材料力學(xué)課件

第一章緒論材料力學(xué)緒論第一章緒論材料力學(xué)：研究物體受力后內(nèi)在的表現(xiàn)，

即，變形規(guī)律和破壞特征。

材料力學(xué)的研究對象一、材料力學(xué)的任務(wù)二、變形固體的基本假設(shè)四、桿件變形的基本形式緒論

材料力學(xué)的研究對象1、構(gòu)件2、構(gòu)件分類緒論工程結(jié)構(gòu)或機械的各組成部分統(tǒng)稱構(gòu)件材料力學(xué)以“梁、桿”為主要研究對象緒論工程中多為梁、桿結(jié)構(gòu)緒論§1-1、材料力學(xué)的任務(wù)強度、剛度、穩(wěn)定性緒論緒論1、強度：構(gòu)件抵抗破壞的能力緒論緒論緒論2、剛度：構(gòu)件抵抗變形的能力。緒論緒論緒論構(gòu)件保持原有平衡狀態(tài)的能力3穩(wěn)定性緒論

工程結(jié)構(gòu)的強度、剛度和穩(wěn)定問題穩(wěn)定問題強度剛度緒論大型橋梁的強度剛度穩(wěn)定問題緒論緒論

材料力學(xué)的任務(wù)在滿足強度、剛度、穩(wěn)定性的前提下，以最經(jīng)濟的代價，為構(gòu)件確定合理的形狀和尺寸，選擇適宜的材料，為設(shè)計構(gòu)件提供必要的理論基礎(chǔ)和計算方法。緒論§1-2變形固體的基本假設(shè)

一、連續(xù)性假設(shè)：構(gòu)成材料的物質(zhì)毫無空隙地充滿了構(gòu)件的整 個容積。（可用微積分?jǐn)?shù)學(xué)工具，可取微元看整體）二、均勻性假設(shè)：物體內(nèi)，材料的力學(xué)性質(zhì)在各處都完全相 同。

三、各向同性假設(shè)：材料沿各方向的力學(xué)性質(zhì)完全相同。（這樣的材料稱為各向同性材料；沿各方向的力學(xué)

性質(zhì)不同的材料稱為各向異性材料。）四、小變形假設(shè)：材料力學(xué)所研究的構(gòu)件在載荷作用下的變形

與原始尺寸相比甚小，故對構(gòu)件進行受力分析時可忽略其

變形。

緒論組合受力（CombinedLoading）與變形§1-4桿件變形的基本形式緒論第二章軸向拉伸與壓縮材料力學(xué)

第二章軸向拉伸與壓縮§2–1引言§2–2橫截面上內(nèi)力和應(yīng)力§2–3拉壓桿的強度條件§2-4拉壓桿的變形胡克定律§2-8拉伸、壓縮超靜定問題§2-5材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能§2-6溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響拉壓習(xí)題課拉壓§2–1引言軸向拉壓的受力特點：外力的合力作用線與桿的軸線重合。一、概念軸向拉壓的變形特點：軸向拉伸：桿的變形是軸向伸長，橫向縮短。軸向壓縮：桿的變形是軸向縮短，橫向變粗。拉壓軸向壓縮，對應(yīng)的外力稱為壓力。軸向拉伸，對應(yīng)的外力稱為拉力。力學(xué)模型如圖拉壓工程實例二、拉壓拉壓一、內(nèi)力

指由外力作用所引起的、物體內(nèi)相鄰部分之間分布內(nèi)力系的合成（附加內(nèi)力）?！?–2橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力拉壓二、截面法·軸力

內(nèi)力的計算是分析構(gòu)件強度、剛度、穩(wěn)定性等問題的基礎(chǔ)。求內(nèi)力的一般方法是截面法。1.截面法的基本步驟：①截開：在所求內(nèi)力處，假想地用截面將桿件切開。②代替：任取一部分，棄去部分對留下部分的作用，以內(nèi)力（力或力偶）代替。③平衡：對留下的部分建立平衡方程，求未知內(nèi)力。（此時截開面上的內(nèi)力對所留部分而言是外力）拉壓2.軸力——軸向拉壓桿的內(nèi)力，用N表示。例如：截面法求N。

APP簡圖APPPAN截開：代替：平衡：①反映出軸力與截面位置的變化關(guān)系，較直觀；②反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。拉壓三、軸力圖——N(x)的圖象表示。3.軸力的正負(fù)規(guī)定:

N

與外法線同向,為正軸力(拉力)N與外法線反向,為負(fù)軸力(壓力)N>0NNN<0NNNxP+意義拉壓[例1]圖示桿的A、B、C、D點分別作用著大小為5P、8P、4P、

P

的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。解：求OA段內(nèi)力N1：設(shè)置截面如圖ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN1拉壓同理，求得AB、BC、CD段內(nèi)力分別為：N2=–3P

N3=5PN4=P軸力圖如右圖BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP++–拉壓軸力(圖)的簡便求法：自左向右:軸力圖的特點：突變值=集中載荷遇到向左的P

