2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖一中高二（上）第一次診斷數(shù)學(xué)試卷（附答案詳解）

2022-2023學(xué)年安徽省蕪湖一中高二(上)第一次診斷數(shù)學(xué)試卷

1.已知三棱錐。一力BC,點(diǎn)M,N分別為AB,OC的中點(diǎn)，且工？=五，OB=b＞小=用優(yōu)

A.-(b+c-a)B.-(a+b+c)C.-(a—b+c)D.-(c—a—￡>)

2.若向量為=(1,-2,3),E=(-23-1)，則|五+2石|=()

A.2V7B.5C.V26D.4V2

3.在正方體ABCO-A'B'C'。'中，棱長為2,點(diǎn)M為棱。。'上一點(diǎn)，則布?麗的最小值為()

A.1B.2C.3D.4

4.已知4(0,2),B(2,l),過點(diǎn)C(l,0)且斜率為左的直線/與線段AB有公共點(diǎn)，則k的取值范

圍是()

A.[—2,1]B.(-00,-2)U(l)+oo)

C.(—2,1)D.(―oo,-2]U[l,+oo)

5.直線4，。是分別經(jīng)過4(11)，B(0,-1)兩點(diǎn)的兩條平行直線，當(dāng)心力間的距離最大時(shí),

直線。的方程是()

A.x+2y-3=0B.x—y—3=0C.x+2y+3=0D.x—y+3=0

6.如圖，甲站在水庫底面上的點(diǎn)。處，乙站在水壩斜面上的

點(diǎn)C處，已知庫底與水壩所成的二面角為120。，測(cè)得從Q,C

到庫底與水壩的交線的距離分別為ZM=30m,CB=40m,又

已知4B=20次瓶，則甲、乙兩人相距()

A.50nzB.10V37mC.60mD.70/M

7.如圖，已知四棱錐P—ABCD的底面ABC。是邊長為4的菱形,

且皿48=pPD_L底面ABCD,若點(diǎn)。到平面PAC的距離為VL

則PD=()

A.2V2

B.V2

C.1

D.2

8.在棱長為I的正方體4BC0-4B'C'。'中，己知點(diǎn)P是正方形44。'。內(nèi)部（不含邊界）的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若直線AP與平面A4'B'B所成角的正弦值和異面直線AP與。C'所成角的余弦值相等，

則線段。P長度的最小值是（）

A軍B這C小D士

a2D-333

9.下列命題中，是假命題的是（）

A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.若直線的傾斜角為a,則直線的斜率為tana

C.若直線傾斜角ae冷等，則斜率人的取值范圍是（一8,-何u[l,+8）

D.若直線的斜率為tana,則直線的傾斜角為a

10.下列四個(gè)命題中真命題有（）

A.直線y=%-2在y軸上的截距為一2

B.經(jīng)過定點(diǎn)力（0,2）的直線都可以用方程y=kx+2表示

C.直線6%+my+14=0（mGR）必過定點(diǎn)

D.已知直線3乂+4）/+9=0與直線6%+;71丁+24=0平行，則平行線間的距離是1

11.已知空間三點(diǎn)4（一2,0,2）,6（-1,1,2）,C（-3,0,4）,設(shè)立=荏，石=前.則下列結(jié)論正確的

是（）

A.若?=3,且乙/內(nèi),則不=（2,1,-2）

B.1和方的夾角的余弦值-晉

C.若kW+B與k五一2方互相垂直，則人的值為2

D.若；10+方）-B）與z軸垂直，則；I,〃應(yīng)滿足;1一〃=0

12.在正方體4BC。-4/165中,E,F,G分別為BC,CC1（BB1

的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

A.5。1AF

B.二面角F-AE—C的正切值為三

C.異面直線4G與EF所成角的余弦值為罌

D.點(diǎn)G到平面AEF的距離是點(diǎn)C到平面AEF的距離的2倍

13.若直線2x+y—5=0與mx—3y+6=0垂直，則m=.

14.設(shè)直線/的方向向量為記=(2,-l,z),平面a的一個(gè)法向量為元=(4,一2,-2),若直線〃/平

面a,則實(shí)數(shù)z的值為.

