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文檔簡介
34第7章圓之四點共圓一、單選題1.下列長度的三根木棒首尾依次相接,不能搭成三角形框架的是()A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】C【分析】結合三角形滿足的三角形滿足的規(guī)律是兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,依次分析各個選項,選出正確答案.【詳解】A選項中,5+6>7可以構成三角形;B選項中,3+7>8,能夠構成三角形;C選項中4+3=7不能構成三角形;D選項中2+4>5,能夠構成三角形.故選C.【點睛】考查三角形構成規(guī)則,抓住三角形滿足的規(guī)律是兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,難度較容易.2.如圖,四邊形內(nèi)接于,,為中點,,則等于()A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù),為中點求出∠CBD=∠ADB=∠ABD,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠ABC+∠ADC=180°,即可求出答案.【詳解】∵為中點,∴,∴∠ADB=∠ABD,AB=AD,∵,∴∠CBD=∠ADB=∠ABD,∵四邊形內(nèi)接于,∴∠ABC+∠ADC=180°,∴3∠ADB+60°=180°,∴=40°,故選:A.【點睛】此題考查圓周角定理:在同圓中等弧所對的圓周角相等、相等的弦所對的圓周角相等,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì):對角互補.3.如圖,圓上有、、、四點,其中,若弧、弧的長度分別為、,則弧的長度為()A. B. C. D.【答案】C【分析】先求出圓的周長,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,然后根據(jù)圓周角定理可得弧所對圓心角的度數(shù),最后根據(jù)弧長的定義即可得.【詳解】弧、弧的長度分別為、圓的周長為(圓內(nèi)接四邊形的對角互補)弧所對圓心角的度數(shù)為則弧的長度為故選:C.【點睛】本題考查了圓周角定理、弧長的定義、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),熟記圓的相關定理與性質(zhì)是解題關鍵.4.如圖1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=6.如圖2,在底邊BC上取一點D,連結AD,使得∠DAC=∠ACD.如圖3,將△ACD沿著AD所在直線折疊,使得點C落在點E處,連結BE,得到四邊形ABED.則BE的長是()A.1 B. C. D.【答案】A【分析】只要證明,得,求出、即可解決問題.【詳解】解:,,,,,,,,,,,,,,即,,,,、、、四點共圓,,,,,.故選:.【點睛】本題考查翻折變換、等腰三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識,解題的關鍵是充分利用相似三角形的性質(zhì)解決問題,本題需要三次相似解決問題,題目比較難,屬于中考選擇題中的壓軸題.二、填空題5.如圖,四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,若⊙O半徑為4,且∠C=2∠A,則的長為__.【答案】4【分析】連接OB,OD,利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=60°,進而得出∠BOD=120°,利用含30°的直角三角形的性質(zhì)解答即可.【詳解】連接OB,OD,過O作OE⊥BD,∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形,∠C=2∠A,∴∠C+∠A=3∠A=180°,解得:∠A=60°,∴∠BOD=120°,在Rt△BEO中,OB=4,∴BE=2,∴AC=4,故答案為:4.【點睛】此題考查內(nèi)接四邊形的性質(zhì),關鍵是利用內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出∠A=60°.6.如圖,正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O,連接BE,則∠ABE的度數(shù)為____________度.【答案】36【分析】由正五邊形的性質(zhì)可知△ABE是等腰三角形,求出∠A的度數(shù)即可解決問題.【詳解】∵在正五邊形ABCDE中,∠A=×(5?2)×180=108°,AB=AE,∴∠ABE=∠AEB=(180°?108°)=36°.故答案為36.