北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊第01課 菱形的性質(zhì)與判定（解析版）

第01課菱形的性質(zhì)與判定課后培優(yōu)練課后培優(yōu)練級(jí)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練一、單選題1．下列四邊形中不一定為菱形的是（）A．對(duì)角線相等的平行四邊形 B．對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形C．對(duì)角線互相垂直的平行四邊形 D．用兩個(gè)全等的等邊三角形拼成的四邊形【答案】A【解析】A.對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形而不一定是菱形；

B.對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形；C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；

D.用兩個(gè)全等的等邊三角形拼成的四邊形四條邊形等是菱形；故選A.2．在菱形ABCD中，若∠ADC=120°，則BD：AC等于(

)A．：2 B．：3 C．1：2 D．：1【答案】B【解析】解：由題可知設(shè)，則，故選B3．菱形的兩條對(duì)角線長分別為6㎝和8㎝,則這個(gè)菱形的面積為(

)A．48 B． C． D．18【答案】B【解析】試題解析：根據(jù)菱形的面積公式：故選B.4．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，∠B：∠BCD＝1：2，則對(duì)角線AC等于()A．5 B．10 C．15 D．20【答案】A【解析】試題解析：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠B+∠BCD=180°，AB=BC，∵∠B：∠BCD=1：2，∴∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=5．故選A．5．菱形ABCD中,AE⊥BC于E,若S菱形ABCD=24cm2,則AE=6cm,則菱形ABCD的邊長為()A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解析】試題解析：如圖所示：∵菱形ABCD的面積為，AE=6cm，AE⊥BC，∴菱形的面積=24=AE×BC，則AB=BC=24÷6=4(cm).故選A.點(diǎn)睛：菱形的性質(zhì)：四條邊相等.6．如圖，菱形ABCD的周長為48cm，對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長等于（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】試題分析：∵菱形ABCD的周長為48cm，∴AD=12cm，AC⊥BD，∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE=AD=6（cm）．故選C．考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理．7．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,CE∥BD,DE∥AC,AD＝2,DE＝2,則四邊形OCED的面積為（）A．2 B．4 C．4 D．8【答案】A【解析】連接OE，與DC交于點(diǎn)F，∵四邊形ABCD為矩形，∴OA=OC，OB=OD，且AC=BD，即OA=OB=OC=OD，∵OD∥CE，OC∥DE，∴四邊形ODEC為平行四邊形，∵OD=OC，∴四邊形ODEC為菱形，∴DF=CF，OF=EF，DC⊥OE，∵DE∥OA，且DE=OA，∴四邊形ADEO為平行四邊形，∵AD=，DE=2，∴OE=，即OF=EF=，在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理得：DF==1，即DC=2，則S菱形ODEC=OE?DC=××2=．故選A．8．如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且AM＝CN，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若∠DAC＝28°，則∠OBC的度數(shù)為（）A．28° B．52° C．62° D．72°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及AM＝CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO＝CO，然后可得BO⊥AC，繼而可求得∠OBC的度數(shù)．解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥CD，AB＝BC，∴∠MAO＝∠NCO，∠AMO＝∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵，∴△AMO≌△CNO（ASA），∴AO＝CO，∵AB＝BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC＝90°，∵∠DAC＝28°，∴∠BCA＝∠DAC＝28°，∴∠OBC＝90°﹣28°＝62°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，注意掌握菱形對(duì)邊平行以及對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)．二、填空題9．若?ABCD的對(duì)角線AC平分∠DAB，則對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系是________．【答案】互相垂直【解析】【分析】證明AB=BC可得到四邊形ABCD是菱形，即可得到對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA．∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，∴∠BCA=∠BAC，∴AB=BC．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴對(duì)角線AC與BD的位置關(guān)系是：互相垂直．故答案為：互相垂直．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形．10．矩形和菱形都是常見的幾何圖形，請(qǐng)根據(jù)它們的性質(zhì)，寫出矩形和菱形的兩個(gè)不同點(diǎn)：①_________﹔②________．【答案】