15.直線/：3x-2y+5=0,P(>n,n)為直線/上動(dòng)點(diǎn)，則(巾++標(biāo)的最小值為.

16.在棱長為魚的正四面體ABCD中，點(diǎn)M滿足箱=%而+、就一Q+y-1)同，點(diǎn)N

滿足前=2瓦？+(1-2)就，當(dāng)4W、BN最短時(shí)，AM-'MN=.

17.已知△ABC的頂點(diǎn)4(-2,4),5(4,-6),C(5,l).

(1)求A8邊上的中線所在直線的方程；

(2)求經(jīng)過點(diǎn)A,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程.

18.如圖，在三棱錐P-4BC中，點(diǎn)。為棱8c上一點(diǎn)，且CD=2BD,點(diǎn)M為線段AD的中

點(diǎn).

⑴以｛荏、AC,而｝為一組基底表示向量而；

(2)若4B=4C=3,AP=4,^BAC=^PAC=60°,求麗?前.

19.棱長為2的正方體中，E、尸分別是。為、的中點(diǎn)，G在棱CO上，且CG=2C。，，是

GG的中點(diǎn).建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，解決下列問題：

(1)求證：EF1&C；

(2)求cos〈前，的；

(3)求FH的長.

Oi

20.如圖，在三棱柱ABC—ABiG中，側(cè)面441GC1底面A8C,側(cè)面44停停是菱形，Z.ArAC

60°,/.ACB=90°,AC=BC=2.

(1)若。為41c的中點(diǎn)，求證：AD

(2)求二面角力-4停-Bi的正弦值.

8

21.如圖，將一塊直角三角形木板AB。置于平面直角坐標(biāo)系中，已知4B=0B=1,AB1OB,

點(diǎn)P?,》是三角形木板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，

可用經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線將三角形木板鋸成△AMN,設(shè)直線MN的斜率為k.

(1)用A表示出直線MN的方程，并求出M、N的坐標(biāo)；

(2)求鋸成的44MN的面積的最小值.

22.如圖,在四邊形PDCB中，PD“BC,BA1PD,PA=AB=BC=1,AD=去沿BA將4PAB

翻折到△SB4的位置，使得SD=y.

(1)作出平面SC。與平面SBA的交線I,并證明I平面CSB；

(2)點(diǎn)。是棱SC上異于S,C的一點(diǎn)，連接Q。，當(dāng)二面角Q-80C的余弦值為與時(shí)，求此時(shí)

三棱錐Q-BC。的體積.

D

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：?.?點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，.?.而7=*刃+而)=頡+頡，

???點(diǎn)N為0C的中點(diǎn)，.?.麗=2靈=呆，

____,_,,111Tl_

:.MN=ON-0M=?—2=2(?—五—6).

故選：D.

利用向量三角形法則、向量共線定理、平行四邊形法則即可得出.

本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查了數(shù)形結(jié)合，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解：???汗=(1,-2,3),6=(-2,3,-1),

.,■a+2b=(―3,4,1)>

\a+2b\—+16+1-V26.

故選：C.

利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】D

【解析】解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則。(0,0,0),4(2,0,0),B(2,2,0),

設(shè)M(0,0,t),0<t<2,

則加7=(-2,0,t),麗=(-2,-2,t),

則初?~BM=(-2)x(-2)+0x(-2)+t2=t2+

4>4,當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號(hào)，

即福?詢的最小值為4,

故選：D.

先建立空間直角坐標(biāo)系，然后求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，

然后結(jié)合空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.

本題考查了空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：要使過C的直線與直線

A8有交點(diǎn)只需找到直線AC、BC的斜

率，根據(jù)題意，kAB=-2,kBC=i,根據(jù)

傾斜角與斜率的關(guān)系系，過C的直線

傾斜角只需要介于直線BC和直線AC

之間即可，本題選：D.

本題考查利用平面內(nèi)兩點(diǎn)求直線的斜

率以及直線的傾斜角與直線斜率的關(guān)

系，只需求出兩種臨界情況

注意傾斜角與斜率的關(guān)系，特別是傾

斜角為90度時(shí).

5.【答案】A

【解析】解：由題意可得，小間的距離最大時(shí)，AB和這兩條直線都垂直.

