第09講 二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題專題探究(原卷版)

第9講二次函數(shù)中平行四邊形的存在性問題專題探究【知識總結(jié)】平行四邊形存在性1.知識儲備：①平行四邊形是中心對稱圖形②中心對稱圖形的性質(zhì)：對稱中心平分中心對稱圖形內(nèi)通過該點的任意線段，且使中心對稱圖形的面積被平分③中點公式：2.方法策略：（1）有3個定點，找第4個點形成平行四邊形時：①設(shè)第4個點的坐標(biāo)②以3個定點組成的3條線段為對角線分類討論③以中心對稱圖形的性質(zhì)為等量關(guān)系列式求解例，如圖所示，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有A、B、C三點，在平面內(nèi)找第4個點，構(gòu)成平行四邊形；有2個定點，且另外兩個動點均在特殊的位置上時，方法策略同上。如，當(dāng)A、B已知，點C在直線y=x上，點D在拋物線上，則設(shè)C（a,a）；分類還分別分①以AB為對角線，②以AC為對角線，③以BC為對角線；依其性質(zhì)分別表示出D點坐標(biāo)；將點D坐標(biāo)再分別帶入拋物線解析式，即可求出a的值，C、D坐標(biāo)就都能求出來了。如，當(dāng)A、B已知，點C在直線y=x上，點D在拋物線上，則設(shè)C（a,a）；分類還分別分①以AB為對角線，②以AC為對角線，③以BC為對角線；依其性質(zhì)分別表示出D點坐標(biāo)；將點D坐標(biāo)再分別帶入拋物線解析式，即可求出a的值，C、D坐標(biāo)就都能求出來了?！绢愵}訓(xùn)練】1．綜合與實踐如圖，拋物線y＝2x2﹣4x﹣6與x軸交于A，B兩點，且點A在點B的左側(cè)，與y軸交于點C，點D是拋物線上的一動點．（1）求A，B，C三點的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)點D在第四象限時，連接BD，CD和BC，得到△BCD，當(dāng)△BCD的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；（3）點E在x軸上運動，以點B，C，D，E為頂點的四邊形是平行四邊形，請借助圖1探究，直接寫出點E的坐標(biāo)．2．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．（1）求該拋物線的表達式；（2）若以點A為圓心，R為半徑的圓與BC相切于點D，求切點D的坐標(biāo)，以及R的值；（3）若點E在x軸上，點F在拋物線上，是否存在以B、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．3．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+c與平面直角坐標(biāo)系交于點A（0，﹣4），B（﹣4，0），C（1，0）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，作直線AB，點P是直線AB下方拋物線上的一動點，過點P作y軸的平行線交AB于點E，過點P作PD⊥AB于點D，求PE+PD的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在（2）中PE+PD取得最大值的條件下，將該拋物線沿水平方向向左平移2個單位，點P'為點P的對應(yīng)點，平移后的拋物線與y軸交于點A'，M為平移后的拋物線的對稱軸上一點．在平移后的拋物線上確定一點N，使得以點P'，A'，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點N的坐標(biāo)，并寫出求解點N的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線C：y＝ax2+bx﹣8與x軸交于A（﹣2，0）、B（4，0）兩點，與y軸交于點C，點C、點D關(guān)于拋物線C，的對稱軸對稱．（1）求拋物線C，的函數(shù)表達式及點D的坐標(biāo)；（2）將拋物線C，沿水平方向向右平移1個單位得到拋物線C1，C1與y軸交于點E，點D平移后的對應(yīng)點為F，P為拋物線C，的對稱軸上的動點．請問在拋物線C，上是否存在點Q，使得以點E，F(xiàn)，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．5．綜合與探究如圖1，拋物線與x軸交于點A（1，0），B（5，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）如圖2，若P是直線BC下方拋物線上的一動點，連接PB，PC，過點P作PD⊥BC于點D，求△PBC面積的最大值，并求出此時點P的坐標(biāo)和線段PD的長；（3）若E是拋物線上的任意一點，過點E作EQ∥y軸，交直線BC于點Q，拋物線上是否存在點E，使以E，Q，O，C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．?6．如圖，已知拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（8，0），C（0，4）三點，點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線于點M．（1）求該拋物線的表達式；（2）已知點F（0，1），當(dāng)點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A（﹣3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P是直線AC上方拋物線上任意一點，過點P分別作y軸、x軸的平行線，交直線AC于點Q，R，求QR的最大值及此時點P的坐標(biāo)；（3）在（2）中QR取得最大值的條件下，將該拋物線向右平移個3個單位，點B平移后的對應(yīng)點為D，E為新拋物線對稱軸上任意一點，在新拋物線上確定一點F，使得以點P，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形是平行四邊形，直接寫出所有符合條件的點F的坐標(biāo)．8．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點A（﹣2，0），B（8，0），交y軸于點C（0，4），連接AC，BC，點P是線段OB上一動點，過點P作直線PD∥AC，交y軸于點D，交線段BC于點E，交x軸上方二次函數(shù)的圖象于點F．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)點P為線段DE的三等分點時，求點P的坐標(biāo)；（3）在線段OB上是否存在點P，使得四邊形AEFC為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．9．如圖，拋物線y＝（a≠0）與x軸相交于點A（﹣1，0）和點B，與y軸相交于點C（0，3），作直線BC．??（1）求拋物線的解析式；（2）在直線BC上方的拋物線上存在點D，作DE⊥x軸交BC于點E，作DF⊥DE，使DF＝OB，以DE，DF為鄰邊作矩形DEGF．當(dāng)矩形DEGF的面積最大時，求點D的坐標(biāo)；（3）點P的坐標(biāo)為（0，2），點Q的坐標(biāo)為（2，3），點M在拋物線上，點N在直線BC上，當(dāng)以P，Q，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點N的坐標(biāo)．10．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+mx+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，且OB＝OC．拋物線的對稱軸交拋物線于點D，交直線BC于點E．（1）求拋物線的解析式及點A的坐標(biāo)；（2）P（n，0）是x軸上一動點，過