矩形的對(duì)角線相等；（答案不唯一）

菱形的對(duì)角線互相垂直．（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)，然后判斷它們性質(zhì)的不同點(diǎn)，即可得到答案．解：根據(jù)題意，矩形的性質(zhì)有：兩組對(duì)邊平行且相等；每個(gè)內(nèi)角都是90°；對(duì)角線互相平分且相等；菱形的性質(zhì)有：兩組對(duì)邊平行且相等；四條邊都相等；對(duì)角線互相平分且垂直；∴不同點(diǎn)有：①矩形的四個(gè)內(nèi)角都是90°；②矩形的對(duì)角線相等；③菱形的四條邊都相等；④菱形的對(duì)角線互相垂直．故答案為：矩形的對(duì)角線相等；菱形的對(duì)角線互相垂直．（答案不唯一）【點(diǎn)睛】本題考查了矩形和菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形和菱形的性質(zhì)進(jìn)行分析．11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的頂點(diǎn)A，C在軸上，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），那么頂點(diǎn)D的坐標(biāo)是______________；【答案】【解析】【分析】由菱形的性質(zhì)和已知條件得出、關(guān)于軸對(duì)稱，由頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，即可得出點(diǎn)的坐標(biāo)．解：菱形的頂點(diǎn)，在軸上，，菱形關(guān)于軸對(duì)稱，、關(guān)于軸對(duì)稱，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，頂點(diǎn)的坐標(biāo)是；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握菱形的性質(zhì)和關(guān)于軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在四邊形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，且互相垂直平分，若，若上有一點(diǎn)，使，那么_______．【答案】25°【解析】【分析】首先證明四邊形ABCD是菱形，可求∠ABD＝50°，又因?yàn)锽E＝BO，所以∠BEO＝∠BOE＝65°，然后可得結(jié)果．解：∵對(duì)角線相交于點(diǎn)，且互相垂直平分∴四邊形ABCD是菱形，∵∠BAD＝80°，∴∠ABD＝∠ADB＝×（180°?80°）＝50°，又∵BE＝BO，∴∠BEO＝∠BOE＝×（180°?50°）＝65°．∴90°?65°＝25°，故答案為25°．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的判定和性質(zhì)以及等邊對(duì)等角，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．．三、解答題13．已知?ABCD的對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OA，OB，AB的長分別為3，4，5，求其他各邊以及兩條對(duì)角線的長度．【答案】其他各邊的長都是5，兩條對(duì)角線的長分別為6，8【解析】【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，先證明AC⊥BD，得四邊形ABCD是菱形，即可解決問題．解：∵OA=3，OB=4，AB=5，∴OA2+OB2=32+42=25，AB2=25，∴AO2+OB2=AB2，∴∠AOB=90°，∴AC⊥DB，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=5，AC=2AO=6，BD=2BO=8．．答：其他各邊的長都是5，兩條對(duì)角線的長分別為6，8．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理的逆定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理的逆定理得出對(duì)角線互相垂直．14．已知：如圖，在菱形中，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）直接利用菱形的性質(zhì)得出AD＝BC，AB＝DC，進(jìn)而得出答案；（2）利用線段垂直平分線的判定與性質(zhì)得出答案．證明：（1）∵四邊形是菱形，∴（菱形的對(duì)邊相等）又∵，∴．（2）∵，∴是等腰三角形．又∵四邊形是菱形，∴（菱形的對(duì)角線互相平分）．在等腰三角形中，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一，正確應(yīng)用菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．