.【小問1詳解】設(shè)中點為,則,所以,所以中線所在直線方程為,即.【小問2詳解】因為,所以邊的高所在直線的斜率為,所以邊上高所在直線為,即直線方程為.18.如圖,在正四面體中,已知是線段的中點,在上,且(1)試用向量,,表示向量;(2)若正四面體的邊長為2,求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)向量的線性運算法則,準(zhǔn)確化簡、運算,即可求解;(2)根據(jù)空間向量的數(shù)量積的計算公式,準(zhǔn)確計算,即可求解.【小問1詳解】解:因為點是線段的中點,在上,且,根據(jù)向量的線性運算法則,可得:,即.【小問2詳解】解:因為正四面體的邊長為,且,可得,且,由(1)可得知.19.已知點,,求:(1)過點,且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線被過點,且圓心在直線上的圓所截得的弦長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)當(dāng)為直徑時滿足題意,求出圓的方程即可;(2)由題意求出圓的方程,再由圓心距、半徑、半弦長的關(guān)系求弦長.【小問1詳解】當(dāng)為直徑時,過,的圓的半徑最小,從而周長最小.即的中點為圓心,半徑,則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】的斜率為,則的垂直平分線的方程是,即,由圓心在直線上,得兩直線交點為圓心,即圓心坐標(biāo)是..故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.圓心到直線的距離,弦長.20.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點,,點滿足.記的軌跡為.(1)求的方程;(2)直線交于,兩點,,為上的兩點,若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由橢圓的定義得到軌跡方程;(2)聯(lián)立直線方程和橢圓方程,求出,設(shè)直線的方程為,設(shè),,得到兩根之和,兩根之積,根據(jù)根的判別式和位置關(guān)系得到,表達(dá)出,四邊形的面積,求出最大值.【小問1詳解】因為,由橢圓定義,軌跡是以點,為焦點,長軸長為的橢圓,設(shè)橢圓方程為,則,∴又∵,則,∴橢圓的方程為;【小問2詳解】由,解得或,因此.設(shè)直線的方程為,設(shè),.由得,故.又,的交點在,之間,故.因為直線的斜率為1,所以.又四邊形的面積,當(dāng)時,取得最大值,最大值為,所以四邊形面積的最大值為.【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法:(1)幾何法,若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義,則考慮利用幾何法來解決;(2)代數(shù)法,若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系,則可首先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值或范圍.21.如圖,三棱柱,底面ABC是邊長為2的正三角形,,平面平面.(1)證明:平面ABC;(2)若BC與平面所成角的正弦值為,求平面與平面夾角的余弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)平面與平面所成角的余弦值為.【解析】【分析】(1)取的中點,的中點,由面面垂直得到線面垂直,進而得到線線垂直,得到,再證明出,從而得到平面;(2)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),然后算出直線的方向向量和平面的法向量坐標(biāo),然后可求出,然后再算出平面的法向量坐標(biāo),然后可算出答案.【小問1詳解】如圖,取中點,的中點,連接,,,因為,是的中點,所以,平面平面,平面平面,平面,所以平面,又平面,所以,因,,是的中點,所以,,又,平面,所以平面,因為平面,.又,平面,所以平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點,,分別為,軸,平行為軸,建系如圖所示,設(shè),則,,,,,,設(shè)平面的法向量為,,取可得,所以為平面的一個法向量,設(shè)與平面所成的角為,則,解得,從而,,設(shè)平面的法向量為,,取可得,,所以,所以,設(shè)平面與平面夾角為,所以,所以平面與平面所成角的余弦值為.22.已知橢圓:的左頂點為,焦距為.動圓的圓心坐標(biāo)是,過點作圓的兩條切線分別交橢圓于和兩點,記直線、的斜率分別為和.(1)求證:;(2)若為坐標(biāo)原點,作,垂足為.是否存在定點,使得為定值?【答案】(1)證明見解析(2)存在點【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,列出方程組,求得的值,得出橢圓的方程,結(jié)合直線與圓相切,轉(zhuǎn)化為和是方程的兩根,結(jié)合韋達(dá)定理,即可求解;(2)設(shè)點,,聯(lián)立方程組,分別求得點和點,得出直線的方程,結(jié)合橢圓的對稱性,化簡得到,進而得到的值,即可求解.【小問1詳解】解:由題意知,橢圓的左頂點為,焦距為,可得,解得,所以故橢圓方程為,設(shè)過點與圓的切線的直線為,動圓的半徑為,則化簡得,所以和是方程的兩根,由韋達(dá)定理知,.【小問2詳解】解:設(shè)點,,聯(lián)立方程組,整理得
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