由于48的率為巖=2,故直線k的斜率為-今

故它的方程是=化簡為x+2y-3=0,

故選：A.

由題意可得，％間的距離最大時(shí)，AB和這兩條直線都垂直.利用斜率計(jì)算公式及其相互垂直

的直線斜率之間的關(guān)系即可得出.

本題考查了斜率計(jì)算公式及其相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬

于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：由題意得配=萬？+布+配，

???|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB^+BC2+2DA-AB+2BC-DA+2AB-BC,

又ZM=30m,CB=40m,AB=20-73m,

22

???|DC|=30+(20國＞+402+0+2x30x40x|+0=4900,即|玩|=70m,

故甲、乙兩人相距70m,

故選：D.

利用向量法，DC^DA+AB+BC,結(jié)合向量的線性運(yùn)算，即可得出答案.

本題考查向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,

屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：設(shè)E為8C中點(diǎn)，因?yàn)榈酌鍭BC。是邊長為4的菱形，且所以DE1BC,

而皿BC,所以DEJ.D4

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以赤，前的方向分別為x,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-

xyz,

設(shè)PD=Q,則P(O,O,a),4(400),C(-2,2A/3,0),

設(shè)記=(%y,z)是平面PAC的法向量，

因?yàn)楸?(4,0,—a),AC=(-6,273,0),

則匕?空一4%-az令％=a,得記=(見舊0,4),

設(shè)點(diǎn)D到平面PAC的距離為d,

因?yàn)椴?(4,0,0),

所以d=|察|=7^==&,得a=2,

同J4a2+16

故選：D.

建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可.

本題考查了利用向量法求解點(diǎn)到平面的距離問題，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】C

【解析】解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC,DA,0。'所在直線為

x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可設(shè)P(0,y,z),由4(0,1,0),C'(l,0,l),4(0,1,0),

AP=(0,y-l,z),而=(1,0,1),DA=(0,1,0),

設(shè)直線AP與平面/M'B'B所成角為。和異面直線AP與DC'所成角為

Q,

可得cosa=cos<AP,DC>=---,z=,sind=|cos<AP,

魚.Jz2+(y—1)2

DA>\=-,0<y<1,

V2jz2+(y-l)2

由sin。=cosa,可得z=V2(l—y),

則I9I=Jy2+z2=Jy2+2(1-y)2=J3(y-|)2+|,

當(dāng)、=削寸，線段OP長度的最小值為孚

故選：C.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC,D4,。。'所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)直線4P與平面44'B'B

所成角為。和異面直線AP與DC'所成角為a,運(yùn)用向量的數(shù)量積的夾角公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值

求法，可得所求最小值.

本題考查線面角和異面直線所成角的求法，注意建立空間直角坐標(biāo)系解決，考查化簡運(yùn)算能力，

屬于中檔題.

9.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于4,當(dāng)一個(gè)傾斜角在第一象限，另一個(gè)傾斜角在第二象限時(shí)，

不滿足直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大，故4錯(cuò)誤，

對(duì)于8,當(dāng)直線的傾斜角為*則直線的斜率不存在，故8錯(cuò)誤，

對(duì)于C,直線傾斜角a6冷爭(zhēng)，

則斜率幺的取值范圍是(一8,一百］U口,+8),故C正確，

對(duì)于。，當(dāng)戊=苧時(shí)，直線的斜率為-1,但直線的傾斜角不為掌故。錯(cuò)誤.

故選：ABD.

根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，即可求解.

本題主要考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】AC

【解析】解：選項(xiàng)A,令x=0,則y=-2,所以直線y=x-2在y軸上的截距為一2,即A正確；

選項(xiàng)B,若直線的斜率不存在，即直線x=0,雖然經(jīng)過點(diǎn)4(0,2),但不能用y=kx+2表示，即B

錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C,令y=0,則無=一［,所以直線6x+my+14=0(m6R)必過定點(diǎn)(一0),即C正確；

選項(xiàng)D,由題意知m=8,直線6x+my+14=0可化為3x+4y+7=。所以兩平行直線間的距離

為d-J'‘I—即￡)錯(cuò)誤.

5

故選：AC.