培優(yōu)第二階——拓展培優(yōu)練一、單選題1．已知四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形 B．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形C．當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形 D．當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，則A、當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD是菱形，正確，不符合題意；B、當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是菱形，正確，不符合題意；C、當(dāng)AC=BD時(shí)，四邊形ABCD是矩形，正確，不符合題意；D、當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，四邊形ABCD是矩形，故錯(cuò)誤，符合題意；故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和矩形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形和矩形的判定定理.2．菱形中，．點(diǎn)、分別在邊、上，且．若，則的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先證明△ABE≌△ACF，推出AF＝AE，∠EAF＝60°，得到△AEF是等邊三角形，即可解決問題．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠D=∠B＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∵AC是菱形的對(duì)角線，∴∠ACF∠DCB＝60°，∴∠B=∠ACF，∵AB=AC，BE=CF，∴△ABE≌△ACF，∴AF＝AE，∠BAE=∠CAF，∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC，即∠EAF＝∠BAC=60°，∴△AEF是等邊三角形，∵EF＝2，∴S△AEF×22，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明全等三角形得到△AEF是等邊三角形，牢記等邊三角形面積公式是解題關(guān)鍵．3．四邊形是菱形，，，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（

）A． B． C．或 D．4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，結(jié)合題意得出△ABD是等邊三角形，再利用勾股定理確定OC=OA，考慮點(diǎn)E在AC上，可能在點(diǎn)O的左邊或右邊，結(jié)合圖形求解即可．解：∵四邊形ABCD是菱形，如圖所示，∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AB=6，OB=BD=3，∴OC=OA=，∴.AC=2OA=，∵點(diǎn)E在AC上，可能在點(diǎn)O的左邊或右邊，OE=，∴CE=OC+OE=或CE=OC-OE=，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)，將菱形ABCO繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【解析】【分析】將菱形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，分別作出圖形求出、的長度即可求得答案．如圖所示，將菱形ABCO繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，∵點(diǎn)，∴OE=4，CE=3，∴,∵四邊形ABCO是菱形，∴OA=OC=AB=5，OC∥AB，∴∠COE=∠BAD，又∵∠CEO=∠BDA，∴△COE≌△BAD（AAS），∴AD=OE=4，BD=CE=3，由旋轉(zhuǎn)可得，△BAD≌△,∴,，，∴，

∵在第二象限，∴；如圖所示，將菱形ABCO繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，過點(diǎn)B作BD⊥x軸于點(diǎn)D，過作于點(diǎn)，過點(diǎn)C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，同理可得，△BAD≌△，∴,，，∴，∵在第四象限，∴；綜上所述，或；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在菱形中，，點(diǎn)為對(duì)角線上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、、，若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，然后證明△ABE≌△CBE得到∠BEA=∠BEC=56°，則∠BAE=104°，∠DAE=36°，證明∠EFA=∠EAF=36°，則由三角形外角的性質(zhì)可得∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°．