【點睛】本題主要考查多邊形內(nèi)角與外角的知識點,解答本題的關鍵是求出正五邊形的內(nèi)角,此題基礎題,比較簡單.7.如圖,在矩形ABCD中,AB=9,AD=6,點O為對角線AC的中點,點E在DC的延長線上且CE=1.5,連接OE,過點O作OF⊥OE交CB延長線于點F,連接FE并延長交AC的延長線于點G,則=_____.【答案】【分析】作OM⊥CD于M,ON⊥BC于N,根據(jù)三角形中位線定理分別求出OM、ON,根據(jù)勾股定理求出OE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出FN,得到FC的長,證明△GFC∽△GOE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式,代入計算得到答案.【詳解】解:作OM⊥CD于M,ON⊥BC于N,∵四邊形ABCD為矩形,∴∠D=90°,∠ABC=90°,∴OM∥AD,ON∥AB,∵點O為AC的中點,∴OM=AD=3,ON=AB=4.5,CM=4.5,CN=3,∵CE=1.5,∴ME=CM+CE=6,在Rt△OME中,OE==3,∵∠MON=90°,∠EOF=90°,∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°,∴∠MOE=∠NOF,又∠OME=∠ONF=90°,∴△OME∽△ONF,∴,即,解得,F(xiàn)N=9,∴FC=FN+NC=12,∵∠FOE=∠FCE=90°,∴F、O、C、E四點共圓,∴∠GFC=∠GOE,又∠G=∠G,∴△GFC∽△GOE,∴,故答案為:.【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理的應用,掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關鍵.8.如圖,正方形中,,點為上一點,且,點為邊上一動點,連接,過點作,交射線于點,連接,點為中點,連接,則的最小值為________.【答案】【分析】由已知可得AE=3,DE=6,又AB=9,,由勾股定理得BE=,由,,M為PF中點,可知M為四邊形BFEP外接圓的圓心,BE為圓M的弦,故圓心M在線段BE的垂直平分線上,作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過點D作于M,此時的線段DM即為所求最小值,過點E作于N,則四邊形EGMN為矩形,可得,GE=MN,可證,可得,代入數(shù)據(jù)得:DN=,又MN=EG=,可得DM的長度.【詳解】∵,AD=AB=9,∴AE=3,DE=6,又∵AB=9,,∴BE=,∵,,∴B、F、E、P四點共圓,且PF為直徑,∵M為PF中點,∴M為四邊形BFEP外接圓的圓心,∵E、B為定點,∴BE為圓M的弦,∴圓心M在線段BE的垂直平分線上,如下圖,作線段BE的垂直平分線GH交BE于G,交CD于H,過點D作于M,此時的線段DM即為所求最小值,過點E作于N,則四邊形EGMN為矩形,∴,GE=MN,∴,∵,∴,∴,又∵,∴,∴,即,解得:DN=,∵BE=,∴EG=,∴MN=,∴DM=DN+MN=+=.【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形,圓的對稱性,相似三角形的判定和性質(zhì),熟練掌握圓周角定理及其逆定理確定四點共圓是解題的關鍵.三、解答題9.如圖,等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D為BC邊上一點,連接AD.(1)如圖1,作BE⊥AD延長線于E,連接CE,求證:∠AEC=45°;(2)如圖2,P為AD上一點,且∠BPD=45°,連接CP.①若AP=2,求△APC的面積;②若AP=2BP,直接寫出sin∠ACP的值為______.【答案】(1)證明見解析;(2)①△APC的面積=1;②.【分析】(1)由題意可證點A,點B,點E,點C四點共圓,可得∠AEC=∠ABC=45°;(2)①通過證明△APB∽△CEB,可求CE==,由等腰直角三角形的性質(zhì)可求CF=1,即可求解;②過點B作BE⊥AD,交AD的延長線于點E,過點C作CF⊥AD于F,過點P作PH⊥AC于H,設AP=2a,則BP=a,可得CE==a,CF=EF=a,BE=PE=a,由勾股定理可求AC2,CP2,利用面積法可求PH2,即可求解.