選項(xiàng)4,根據(jù)截距的定義，即可得解；選項(xiàng)B,直線的斜率有可能不存在；選項(xiàng)C,令y=0,則

%=-1,可得定點(diǎn)為(一￡0)；選項(xiàng)根據(jù)兩平行直線間的距離公式，即可得解.

本題考查了直線的方程的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

11.【答案】BD

【解析】解：對(duì)于A,1,1,2),C(-3,0,4),

BC=(-2,-1,2),

??C//BC,

?1?c=mBC=m(—2,—1,2)=2m),

v|c|=3,

|c|=J(-2m)2+(—m)2+(2m)2=3|m|=3,解得m=±1,

故不=(—2,—1,2)或下=(2,1,—2),故A錯(cuò)誤，

對(duì)于BCD,v4(-2,0,2),B(—1,1,2),C(-3,0,4),a=AB,b=AC,

a=(1,1,0),b=(-1,0,2),a-b=(1,1,0)-(-1,0,2)=-1,

v|a|=Vl2+l2+02=V2,|fa|=’(-1)2+02+22=V5,

.??85<第3>=襦=息=—部，故B正確’

va=(1,1,0),K=(-1,0,2),

???fca+K=(fc—1,fc,2)>ka-2b=(k+2,k,—4),

???卜力+石與k五一23互相垂直，

(/c-l)(fc+2)+/c2-8=0,即2k2+卜-10=0,解得k=2或-|,故C錯(cuò)誤,

?：a+b=(0,1,2),a-b=(2,1,-2),

???A(a+b)+n(a—b)=(2〃,4+〃,24—2〃),

???A(a+b)+n(a-石)與z軸垂直，

二22—2〃=0,即2—〃=0,故。正確.

故選：BD.

對(duì)于A,結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解，

對(duì)于8,結(jié)合向量的夾角公式，即可求解，

對(duì)于C,結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解，

對(duì)于Q,結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解.

本題主要考查向量平行、垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.

12.【答案】BCD

【解析】

【分析】

本題考查立體幾何的綜合運(yùn)用，涉及了異面直線所成角，二面角以及點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)點(diǎn)，

考查推理能力及計(jì)算能力，屬于中檔題.

由。且44與AF不垂直，可判斷選項(xiàng)A；過點(diǎn)＜7作。"14后，則"WC即為二面角F-

4E-C的平面角，計(jì)算可知tan/FMC=亭異面直線&G與所所成的角即為直線&G與G”所成

角N&GH,結(jié)合余弦定理可判斷選項(xiàng)C；點(diǎn)G到平面AE尸的距離與點(diǎn)C到平面4EF的距離之比

為翳，求出GN,CN可判斷選項(xiàng)。.

【解答】

解：在正方體4BCD-&B1GD1中，顯然。山〃4遇，且4〃與A尸不垂直，故與AF不垂直，

選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

過點(diǎn)C作CM14E,交AE的延長線于M,連接尸

由二面角的定義可知，NFMC即為二面角F-AE-C的平面

角，

不妨設(shè)正方體的棱長為2,則CF=1,CM=染上=管，

河5

???tan-MC=帶=4=孚選項(xiàng)B正確；

取BiCi中點(diǎn)”，連接4/，GH,則GH〃EF,故異面直線4G與EF所成的角即為直線&G與G”

所成角乙41GH,

而Ai”=V22+1=V5M1G=V22+1=V5,GH=而+1=V2,

故在AHiCiG中，

由余弦定理可得cosN&GH=

Z.Ai(j'Un

=盤擊=噂'選項(xiàng)C正確；

連接CG交EF于點(diǎn)N,則點(diǎn)G到平面AEF的距離與點(diǎn)C到平面AEF的距離之比為黑，

而4GNFS4CNE,畔4=2,選項(xiàng)。正確.

故選：BCD.

13.【答案】|

【解析】

【分析】

本題考查了直線相互垂直與斜率之間的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

利用直線相互垂直與斜率之間的關(guān)系即可得出.

【解答】

解：??,直線2無+y-5=0與血%-3y+6=0垂直，

??.兩條直線的斜率相乘等于-1,

m

???-2X-2-=-1.

:.2m—3=0,

解得m=|.