解：∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=40°，∴AB=CB=AD，∠ABE=∠CBE=20°，，∴∠BAD=140°，∠ADB=∠ABD=20°，又∵BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS），∴∠BEA=∠BEC=56°，∴∠BAE=104°，∴∠DAE=36°，∵AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=36°，∴∠DEF=∠EFA-∠EDF=16°，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，證明△ABE≌△CBE是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在菱形ABCD中，AB=AC=4，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC上的點(diǎn)，且AE=BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AC于點(diǎn)O，則下列結(jié)論：①△ABF≌△CAE；②∠FHC=∠B；③△ADO≌△ACH；④S菱形ABCD=8；其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS證明即可判斷①；根據(jù)△ABF≌△CAE得到∠BAF=∠ACE，再利用外角的性質(zhì)以及菱形內(nèi)角度數(shù)即可判斷②；通過說明∠CAH≠∠DAO，判斷△ADO≌△ACH不成立，可判斷③；再利用菱形邊長即可求出菱形面積，可判斷④.解：∵四邊形ABCD為菱形，∴，∵AB=AC=4，∴△ABC為等邊三角形，∴∠B=∠CAE=60°，又∵AE=BF，∴△ABF≌△CAE（SAS），故①正確；∴∠BAF=∠ACE，∴∠FHC=∠ACE+∠HAC=∠BAF+∠HAC=60°，故②正確；∵∠B=∠CAE=60°，在△ADO和△ACH中，∠OAD=60°=∠CAB，∴∠CAH≠60°，即∠CAH≠∠DAO，∴△ADO≌△ACH不成立，故③錯(cuò)誤；∵AB=AC=4，過點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，如圖所示：∴∠BAG=30°，BG=2，∴AG==，∴菱形ABCD的面積為：=，故④正確；綜上分析可知，正確的結(jié)論有3個(gè)，故C正確．故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)和面積，等邊三角形的判定和性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用菱形的性質(zhì)△ABF≌△CAE．7．如圖，菱形，點(diǎn)、、、均在坐標(biāo)軸上，，點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．3 B．5 C． D．【答案】A【解析】【分析】直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小屬“將軍飲馬”模型，由D關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B，連接BE，則線段BE的長即是PD+PE的最小值．如圖：連接BE，，∵菱形ABCD，∴B、D關(guān)于直線AC對(duì)稱，∵直線AC上的動(dòng)點(diǎn)P到E、D兩定點(diǎn)距離之和最小∴根據(jù)“將軍飲馬”模型可知BE長度即是PD+PE的最小值．，∵菱形ABCD，，點(diǎn)，∴，，∴∴△CDB是等邊三角形∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴,且BE⊥CD，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查菱形性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形用勾股定理求線段長．8．如圖，點(diǎn)，分別在菱形的邊，上，點(diǎn)，分別在，的延長線上，且．連結(jié)，，，，若菱形和四邊形的面積相等，則的值為（

）A． B． C． D．1【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意先證四邊形EFGH是平行四邊形，由平行四邊形的性質(zhì)求出EH∥AC，進(jìn)而由面積關(guān)系進(jìn)行分析即可求解．解：連接HC、AF、HF、AC，HF交AC于O，連接EG．∵四邊形ABCD是菱形，∠D=∠B，AB=CD=AD=BC，∵AE=AH=CG=CF，∴DH=BF，BE=DG，在△DHG和△BFE中，，∴△DHG≌△BFE，∴HG=EF，∠DHG=∠BFE，∵BC∥AD，∴∠BFE=∠DKF，∴∠DHG=∠DKG，∴HG∥EF，∴四邊形EFGH是平行四邊形．∵AH=CF，AH∥CF，∴四邊形AHCF是平行四邊形，∴AC與HF互相平分，∵四邊形EFGH是平行四邊形，∴HF與EG互相平分，∴HF、AC、EG互相平分，相交于點(diǎn)O，∵AE=AH，DA=DC，BE∥DC，∴∠EAH=∠D，∴∠AEH=∠AHE=∠DAC=∠DCA，∴EH∥AC，∴S△AEH=S△EHO=S△AHO=S△AHC=S四邊形EFGH=S四邊形ABCD，∴S△AHC=S四邊形ABCD=S△ADC，∴AD=AH，∴=1.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，證明EH∥AC是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．如圖，將兩條寬度均為2的紙條相交成角疊放，則重合部分構(gòu)成的四邊形的面積為______．【答案】8【解析】【分析】先根據(jù)AB∥CD得到∠ABC=30°，再根據(jù)紙條寬度為2得到AB的長，同理得到AD的長，再證明四邊形ABCD是菱形，就可以求出四邊形ABCD的面積；∵AB∥CD，∴∠ABC=30°，又∵兩條紙條的寬度均為2，∴AB=4，同理可得AD=4，又∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD=4，∴四邊形ABCD是菱形，∴S菱形ABCD=4×2=8，故答案為8．