【詳解】證明:(1)∵等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AC=BC,∠ABC=∠CAB=45°,AB=BC,∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°=∠ACB,∴點A,點B,點E,點C四點共圓,∴∠AEC=∠ABC=45°;(2)①如圖2,過點B作BE⊥AD,交AD的延長線于點E,過點C作CF⊥AD于F,∵∠BPD=45°,BE⊥AD,∴∠PBE=45°=∠ABC,∴∠ABP=∠CBE,∵∠AEB=90°=∠ACB,∴點A,點B,點E,點C四點共圓,∴∠BAE=∠BCE,∠AEC=∠ABC=45°,∴△APB∽△CEB,∴CE==,∵CF⊥AD,∠AEC=45°,∴∠FCE=∠CEF=45°,∴CF=EF=CE=1,∴△APC的面積=×AP×CF=1;②如圖,過點B作BE⊥AD,交AD的延長線于點E,過點C作CF⊥AD于F,過點P作PH⊥AC于H,設AP=2a,則BP=a,由①可知,CE==a,CF=EF=a,∵BP=a,∠BPE=45°,∠BEP=90°,∴BE=PE=a,∴AF=AE﹣EF=2a+a﹣a=a+a,PF=a﹣a,∴CP2=CF2+PF2=a2+(a﹣a)2=a2﹣a2,AC2=AF2+CF2=a2+(a+a)2=a2+a2,∵S△ACP=×AC×PH=×AP×CF,∴(AC?PH)2=(AP?CF)2,∴PH2=a2,∵(sin∠ACP)2===,∴sin∠ACP=,故答案為:.【點睛】本題是三角形綜合題,考查了四點共圓,圓的有關知識,相似三角形的判定和性質(zhì),等腰直角三角形的性質(zhì),勾股定理,銳角三角函數(shù)等知識,添加恰當輔助線構造相似三角形是本題的關鍵.10.在邊長為12cm的正方形ABCD中,點E從點D出發(fā),沿邊DC以1cm/s的速度向點C運動,同時,點F從點C出發(fā),沿邊CB以1cm/s的速度向點B運動,當點E達到點C時,兩點同時停止運動,連接AE、DF交于點P,設點E.
F運動時間為t秒.回答下列問題:(1)如圖1,當t為多少時,EF的長等于cm?(2)如圖2,在點E、F運動過程中,①求證:點A、B、F、P在同一個圓(⊙O)上;②是否存在這樣的t值,使得問題①中的⊙O與正方形ABCD的一邊相切?若存在,求出t值;若不存在,請說明理由;③請直接寫出問題①中,圓心O的運動的路徑長為_________.【答案】(1)t=4或8;(2)①證明見解析;②存在,t=3或12;③6cm.【分析】(1)由題意易得DE=CF=t,則有EC=12-t,然后利用勾股定理求解即可;(2)①由題意易證△ADE≌△DCF,則有∠CDF=∠DAE,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF=90°,進而可得∠B+∠APF=180°,則問題得證;②由題意可知當⊙O與正方形ABCD的一邊相切時,可分兩種情況進行分類討論求解:一是當圓與AD相切時,一是當圓與邊DC相切時;③由動點E、F在特殊位置時得出圓心O的運動軌跡,進而求解即可.【詳解】解:(1)由題意易得:DE=CF=t,四邊形ABCD是正方形,AB=CD=BC=AD=12cm,∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°,EC=12-t,EF的長等于cm,在Rt△CEF中,,即解得;(2)①由(1)可得AB=CD=BC=AD=12cm,∠C=∠B=∠ADC=∠DAB=90°,DE=CF=t,△ADE≌△DCF,∠CDF=∠DAE,∠CDF+∠PDA=90°,∠DAE+∠PDA=90°,∠ADP=∠APF=90°,∠APF+∠B=180°,由四邊形APFB內(nèi)角和為360°可得:∠PAB+∠PFB=180°,點A、B、F、P在同一個圓(⊙O)上;②由題意易得:當⊙O與正方形ABCD的一邊相切時,只有兩種情況;a、當⊙O與正方形ABCD的邊AD相切時,如圖所示:由題意可得AB為⊙O的直徑,t=12;b、當⊙O與正方形ABCD的邊DC相切于點G時,連接OG并延長交AB于點M,過點O作OH⊥BC交BC于點H,連接OF,如圖所示:OG⊥DC,GM⊥AB,HF=HB,四邊形OMBH、GOHC是矩形,OH=BM=GC,OG=HC,AB=BC=12cm,OH=6,CF=t,BF=12-t,,在Rt△FOH中,,即,解得:;綜上所述:當或t=12時,⊙O與正方形ABCD的邊相切;③由(1)(2)可得:當點E與點D重合及點F與點C重合時,圓心在正方形的中心上;當點E與點C重合及點F與點B重合時,圓心在AB的中點上,故圓心的運動軌跡為一條線段,如圖所示:OP即為圓心的運動軌跡,即OP=6cm.故答案為6cm.【點睛】本題主要考查圓的綜合,熟練掌握圓的性質(zhì)及切線定理解題的關鍵,注意運用分類討論思想解決問題.11.已知為銳角的高,為中點,于點,延長至,使得.(1)證明:;(2)證明:;(3)若,求四邊形的面積.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】(1)通過得A,D,F(xiàn),C四點共圓,得到,結合,證得;(2)通過,證得;(3)利用勾股定理求得AD,BD,CD,在中,求出DE,AE,得出,借助,求得,再用,得到,最后.【詳解】解:(1)∵∴四點共圓∴又∵∴(2)由(1)∴又∵∴∴即(3)∵∴∵中,∴而∴同理利用得到∴.【點睛】本題考查了四點共圓的判斷,圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì),圓周角定理的應用,相似三角形的證明,不規(guī)則圖形的面積的求法,熟練掌握其中的聯(lián)系,是解題的關鍵.12.四邊形內(nèi)接于圓,連接.