故答案為：--

14.【答案】5

【解析】解：???直線〃/平面a,

???mln,即8+2—2z=0,解得：z=5.

故答案為：5.

由線面平行可得沅1n,由向量垂直的坐標(biāo)表示可構(gòu)造方程求得z的值.

本題考查空間向量判斷直線、平面的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

15.【答案】/

【解析】解：O+1)2+幾2可看成是直線上一點(diǎn)P(犯n)到點(diǎn)Q(-1,0)的距離的平方，

當(dāng)PQ11時(shí)，距離最小，

故點(diǎn)Q(-l,0)到直線1：3無一2y+5=。的距離為尸型包=殺，

次+(-2)2皿

所以(m+1)2+彥的最小值為(急)2=±,

故答案為：去.

根據(jù)點(diǎn)到直線的距離即可求解.

本題考查了點(diǎn)到直線的距離的最值問題，屬于基礎(chǔ)題.

16.1答案］—|

【解析】解：由四點(diǎn)共面定理及三點(diǎn)共線定理可知，

MC平面BCD,N6直線AC,

當(dāng)AM,BN最短時(shí)，4M_L平面8CO,BN1AC,

所以M為正ABC。的中心，N為AC的中點(diǎn)，

2V3?2V3

MC=-x—x2=―,

所以4M=y/AC2-MC2=J（或產(chǎn)一（苧尸=爭(zhēng)

又而=*就+碗），

故而-MW=1（AM-MC+AM-MA）

1一，2

=--^\MA\2=-g.

故答案為：—

由平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算即可解決.

本題考查平面向量的數(shù)量積性質(zhì)和運(yùn)算，屬于中等題.

17.【答案】解：（1）由題意得，AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,一1）,

則A8邊上的中線過點(diǎn)（1,一1）,斜率1=詈=:，

???力B邊上的中線所在直線的方程為y+1=1（x-1）,即x-2y-3=0.

（2）當(dāng)截距為0時(shí)，直線過原點(diǎn)，設(shè)直線方程為y=依，則卜=4=-2,

???直線方程為y=-2%；

當(dāng)截距不為0時(shí)，直線方程為2+*=1,

aa

??,直線過點(diǎn)4（-2,4）,則|+：=1，解得，a=2,

二直線方程為x+y-2=0.

綜上，經(jīng)過點(diǎn)A,且在x軸上的截距和y軸上的截距相等的直線的方程為y=2x或x+y-2=0.

【解析】（1）求得中點(diǎn)坐標(biāo)及中線斜率，點(diǎn)斜式求直線方程；

（2）分截距為0和不為0兩種情況討論，求得直線方程.

本題考查了直線的方程的應(yīng)用問題，也考查了線段中點(diǎn)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

18.【答案】解：(1)：”為線段4。的中點(diǎn)，:而7=3加，

vCD=2BD,：.~BD=^BC,

__?_,,_?]_*_?1_?_

???兩=腐+前=同+2而=萬+,須+前)

_,1_1__>1_1_,_

=PA+](48+可8C)—PA+1[AB+4(84+71C)]

=PA+^(AB-1A6+|ZC)=-而+海+師；

_1_1_,_

(2)麗?前r=(一而+5?通+/碼?正k

DO

_>_>1_*_,1_>2

=-AP-AC+^AB-AC+^AC

36

_1_>_1

=-\AP\\AC\-cos^PAC+^\AB\\AC\cos^BAC+7\AC\2

3o

1111,

—4x3xK+7yX3x3xK+/x32

2326

=-6+^3+|3=-3.

【解析】(1)直接利用向量的數(shù)乘運(yùn)算及加減運(yùn)算求解；

(2)由向量的單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.