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)與面積，熟練掌握菱形的性質(zhì)和面積公式是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，在菱形中，，B的坐標(biāo)是，則A，C兩點(diǎn)間的距離是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得出OB，進(jìn)而利用菱形的性質(zhì)和勾股定理得出AC即可．解：連接OB，AC相交于點(diǎn)H，∵四邊形OABC是菱形，∴，∵，∴△AOB是等邊三角形，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理得出AC解答．11．如圖，菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在上，連接，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，連接，若，，，則線段的長為___________．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理計(jì)算出菱形的邊長BC的長，再根據(jù)中位線性質(zhì)，求出OF的長．已知菱形ABCD，對(duì)角線互相垂直平分，∴AC⊥BD，在Rt△AOE中，∵OE=3，OA=4，∴根據(jù)勾股定理得，∵AE=BE，∴，在Rt△AOB中，即菱形的邊長為，∵點(diǎn)F為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DB中點(diǎn)，∴．故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理、中位線的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形性質(zhì)，并能結(jié)合勾股定理、中位線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形ABCD中，，∠BCD＝60°，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OC上一點(diǎn)，連接ED，若，則DE的長為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)證明再求解再根據(jù)勾股定理可得答案．解：菱形ABCD，∠BCD＝60°，，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)，熟練的利用菱形的性質(zhì)求解線段長度是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，菱形ABCD，，點(diǎn)E為垂足，點(diǎn)F為AE的中點(diǎn)，連接BF并延長交AD于點(diǎn)G，連接CG，，則AF的長為__________．【答案】【解析】【分析】過點(diǎn)G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，證明，得到AG=BE，所以四邊形ABEG為平行四邊形，設(shè)AG=BE=x，則AD=GE=2+x，在和中用勾股定理列方程進(jìn)行求解．如圖所示，過點(diǎn)G往BC所在直線作垂線，垂足記為H，連接EG，∵F是AE中點(diǎn)，∴AF=EF，∵四邊形ABCD是菱形，則，且AE⊥BC，∴∠GAF=∠BEF=90°，在中，∴，∴AG=BE，又∵，∴四邊形ABEG為平行四邊形，則GE=AB，設(shè)AG=BE=x，則AD=GE=2+x，∴CH=EH-CE=AG-CE=x-2，

在和中，,即，解得x=6，則AE=，∴AF=0.5AE=，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、勾股定理等，設(shè)線段長為x，尋找等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．14．如圖，菱形ABCD中，，AC與BD交于點(diǎn)O，E為CD延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)BE，分別交AC，AD于點(diǎn)F、G，連結(jié)OG，則下列結(jié)論：①；②；③由點(diǎn)A、B、D、E構(gòu)成的四邊形是菱形；④．其中正確的結(jié)論是______（請(qǐng)?zhí)顚懻_的序號(hào)）【答案】①③④【解析】【分析】①由AAS證明△ABG≌△DEG，得出AG=DG，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=AB，①正確；③先證明四邊形ABDE是平行四邊形，證出△ABD、△BCD是等邊三角形，得出AB=BD=AD，因此OD=AG，得出四邊形ABDE是菱形，③正確；④證OG是△ACD的中位線，得OG∥CD∥AB，OG=CD，則S△ACD=4S△AOG，再由S△AOG=S△BOG，則S△ACD=4S△BOG，④正確；②連接FD，由等邊三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得F到△ABD三邊的距離相等，則S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，則S四邊形ODGF=S△ABF，②錯(cuò)誤；即可得出結(jié)論．