(1)求證:;(2)求證:;(3)如圖2,點是上一點,連接并延長交的延長線于點,連接交圓于點,求的長.【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)【分析】(1)根據(jù)題意可得,根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形對角互補即可得證;(2)過點作交延長線于點P,易證△BDP為等腰直角三角形,通過“角邊角”證明,則,進而可得證;(3)連接,過點作交延長線于點,延長?點,使,連接,易證,,設則,整理可得,根據(jù)題意得到相關線段的長,在R中根據(jù)勾股定理可得,根據(jù)圓周角定理可得,得到,進而求得CG的長,最后得到答案.【詳解】解:,,,;過點作交延長線于點P,,,,,,(ASA),,;連接,過點作交延長線于點,延長?點,使,連接,易證,,設則,∴,,,,,,,,在R中根據(jù)勾股定理可得,,,,,即,,.【點睛】本題主要考查圓的綜合問題,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),綜合性較強,解此題的關鍵在于熟練掌握其知識點,構造適當輔助線幫助解題.13.已知:內(nèi)接于,過點作的切線,交的延長線于點,連接.(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,過點作于點,連接,交于點,,求證:;(3)如圖3,在(2)的條件下,點為上一點,過點的切線交的延長線于點,連接,交的延長線于點,連接,,點為上一點,連接,若,,,,求的長.【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)【分析】(1)延長BO交于G,連接CG,根據(jù)切線的性質(zhì)可得可證∠DBC+∠CBG=90°,然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可證∠CBG+∠G=90°,再根據(jù)圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠DAB=∠G,從而證出結論;(2)在MB上截取一點H,使AM=MH,連接DH,根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可得DH=AD,再根據(jù)等邊對等角可得∠DHA=∠DAH,然后根據(jù)等邊對等角和三角形外角的性質(zhì)證出∠ABC=∠C,可得AB=AC,再根據(jù)垂直平分線的判定可得AO垂直平分BC,從而證出結論;(3)延長CF交BD于M,延長BO交CQ于G,連接OE,證出tan∠BGE=tan∠ECF=2,然后利用AAS證出△CFN≌△BON,可設CF=BO=r,ON=FN=a,則OE=r,根據(jù)銳角三角函數(shù)和相似三角形即可證出四邊形OBPE為正方形,利用r和a表示出各線段,最后根據(jù),即可分別求出a和CF.【詳解】解:(1)延長BO交于G,連接CG∵BD是的切線∴∠OBD=90°∴∠DBC+∠CBG=90°∵BG為直徑∴∠BCG=90°∴∠CBG+∠G=90°∴∠DBC=∠G∵四邊形ABGC為的內(nèi)接四邊形∴∠DAB=∠G∴∠DAB=∠DBC(2)在MB上截取一點H,使AM=MH,連接DH∴DM垂直平分AH∴DH=AD∴∠DHA=∠DAH∵,∴AD=BH∴DH=BH∴∠HDB=∠HBD∴∠DHA=∠HDB+∠HBD=2∠HBD由(1)知∠DAB=∠DBC∴∠DHA=∠DAB=∠DBC∴∠DBC=2∠HBD∵∠DBC=∠HBD+∠ABC∴∠HBD=∠ABC,∠DBC=2∠ABC∴∠DAB=2∠ABC∵∠DAB=∠ABC+∠C∴∠ABC=∠C∴AB=AC∴點A在BC的垂直平分線上∵點O也在BC的垂直平分線上∴AO垂直平分BC∴(3)延長CF交BD于M,延長BO交CQ于G,連接OE,∵∴∠DMC=90°∵∠OBD=90°∴∠DMC=∠OBD∴CF∥OB∴∠BGE=∠ECF,∠CFN=∠BON,∴tan∠BGE=tan∠ECF=2由(2)知OA垂直平分BC∴∠CNF=∠BNO=90°,BN=CN∴△CFN≌△BON∴CF=BO,ON=FN,設CF=BO=r,ON=FN=a,則OE=r∵∴OQ=2a∵CF∥OB∴△QGO∽△QCF∴即∴OG=過點O作OE′⊥BG,交PE于E′∴OE′=OG·tan∠BGE=r=OE∴點E′與點E重合∴∠EOG=90°∴∠BOE=90°∵PB和PE是圓O的切線∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°,OB=OE=r∴四邊形OBPE為正方形∴∠BOE=90°,PE=OB=r∴∠BCE=∠BOE==45°∴△NQC為等腰直角三角形∴NC=NQ=3a,∴BC=2NC=6a在Rt△CFN中,CF=∵∴PQ∥BC∴∠PQE=∠BCG∵PE∥BG∴∠PEQ=∠BGC∴△PQE∽△BCG∴即解得:PQ=4a∵,∴4a+2a=解得:a=∴CF==10【點睛】此題考查的是圓的綜合大題,難度較大,掌握圓的相關性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)、正方形的判定及性質(zhì)是解決此題的關鍵.14.