本題考查空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)證明：根據(jù)題意，如圖，以。為原點(diǎn)，DA,DC,

DDi分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系。一xyz,

則。(0,0,0),E(0,0,l),F(l,l,0),C(0,2,0),G(0,2,2),(2,2,2),

G(0,14,0),

則方=(1,1,一1),B^C=(-2,0,-2),

故前?BC=(1,1,-1)-(-2,0,-2)=1x(-2)+1x0+(-1)x

(-2)=0,

則有前1瓦下，

故EF1BC

(2)根據(jù)題意，G(0,2,2),G(0j,0),則懿=(0,—|,-2),則|布|=1+4=嚕

JJ、V3

又由E(0,0,l),F(l,l,0),則加=(1,1,一1),

則前?QG=(1.1,-1)-(0,-|,-2)=2-|="

而|FF|=V1+1+1=V3,

則8S甌國=崎y_43_2_V30

左2啜=3'2V30=兩=

(3)根據(jù)題意，Q(0,2,2),G嗚0),而〃是QG的中點(diǎn),則“(0m,1),

又尸(1,1,0),則喬=(1,一|,一1),

|前|=+(_新+(R=舊=等,即/H二苧.

【解析】(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求出就與雨的坐標(biāo)，進(jìn)而證明郎?瓦？=0,即

可得結(jié)論；

(2)根據(jù)題意，由空間向量數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案；

(3)根據(jù)題意，求出前的坐標(biāo)，進(jìn)而由空間向量模的計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及向量數(shù)量積的計(jì)算，屬于中檔題.

20.【答案】(1)證明：???側(cè)面A&GC是菱形，???441=4C,

vD為ZiC的中點(diǎn)，AD1&C,

???側(cè)面AAiGC1底面ABC,側(cè)面n底面力BC=AC,4ACB=90°,BCu底面ABC,

：.BC1側(cè)面

vADu側(cè)面441clC,:.BCLAD,

''A^CC\BC=C,AD_L平面4BC,

:4/u平面&BC,二4。_L&B.

(2)解：取41G中點(diǎn)E,連接CE,從而CE_LAiCi，

又由4c"/AC,則CE1AC,

,側(cè)面441GC1底面ABC,側(cè)面AAiGCn底面ABC=AC,

CEJL底面ABC,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。，CB,CE為x軸，)，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：

由已知條件和如圖可知，C(0,0,0),71(2,0,0),&(1,0,遮)，Bx(-1,2,73),

由題意可知，CB=(0,2,0)為平面A&C的一個(gè)法向量，

不妨設(shè)元=(Xi，yi，zD平面為CB1的一個(gè)法向量,

因?yàn)榭?(1,0,遮)，西=(-1,2,6)，

n-CA=X]+>/3z=0

從而t1

n-CB；=—xx+2y1+y/3z1=0

令Z]=V5,則=—3,%=—3,即元=(—3,—3,6),

設(shè)二面角A-&C-%為氏由圖可知。為鈍角，

從而cos。=-|cos<CB,n>|=-?黑？=一半，即sin。=絲,

故二面角力—ATC—Bi的正弦值為^

【解析】(1)結(jié)合已知條件和平面幾何關(guān)系知AD14C,然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)

可知BC1AD,最后利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明;

(2)取41cl的中點(diǎn)E,然后利用面面垂直性質(zhì)證明CE_L底面A8C,再建立空間直角坐標(biāo)系，分別

求出平面A41c和平面&C&的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.

本題主要考查異面直線垂直的證明，二面角的計(jì)算，空間向量及其應(yīng)用，空間想象能力的培養(yǎng)等

知識(shí)，屬于中等題.

21.【答案】解：(1)設(shè)直線MMy=kx+b,

111k

所

以Amb=

因?yàn)橹本€MN過點(diǎn)P(另),4-2-4--2-

所以，MN：y=依+；-號(hào),

qz

又因?yàn)?(1,1),易得直線04y=x,直線A5：%=1,

<2k-l

聯(lián)立卜=以+^-9，解得X=4(k—l)

{y=x2k-l'

J=4(k-l)

聯(lián)立卜=依+:一夭，解得X=1

2k+l

lx=1y=-

/2々—12k—1、z/y2k+l、

故叭訴?而》N(I，T).

(2)因?yàn)殡?P=J,kgp=-所以—JWkWg,所以1—kE[H，

mxt?...?r2/c+l3-2k

因?yàn)閨AN|=1———=——,

44

2/c-l2k—3

設(shè)M到直線AN的距離為d,則d=l—

4(fc-l)-4("1)'

1

X3-2k2k-3(2々-3)2l+4(l-k)+4(l-/c)2

所以s2---------X-----------------------------------------------------------------前布片+(1一幻+1]-

44(k-l)32(l-k)