解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AB∥CD，OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∴∠BAG=∠EDG，∵CD=DE，∴AB=DE，在△ABG和△DEG中，，∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG=DG，∴OG是△ABD的中位線，∴OG=AB，故①正確；∵AB∥CE，AB=DE，∴四邊形ABDE是平行四邊形，∵∠BCD=∠BAD=60°，∴△ABD、△BCD是等邊三角形，∴AB=BD=AD，∠ODC=60°，∴平行四邊形ABDE是菱形，故③正確；∵OA=OC，AG=DG，∴OG是△ACD的中位線，∴OG∥CD∥AB，OG=CD，∴S△ACD=4S△AOG，∵S△AOG=S△BOG，∴S△ACD=4S△BOG，故④正確；連接FD，如圖：∵△ABD是等邊三角形，AO平分∠BAD，BG平分∠ABD，∴F到△ABD三邊的距離相等，∴S△BDF=S△ABF=2S△BOF=2S△DOF=S四邊形ODGF，∴S四邊形ODGF=S△ABF，故②錯(cuò)誤；正確的是①③④，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理以及三角形面積等知識(shí)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．三、解答題15．如圖，在中，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形，得出，，再根據(jù)，得出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，得出，證明四邊形ABCD為菱形，得出，即可證明結(jié)論．(1)證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形是平行四邊形．(2)∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∵∴，∴，∴四邊形ABCD為菱形，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握菱形和平行四邊形的判定方法，是解題的關(guān)鍵．16．如圖，線段，D是線段AC上一點(diǎn)，連接DE交AB于點(diǎn)F，若AF＝BF，求證：(1)DF=EF；(2)連接AE，BD，若△ABC是等邊三角形∠E=30°，求證：四邊形ADBE是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】(1)首先由平行線的性質(zhì)，可證得∠FEB=∠FDA，即可證得，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可證得結(jié)論；(2)首先根據(jù)等邊三角形及平行線的性質(zhì)，可得∠BAC＝60°，∠FEB=∠FDA=30°，可證得AB⊥DE，再由AF=BF，DF=EF，可證得四邊形ADBE是平行四邊形，據(jù)此即可證得結(jié)論．(1)證明：∵，∴∠FEB=∠FDA，在△EFB與△DFA中，∴，∴EF＝DF；(2)證明：如圖：∵AF=BF，DF=EF（已證），∴四邊形ADBE是平行四邊形，∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝60°，∵，∴∠FEB=∠FDA=30°，∴，∴AB⊥DE，∴四邊形ADBE是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形及菱形的判定．17．如圖，在四邊形ABCD中，，，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，AC平分，過點(diǎn)C作交AB的延長線于點(diǎn)E，連接OE．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)若，，求OE的長．【答案】(1)見解析；(2)2【解析】【分析】（1）先判斷出∠OAB=∠DCA，進(jìn)而判斷出∠DAC=∠DCA，得出CD=AD=AB，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出結(jié)論．(1)證明：∵AB∥CD，∴∠OAB=∠DCA，∵AC為∠DAB的平分線，∴∠OAB=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴CD=AD=AB，∵AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AD=AB，∴?ABCD是菱形；(2)解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，BD⊥AC，∵CE⊥AB，∴OE=OA=OC，∵BD=2，∴OB=BD=1，在Rt△AOB中，，OB=1，∴，∴OE=OA=2．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理，判斷出CD=AD=AB是解本題的關(guān)鍵．18．如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上，連接，，，．(1)求證：；(2)若，求菱形的周長．【答案】(1)見解析(2)8【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和證明，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；根據(jù)菱形的性質(zhì)和面積公式解答即可．(1)證明：四邊形是菱形，∴∴，∴在與中，∴（SAS）(2)解：∵∴AC?BD=由可知，是等邊三角形∵四邊形是菱形∴∴在Rt中，BO=∴BD=2BO==∴解得：∴AC=（負(fù)值舍去）∴∴菱形的周長為．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積和周長公式，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答．19．