2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十講不等關(guān)系與不等式

第二十講：不等關(guān)系與不等式【教學(xué)目標(biāo)】1.能用不等式(組)表示實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系.、作商法比較兩實(shí)數(shù)的大小．【基礎(chǔ)知識(shí)】?jī)蓚€(gè)實(shí)數(shù)a，b，其大小關(guān)系有三種可能，即a>b，a＝b，a<b.比較大小作差法作商法（）依據(jù)結(jié)論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差與0的大小要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的商與1的大小作差法比較大小的步驟：（1）作差；（2）化簡(jiǎn)為乘除的形式；（3）判斷正負(fù)；（4）下結(jié)論.【題型目錄】考點(diǎn)一：不等式組表示不等關(guān)系考點(diǎn)二：作差法比較大?。ㄒ唬┛键c(diǎn)三：作差法比較大?。ǘ┛键c(diǎn)四：作商法比較大小【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：不等式組表示不等關(guān)系例1．鐵路總公司關(guān)于乘車行李規(guī)定如下：乘坐動(dòng)車組列車攜帶品的外部尺寸長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm，且體積不超過(guò)，設(shè)攜帶品外部尺寸長(zhǎng)、寬、高分別記為a，b，c（單位：cm），這個(gè)規(guī)定用數(shù)學(xué)關(guān)系式可表示為（） A．且 B．且 C．且 D．且【答案】C【詳解】由長(zhǎng)、寬、高之和不超過(guò)130cm得，由體積不超過(guò)得.故選：C.變式訓(xùn)練1．糖水溶液（不飽和）的濃度計(jì)算公式為，向糖水（不飽和）中再加入克糖，那么糖水（不飽和）將變得更甜，則反應(yīng)這一事實(shí)的不等關(guān)系為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】依題意，向糖水（不飽和）中再加入克糖，此時(shí)糖水的濃度為，根據(jù)糖水更甜，可得故選：變式訓(xùn)練2．將一根長(zhǎng)為的繩子截成兩段，已知其中一段的長(zhǎng)度為m，若兩段繩子長(zhǎng)度之差不小于，則所滿足的不等關(guān)系為（） A． B．或 C． D．【答案】D【詳解】由題意,可知另一段繩子的長(zhǎng)度為.因?yàn)閮啥卫K子長(zhǎng)度之差不小于，所以，化簡(jiǎn)得：.故選：D變式訓(xùn)練3．如圖，在一個(gè)面積為200m2的矩形地基上建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，四周是綠地，倉(cāng)庫(kù)的長(zhǎng)a大于寬b的4倍，則表示上述的不等關(guān)系正確的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由題意知，根據(jù)面積公式可以得到.故選:C．考點(diǎn)二：作差法比較大?。ㄒ唬├?．已知，，為不全相等的實(shí)數(shù)，，，那么與的大小關(guān)系是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),，，為不全相等的實(shí)數(shù)，因此等號(hào)不成立，即，．故選：A變式訓(xùn)練1．設(shè)，，則有（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】，∴.故選：A.變式訓(xùn)練2．已知p∈R，，，則M，N的大小關(guān)系為（） A．M<N B．M>N C．M≤N D．M≥N【答案】B【詳解】，所以.故選：B.變式訓(xùn)練3．已知，，設(shè)，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；即.故選：A考點(diǎn)三：作差法比較大小（二）例3．比較大?。?1)和；(2)和，其中．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）因?yàn)?，所以；?）因?yàn)椋?，所?變式訓(xùn)練1．設(shè)，，，則有（）. A． B． C． D．m，n的大小不定【答案】A【詳解】由已知，所以，所以又因?yàn)椋?，所?故選：A變式訓(xùn)練2．用作差法比較與的大小.【答案】【詳解】∵所以.變式訓(xùn)練3．(1)比較與的大??；(2)已知，求證：.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）由，可得；（2），∵，∴，，，∴，∴．考點(diǎn)四：作商法比較大小例4．設(shè)，，則（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，則.故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，故選：D變式訓(xùn)練1．，則的大小關(guān)系為_(kāi)______．【答案】≥【詳解】因?yàn)?，則由所以故答案為：變式訓(xùn)練2．已知c＞1，且x＝－，y＝－，則x，y之間的大小關(guān)系是（） A．x＞y B．x＝y(tǒng) C．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】C【詳解】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y.故選：C.變式訓(xùn)練3．試比較下列組式子的大小：(1)與，其中；(2)與，其中，；(3)與，．【答案】(1);(2);(3).【詳解】（1），，因?yàn)?，所以，即；?）．因?yàn)?，，所以，，所以，即；?）方法一（作差法）．因?yàn)?，所以，，，．所以，所以．方法二（作商法）因?yàn)椋?，，，所以，所以．【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)用不等式(組)表示不等關(guān)系．(2)作差法比較大小．(3)重要不等式．2．方法歸納：作差法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：實(shí)際問(wèn)題中變量的實(shí)際意義．