2023-2024學年湖南省長沙市高一上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題（含解析）

2023-2024學年湖南省長沙市高一上學期期中數(shù)學質(zhì)量檢測模擬試題一、單選題（本大題共8小題，共40分）1．設，，則（

）A． B． C． D．2．下列函數(shù)中在定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A．y＝x＋1 B．y＝－x2 C．y＝x3 D．3．設，則下列命題正確的是（

）A．若，，則 B．若，則C．若，則 D．若，則4．對于函數(shù),“的圖象關(guān)于軸對稱”是“=是奇函數(shù)”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要5．若，，，則（

）A． B． C． D．6．函數(shù)在的最小值是（

）A．1 B． C． D．37．已知函數(shù)的零點分別為a，b，c，則a，b，c的大小順序為（

）A． B． C． D．8．已知是定義在R上的奇函數(shù)，若對任意，均有．且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共4小題，每小題全對5分，選對不全對得2分，共20分）9．函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．10．下列說法正確的是（

）A．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B．若函數(shù)過定點，則函數(shù)經(jīng)過定點C．冪函數(shù)在是減函數(shù)D．圖象關(guān)于點成中心對稱11．符號表示不超過的最大整數(shù)，如，，定義函數(shù):，則下列命題正確的是（

）A． B．當時，C．函數(shù)的定義域為，值域為 D．函數(shù)是增函數(shù)?奇函數(shù)12．函數(shù)的定義域為，若存在區(qū)間使在區(qū)間上的值域也是，則稱區(qū)間為函數(shù)的“和諧區(qū)間”，則下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的是（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13．函數(shù)的定義域為．14．設，，若，則實數(shù)組成的集合．15．設f(x)是奇函數(shù)，當x＞0時，f(x)＝log2x，則當x＜0時，f(x)的表達式為．16．古希臘數(shù)學家希波克拉底曾研究過如下圖的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊，直角邊，.若以斜邊為直徑的半圓面積為，則以，為直徑的兩個半圓的弧長之和的最大值為.