已知：如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、DC的中點(diǎn)，AE、AF分別交BD于點(diǎn)M、N，且，連接CM、CN．(1)求證：四邊形AMCN是平行四邊形；(2)如果，求證：四邊形ABCD是菱形．【答案】(1)見解析(2)見解析【解析】【分析】（1）只需要證明NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，推出，即可證明四邊形AMCN是平行四邊形；（2）連接AC交BD于O，只需要證明四邊形AMCN是菱形，得到OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，從而推出OB=OD，AC⊥BD，即可證明四邊形ABCD是菱形．(1)解：∵，∴M、N分別是BN、DM的中點(diǎn)，又∵E、F分別是BC，CD的中點(diǎn)，∴NF是△DCM的中位線，ME是△BCN的中位線，∴，，∴，∴四邊形AMCN是平行四邊形；(2)解：連接AC交BD于O，∵四邊形AMCN是平行四邊形，∴，∵，∴，∵AE=AF，∴ME=NF，∴AM=CN=AN=CM，∴四邊形AMCN是菱形，∴OM=ON，OA=OC，AC⊥MN，又∵BM=DN，∴OB=OD，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，證明出四邊形AMCN是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，，將沿斜邊翻折得到，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，求證：四邊形為菱形；(2)如圖2，若，在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出四個(gè)三角形使每個(gè)三角形的面積都等于面積的2倍．【答案】(1)證明見解析；(2)△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【解析】【分析】（1）由平行線的判定和性質(zhì)，對(duì)稱的性質(zhì)可得四邊形BCDE是平行四邊形，再由一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可證明；（2）由∠BAC=30°可得AC=2BE，∠BCA=60°，由四邊形BCDE是菱形可得△BCE、△DCE是等邊三角形，于是AE=EC=BC=BE，由等腰三角形的性質(zhì)可得△EBA面積=2△AEF面積，再根據(jù)等底等高和對(duì)稱的性質(zhì)可得△BEC、△DEA、△DEC面積都為2△AEF面積；(1)證明：∵DF⊥AB，∠ABC=90°，∴BC∥FD，∴∠BCD+∠CDF=180°，∵△BEC和△DEC關(guān)于AC對(duì)稱，∴∠EBC=∠EDC，∴∠EBC+∠BCD=180°，∴BE∥CD，∴四邊形BCDE是平行四邊形，由對(duì)稱的性質(zhì)可得CB=CD，∴平行四邊形BCDE是菱形；(2)解：當(dāng)∠BAC=30°時(shí)，∠BCA=60°，由對(duì)稱的性質(zhì)可得∠DCA=60°，∵四邊形BCDE是菱形，∴BC=CD=DE=EB，∴△BCE、△DCE是等邊三角形，∴BC=EC=BE，Rt△ABC中，∠BAC=30°，則AC=2BE，∴AE=EC=BC=BE，△EBA中，EB=EA，EF⊥BA，∴BF=AF，∴△EBA面積=2△AEF面積，∵△BEA和△BEC等底等高，∴△BEC面積=△BEA面積=2△AEF面積，由對(duì)稱的性質(zhì)可得△DEA面積=△BEA面積，△DEC面積=△BEC面積，∴△DEA面積=2△AEF面積，△DEC面積=2△AEF面積，故答案為：△EBA、△BEC、△DEA、△DEC；【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)稱的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形等知識(shí)；掌握菱形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．已知在菱形ABCD中，點(diǎn)P在CD上，連接AP．(1)在BC上取點(diǎn)Q，使得∠PAQ＝∠B，①如圖1，當(dāng)AP⊥CD于點(diǎn)P時(shí)，求證：AP=AQ．②如圖2，當(dāng)AP與CD不垂直時(shí)，判斷①中的結(jié)論（即AP=AQ）是否仍然成立，若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，則需說明理由．(2)如圖3，在CD的延長線取點(diǎn)N，連接AN，使得∠PAN＝∠B，若AB＝6，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此時(shí)線段DN的長．【答案】(1)①見解析；②成立，理由見解析(2)【解析】【分析】（1）①由菱形的性質(zhì)得出BC=CD，，證明，由菱形的面積公式可得出答案；②過點(diǎn)A作于M，于N，證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出答案；（2）過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，由直角三角形的性質(zhì)求出HN，DH的長，則可得出答案．(1)①證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴BC＝CD，，∴∠B+∠QCD＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠QCD＝180°，∴∠APC+∠AQC＝180°，∵AP⊥CD，∴∠APC＝90°，∴∠AQC＝90°，∴AQ⊥BC，∵S菱形ABCD＝，∴AP＝AQ；②當(dāng)AP與CD不垂直時(shí)，①中的結(jié)論仍然成立；證明：如圖2中，過點(diǎn)A作AM⊥BC于M，AN⊥CD于N，∵四邊形ABCD是菱形，AM⊥BC，AN⊥CD，∴S菱形ABCD＝BC?AM＝CD?AN，∵BC＝CD，∴AM＝AN，∠AMQ＝∠ANP＝90°，，∴∠B+∠C＝180°，∵∠PAQ＝∠B，∴∠PAQ+∠C＝180°，∴∠AQC+∠APC＝180°，∵∠AQM+∠AQC＝180°，∴∠AQM＝∠APN，在△AMQ和△ANP中，，∴．