如圖,等腰三角形△ABC中,∠BAC=120°,AB=3.(1)求BC的長.(2)如圖,點D在CA的延長線上,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,連EF.求EF的最小值.【答案】(1)BC=;(2)EF的最小值為【分析】(1)過點A作AM⊥BC于點M,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠B=30°,BM=CM,由直角三角形的性質(zhì)得BM=,進而即可求解;(2)連接BD,取BD的中點O,連接OE,OF,易得B,D,E,F(xiàn)四點共圓,從而得?OEF是等邊三角形,進而得EF=BD,由BD⊥CD時,BD的值最小,進而即可求解.【詳解】(1)過點A作AM⊥BC于點M,∵等腰三角形△ABC中,∠BAC=120°,AB=3,∴∠B=(180°-120°)÷2=30°,BM=CM,∴BM=3÷2×=,∴BC=2BM=2×=3;(2)連接BD,取BD的中點O,連接OE,OF,∵DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,∴在Rt?BDF與Rt?BDE中,OB=OD=OE=OF=BD,∴B,D,E,F(xiàn)四點共圓,∴∠EOF=2∠EBF=2×30°=60°,∴?OEF是等邊三角形,∴EF=OF=BD,∵∠C=∠EBF=30°,∴當BD⊥CD時,BD=BC=,此時,BD的值最小,∴EF的最小值=BD=×=.【點睛】本題主要考查圓的基本性質(zhì)以及等腰三角形,直角三角形的性質(zhì)定理,添加輔助線,構造四邊形的外接圓,是解題的關鍵.15.如圖1,拋物線經(jīng)過原點,兩點.(1)求的值;(2)如圖2,點是第一象限內(nèi)拋物線上一點,連接,若,求點的坐標;(3)如圖3,在(2)的條件下,過點的直線與軸交于點,作,連接交拋物線于點,點在線段上,連接、、,交于點,若,,求點的坐標.【答案】(1);(2)點,;(3)點,.【分析】(1)根據(jù)待定系數(shù)法,即可得到答案;(2)過點作于點,設點,,結合,列出關于m的方程,即可求解;(3)連接,易得直線解析式為:,點,,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理與外角的性質(zhì),得點,點,點,點四點共圓,從而得,進而得點,過點,點,點,點四點的圓的圓心,,設點,根據(jù)兩點間的距離公式,列出關于a,b的方程,得,可得直線解析式為:,進而即可得到點Q的坐標.【詳解】(1)拋物線經(jīng)過原點,兩點.,;(2)如圖2,過點作于點,,,拋物線解析式為:點是第一象限內(nèi)拋物線上一點,設點,,,,點,;(3)連接,直線過點,,,直線解析式為:,當,,點,,,且,,,,,,,,,點,點,點,點四點共圓,,,,,,,,,設點,點設過點,點,點,點四點的圓的圓心,,,,,,,設點,,,①,②,由①②組成方程組可求:,設直線解析式為:,且過點,,,直線解析式為:,,(不合題意舍去),,點,.【點睛】本題主要考查二次函數(shù),一次函數(shù)以及幾何圖形的綜合,掌握圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及兩點間的距離公式,是解題的關鍵.16.定義:有一個角是其對角一半的圓的內(nèi)接四邊形叫做圓美四邊形,其中這個角叫做美角.已知四邊形是圓美四邊形.(1)求美角的度數(shù);(2)如圖1,若的半徑為5,求的長;(3)如圖2,若平分,求證:.【答案】(1)60°;(2);(3)見解析【分析】(1)根據(jù)美角的定義可得,然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可求出結論;(2)連接DO并延長,交與點E,連接BE,根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠E=∠A=60°,然后根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DBE=90°,最后利用銳角三角函數(shù)即可求出結論;(3)延長CB至F,使BF=DC,連接AF、BD,先證出△ABD為等邊三角形,然后利用SAS證出△ABF≌△ADC,從而得出AF=AC,∠F=∠DCA=60°,再證出△ACF為等邊三角形,利用等邊三角形的性質(zhì)和等量代換即可得出結論.【詳解】解:(1)根據(jù)題意可得:,而∠A+∠C=180°∴∠A=60°(2)連接DO并延長,交與點E,連接BE∴∠E=∠A=60°∵DE為的直徑,的半
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