四、解答題：本題共6小題，共70分，其中第17題10分，其它每題12分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．計算下列各式：(1)；(2).18．求下列式子的最值．(1)已知，求的最小值；(2)已知，，且，求的最小值．19．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的值域；(2)當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．20．已知且滿足不等式．(1)求實數(shù)a的取值范圍，并解不等式．(2)若函數(shù)在區(qū)間有最小值為，求實數(shù)的值．21．已知為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且滿足．(1)求，；(2)若，且方程有三個解，求實數(shù)的取值范圍．22．為了加強“平安校園”建設，有效遏制涉校案件的發(fā)生，保障師生安全，某校決定在學校門口利用一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面為24平方米，且背面靠墻的長方體形狀的校園警務室.由子此警務室的后背靠墻，無需建造費用，甲工程隊給出的報價為：屋子前面新建墻體的報價為每平方米400元，左右兩面新建墻體報價為每平方米300元，屋頂和地面以及其他報價共計14400元，設屋子的左右兩面墻的長度均為米.（1）當左右兩面墻的長度為多少時，甲工程隊報價最低？并求出最低報價.（2）現(xiàn)有乙工程隊也要參與此警務室的建造競標，其給出的整體報價為元，苦無論左右兩面墻的長度為多少米，乙工程隊都能競標成功，試求的取值范圍.1．A【分析】解不等式可得集合，再根據(jù)集合間的運算可得解.【詳解】由，又，所以，所以，故選：A.2．C【分析】依據(jù)奇偶性和單調(diào)性依次判斷每個選項即可.【詳解】y＝x＋1是非奇非偶函數(shù)，y＝－x2是偶函數(shù)，y＝x3由冪函數(shù)的性質(zhì)，是定義在R上的奇函數(shù)，且為單調(diào)遞增，在定義域為，不是定義域上的單調(diào)增函數(shù)，故選：C此題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的判斷，要求對奇偶性和單調(diào)性的判斷方式熟練掌握，是簡單題目.3．D利用特殊值排除判斷ABC，由不等式的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】當時，不成立，故A錯誤；當時，不成立，故B錯誤；當時，不成立，故C錯誤；，由不等式性質(zhì)知，故D正確.故選：D4．B【詳解】由奇函數(shù)，偶函數(shù)的定義,容易得選項B正確.5．C【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，且，所以，所以，故選：C.6．C【分析】設，得到，進而得到，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，設，因為，則，則函數(shù)，當時，取得最小值.故選：C.本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查運算與求解能力.7．B【分析】首先可求出，再由得，由得，將其轉(zhuǎn)化為、與的交點，數(shù)形結(jié)合即可判斷.【詳解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐標系中畫出、、的圖象，由圖象知，，.故選：B本題考查函數(shù)的零點，函數(shù)方程思想，對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象的應用，屬于中檔題.8．D【分析】利用函數(shù)單調(diào)性的定義以及函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性綜合解抽象函數(shù)不等式.【詳解】因為，所以，所以，設函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，且，當時，不等式等價于，即，即，解得，又因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以當時，不等式無解，因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以為偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，當時，不等式等價于，即，即，解得，綜上不等式的解集為，故選：D.9．BC【分析】把函數(shù)的零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象的交點問題，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】如圖，作出函數(shù)和的圖象，觀察交點可得交點在和區(qū)間上，故選：BC.10．BD【分析】根據(jù)復合函數(shù)定義域判斷A；根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷BD；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C.【詳解】解：對于A，若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為，故錯誤；對于B，函數(shù)向右平移1個單位，再向上平移1個單位得到函數(shù)圖像，由于過定點，故函數(shù)經(jīng)過定點，正確；對于C，冪函數(shù)在是減函數(shù)，由于，定義域為，，為偶函數(shù)，故冪函數(shù)在是增函數(shù)，故錯誤；對于D，，其圖像由向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到，且圖像關(guān)于原點對稱，故圖像關(guān)于點成中心對稱，正確.故選：BD11．ABC【分析】將代入解析式，即可判斷A項；當時，，得出，從而判斷B項；由表示不超過的最大整數(shù)，得出，從而判斷C項；取特殊值，判斷D項.【詳解】對于A項，，則A正確；對于B項，當時，，得出，則B正確；對于C項，函數(shù)的定義域為，因為表示不超過的最大整數(shù)，所以，則C正確；對于D項，，，函數(shù)既不是增函數(shù)也不是奇函數(shù)，則D錯誤；故選：ABC本題主要考查了求函數(shù)值，解析式，定義域，值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性，屬于中檔題.12．ABD【分析】根據(jù)題意，可知若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，且，則或，再對各個選項進行運算求解，即可判斷該函數(shù)是否存在“和諧區(qū)間”.【詳解】解：由題得，若在區(qū)間上的值域也是，則存在“和諧區(qū)間”，可知，，則或，A：，若，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；B：，若存在和諧區(qū)間，則，故在為增函數(shù)，故，解得：，所以存在“和諧區(qū)間”；C：，若存在和諧區(qū)間，則，若，則，故在上為增函數(shù)，故，得，故無解；若，則，故在上為增函數(shù)，同上，無解.所以不存在“和諧區(qū)間”；D：，函數(shù)在單調(diào)遞減，則，不妨令，所以存在“和諧區(qū)間”；綜上得：存在“和諧區(qū)間”的是ABD.故選：ABD.關(guān)鍵點點睛：本題以函數(shù)的新定義為載體，考查函數(shù)的定義域、值域以及零點等知識，解題的關(guān)鍵是理解“和諧區(qū)間”的定義，考查運算能力以及函數(shù)與方程的思想.13．【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)大于0、分母不為0可得答案.【詳解】要使函數(shù)有意義，只需，解得且，所以函數(shù)的定義域為.故答案為.14．【分析】先求出A的元素，再由B?A，分和B≠φ求出a值即可.【詳解】∵A＝{x|x2﹣8x+15＝0}，∴A＝{3，5}又∵B＝{x|ax﹣1＝0}，∴①時，a＝0，顯然B?A②時，B＝{}，由于B?A∴∴故答案為{}本題主要考查由集合間基本關(guān)系求參數(shù)值或范圍的問題，屬于基礎題．15．f(x)＝－log2(－x)【分析】由題意結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)的表達式即可.【詳解】設，則，結(jié)合奇函數(shù)的定義可知.本題主要考查由函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式的方法，屬于基礎題.16．【分析】設，，所以，由以斜邊為直徑的半圓面積為可求得，再由基本不等式即可求得的最大值，即可求得弧長之和的最大值.【詳解】設，，所以，即，因為以斜邊為直徑的半圓面積為，所以，所以，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以以，為直徑的兩個半圓的弧長之和為，即以，為直徑的兩個半圓的弧長之和的最大值為.故答案為.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由對數(shù)的運算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）原式.（2）原式.18．(1)(2)9【分析】（1）利用基本不等式求解；（2）利用基本不等式“1”的妙用求解.【詳解】（1）因為，所以，，當且僅當，即時取得等號，所以函數(shù)的最小值為.（2）,當且僅當，即，即時取得等號，所以的最小值為9.19．(1)(2)增區(qū)間為，減區(qū)間為【分析】（1）當時，可得出，求出的取值范圍，再結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的值域；（2）當時，求出函數(shù)的定義域，再利用復合函數(shù)法可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間.【詳解】（1）解：當時，，則，所以，，即函數(shù)的值域為.（2）解：當時，，由可得或，所以，函數(shù)的定義域為，因為內(nèi)層函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，外層函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為.20．(1),解集為.(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式求得，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解不等式；（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求參數(shù)的值.【詳解】（1）由且滿足不等式可得，，解得，由可得，，解得，所以原不等式的解集為.（2）因為,所以函數(shù)在定義域單調(diào)遞減,所以函數(shù)在區(qū)間有最小值為,解得.21．(1)，(2)或【分析】（1）結(jié)合函數(shù)奇偶性將代入條件中可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為、共有三個解求的取值范圍，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】（1）因為為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，所以，，由①，得即②，①②可得，①②可得；（2）由（1），方程，可得或，即或，當時，由下圖可得與的圖象有兩個交點，所以要使方程有三個解，只需有一解即可，即與的圖象只有一個交點即可，由圖象可得或，解得或.綜上，實數(shù)的取值范圍為或．關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵點是轉(zhuǎn)化為，有三個解求的取值范圍，結(jié)合圖象求答案.22．（1）當左右兩側(cè)墻的長度為4米時，甲工程隊的報價最低