∴AP＝AQ；(2)如圖，過點(diǎn)A作AH⊥CD于點(diǎn)H，∵∠ANC＝45°，∴∠NAH＝45°，∴AH＝HN，∵四邊形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴∠ADC＝60°，AB＝AD＝6，∴∠DAH=90°-∠ADH=90°-60°=30°，∴DH＝AD＝3，∴AH＝=DH＝3，∴HN＝，∴DN＝HN﹣DH＝．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線，構(gòu)造全等直角三角形解決問題．培優(yōu)第三階——中考沙場點(diǎn)兵一、單選題1．（2021·陜西·中考真題）如圖，在菱形中，，連接、，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，由題意易得，，進(jìn)而可得△ABC是等邊三角形，，然后問題可求解．解：設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江嘉興·中考真題）將一張三角形紙片按如圖步驟①至④折疊兩次得圖⑤，然后剪出圖⑤中的陰影部分，則陰影部分展開鋪平后的圖形是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形【答案】D【解析】【分析】此題是有關(guān)剪紙的問題，此類問題應(yīng)親自動(dòng)手折一折，剪一剪．解：由題可知，AD平分,折疊后與重合，故全等，所以EO=OF;又作了AD的垂直平分線，即EO垂直平分AD，所以AO=DO，且EO⊥AD；由平行四邊形的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形為平行四邊形，所以AEDF為平行四邊形；又AD⊥EF，所以平行四邊形AEDF為菱形．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考察學(xué)生對(duì)于立體圖形與平面展開圖形之間的轉(zhuǎn)換能力，與課程標(biāo)準(zhǔn)中“能以實(shí)物的形狀想象出幾何圖形，有幾何圖形想象出實(shí)物的圖形”的要求相一致，充分體現(xiàn)了實(shí)踐操作性原則．3．（2021·浙江衢州·中考真題）如圖．將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，．當(dāng)AC平分時(shí)，與滿足的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠BAC=∠BCA=，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠CAC′=∠BAB′=，根據(jù)AC平分可得∠B′AC=∠CAC=，即可得出，可得答案．∵四邊形ABCD是菱形，，∴AB=AC，∴∠BAC=∠BCA==，∵將菱形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到菱形，∴∠CAC′=∠BAB′=，∵AC平分，∴∠B′AC=∠CAC=，∴∠BAC=∠B′AC+∠BAB′=2=，∴，故選；C．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及菱形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并正確找出旋轉(zhuǎn)角是解題關(guān)鍵．4．（2020·遼寧錦州·中考真題）如圖，在菱形ABCD中，P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥BC于點(diǎn)E，PF⊥AB于點(diǎn)F．若菱形ABCD的周長為20，面積為24，則PE＋PF的值為(

)A．4 B． C．6 D．【答案】B【解析】【分析】連接BP，通過菱形的周長為20，求出邊長，菱形面積為24，求出SABC的面積，然后利用面積法，SABP+SCBP=SABC，即可求出的值．解：連接BP，如圖，∵菱形ABCD的周長為20，∴AB=BC=20÷4=5，又∵菱形ABCD的面積為24，∴SABC=24÷2=12，又SABC=SABP+SCBP∴SABP+SCBP=12，∴，∵AB=BC，∴∵AB=5，∴PE+PF=12×=．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于添加輔助線，通過面積法得出等量關(guān)系，求出PF+PE的值．5．（2021·山東棗莊·中考真題）如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，，，點(diǎn)是上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】連接，先根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理可得，然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)求出的長即可得．解：如圖，連接，由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，最小值為，四邊形是菱形，，，，，，是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，即的最小值為，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二、填空題6．（2020·遼寧遼寧·中考真題）一張菱形紙片的邊長為，高等于邊長的一