【課后作業(yè)】1、在開(kāi)山工程爆破時(shí)，已知導(dǎo)火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開(kāi)的速度為每秒4米，距離爆破點(diǎn)150米以外（含150米）為安全區(qū)．為了使導(dǎo)火索燃盡時(shí)人能夠跑到安全區(qū)，導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米）應(yīng)滿足的不等式為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意知導(dǎo)火索的長(zhǎng)度（單位：厘米），故導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為秒，人在此時(shí)間內(nèi)跑的路程為米，由題意可得.故選：B.2、某學(xué)生月考數(shù)學(xué)成績(jī)x不低于100分，英語(yǔ)成績(jī)y和語(yǔ)文成績(jī)z的總成績(jī)高于200分且低于240分，用不等式組表示為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】數(shù)學(xué)成績(jī)不低于100分表示為，英語(yǔ)成績(jī)y和語(yǔ)文成績(jī)z的總成績(jī)高于200分且低于240分表示為，即.故選：D.3、如圖，在一塊長(zhǎng)為22m，寬為17m的矩形地面上，要修建同樣寬的兩條互相垂直的道路（兩條道路分別與矩形的一條邊平行），剩余部分種上草坪，使草坪的面積不小于300m2.設(shè)道路寬為xm，根據(jù)題意可列出的不等式為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的草坪是一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)道路的寬應(yīng)為x米，草坪面積為（22﹣x）（17﹣x），因?yàn)椴萜旱拿娣e不小于300m2，所以(22－x)(17－x)300，故選：B．4、某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票，票面8角的每套5張，票面2元的每套4張，如果每種郵票至少買兩套，那么買票面8角的x套與票面2元的y套用不等式表示為（） A． B． C． D．0.8×5x＋2×4y≤50【答案】A【詳解】買票面8角的x套，而票面8角的每套5張，知：每套價(jià)格為元買票面2元的y套，而票面2元的每套4張，知：每套價(jià)格為元∵某同學(xué)拿50元錢買紀(jì)念郵票∴+≤50又知，每種郵票至少買兩套：故且綜上，有不等式組故選：A5、設(shè)，，則與的大小關(guān)系是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)椋?故選：A.6、若，設(shè)，則（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】故選：A7、已知a>0，b>0，M＝，N＝，則M與N的大小關(guān)系為（） A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【答案】B【詳解】，∴M<N.故選：B.8、設(shè)，則的大小順序是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】，，，，.又，故.則.故選：C.9、若，，則與的大小關(guān)系是__________.【答案】【詳解】，因此，.故答案為：.10、已知，比較與的大小.【答案】.【詳解】∵，∴∴.11、若，試比較和的大小；【答案】答案見(jiàn)解析；【詳解】作差得：；所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；12、設(shè)、為實(shí)數(shù)，比較與的值的大小.【答案】【詳解】由于、為實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，.13、比較與的大小；【答案】；

【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以?4、，比較與的大?。敬鸢浮俊驹斀狻坑伤?5、設(shè)，為實(shí)數(shù)，比較與的大?。敬鸢浮恳?jiàn)解析詳解：解：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)同時(shí)取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等16、已知，，試比較與的大?。敬鸢浮慨?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.【詳解】.因?yàn)椋?，所以，，得?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.17、已知，試比較與的大小．【答案】【詳解】因?yàn)?，顯然成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).18、若，，，試比較與的大小.【答案】【詳解】，，，，，，，.，又，，即.19、，第二次購(gòu)物時(shí)該物品單價(jià)為（）.甲兩次購(gòu)物的平均價(jià)格記為，乙兩次購(gòu)物的平均價(jià)格記為.（1）求，的表達(dá)式（用表示）；（2）通過(guò)比較，的大小，說(shuō)明哪種購(gòu)物方式比較劃算.【答案】（1）；（2）第二種購(gòu)物方式比較劃算.【詳解】（1）設(shè)甲兩次購(gòu)物時(shí)購(gòu)物量均為m，則兩次購(gòu)物總花費(fèi)為m+m，購(gòu)物總量為2m，平均價(jià)格為.設(shè)乙兩次購(gòu)物時(shí)用去錢數(shù)均為n，則兩次購(gòu)物總花費(fèi)2n，購(gòu)物總量為，平均價(jià)格為=綜上，（2）∵，∴由此可知，第二種購(gòu)物方式比較劃算.20、甲、乙兩位消費(fèi)者同時(shí)兩次購(gòu)買同一種物品，分別采用兩種不同的策略，甲的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品的數(shù)量一定；乙的策略是不考慮物品價(jià)格的升降，每次購(gòu)買這種物品所花的錢數(shù)一定.（1）若兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為元，元，求甲兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格和乙兩次購(gòu)買這種物品平均價(jià)格分別為多少；（2）設(shè)兩次購(gòu)買這種物品的價(jià)格分別為元，元，問(wèn)甲、