，軸力N增量為正；遇到向右的P

，軸力N增量為負(fù)。5kN8kN3kN+–3kN5kN8kN拉壓解：x坐標(biāo)向右為正，坐標(biāo)原點在自由端。取左側(cè)x段為對象，內(nèi)力N(x)為：qq

LxO[例2]圖示桿長為L，受分布力q=kx

作用，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。Lq(x)Nxxq(x)NxO–拉壓四、應(yīng)力的概念問題提出：PPPP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。2.強度：①內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

②材料承受荷載的能力。1.定義：由外力引起的（構(gòu)件某截面上一點處）內(nèi)力集度。拉壓

工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內(nèi)力集度最大處開始。

P

AM①平均應(yīng)力(

A上平均內(nèi)力集度)②全應(yīng)力（總應(yīng)力）：(M點內(nèi)力集度)2.應(yīng)力的表示：拉壓③全應(yīng)力分解為：p

M

垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”

(NormalStress)；位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(ShearStress)。應(yīng)力單位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m2拉壓變形前1.變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。（直桿在軸向拉壓時）abcd受載變形后：各縱向纖維變形相同。PPd′a′c′b′五、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力拉壓均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布，即各點應(yīng)力相同。2.拉伸應(yīng)力：sNP軸力引起的正應(yīng)力——

：在橫截面上均布。危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應(yīng)力最大的點。3.危險截面及最大工作應(yīng)力：拉正壓負(fù).拉壓5.應(yīng)力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。4.Saint-Venant原理：離開載荷作用點一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。變形示意圖：(紅色實線為變形前的線，紅色虛線為紅色實線變形后的形狀。)應(yīng)力分布示意圖：41拉壓一、應(yīng)力的概念§2–3拉（壓）桿的強度條件問題提出：PPPP1.內(nèi)力大小不能衡量構(gòu)件強度的大小。2.強度：①內(nèi)力在截面分布集度應(yīng)力；

②材料承受荷載的能力。1.定義：由外力引起的（構(gòu)件某截面上一點處）內(nèi)力集度。42拉壓

工程構(gòu)件，大多數(shù)情形下，內(nèi)力并非均勻分布，集度的定義不僅準(zhǔn)確而且重要，因為“破壞”或“失效”往往從內(nèi)力集度最大處開始。

P

AM①平均應(yīng)力(

A上平均內(nèi)力集度)②全應(yīng)力（總應(yīng)力）：(M點內(nèi)力集度)2.應(yīng)力的表示：43拉壓③全應(yīng)力分解為：p

M

垂直于截面的應(yīng)力稱為“正應(yīng)力”

(NormalStress)；位于截面內(nèi)的應(yīng)力稱為“剪應(yīng)力”(ShearStress)。應(yīng)力單位：Pa=N/m2

MPa=106N/m2GPa=109N/m244拉壓變形前1.變形規(guī)律試驗及平面假設(shè)：平面假設(shè)：原為平面的橫截面在變形后仍為平面。（直桿在軸向拉壓時）abcd受載變形后：各縱向纖維變形相同。PPd′a′c′b′二、拉（壓）桿橫截面上的應(yīng)力45拉壓均勻材料、均勻變形，內(nèi)力當(dāng)然均勻分布，即各點應(yīng)力相同。2.拉伸應(yīng)力：sNP軸力引起的正應(yīng)力——

：在橫截面上均布。危險截面：內(nèi)力最大的面，截面尺寸最小的面。危險點：應(yīng)力最大的點。3.危險截面及最大工作應(yīng)力：拉正壓負(fù).46拉壓5.應(yīng)力集中（StressConcentration）：

在截面尺寸突變處，應(yīng)力急劇變大。4.Saint-Venant原理：離開載荷作用點一定距離，應(yīng)力分布與大小不受外載荷作用方式的影響。變形示意圖：(紅色實線為變形前的線，紅色虛線為紅色實線變形后的形狀。)應(yīng)力分布示意圖：47拉壓二、安全系數(shù)n：靜載:n=1.25~2.5一、極限應(yīng)力sjx：指材料破壞時的應(yīng)力.三、許用應(yīng)力：

動載:n=2~3.5or3~9(危險性大)桿件能安全工作的應(yīng)力最大值

采用安全系數(shù)原因:1.極限應(yīng)力的差異. 2.橫截面尺寸的差異. 3.載荷估計不準(zhǔn). 4.應(yīng)力計算的近似性. 5.構(gòu)件與工程的重要性. 6.減輕設(shè)備自重的要求.n↑安全?n↓經(jīng)濟§2–3拉（壓）桿的強度條件拉壓其中

max--（危險點的）最大工作應(yīng)力②設(shè)計截面尺寸：依強度準(zhǔn)則可進行三種強度計算：①校核強度：③確定許可載荷：

四、強度條件(拉壓桿)：

五、三類強度問題：

拉壓[例3]已知一圓桿受拉力P=25kN，直徑d=14mm，許用應(yīng)力

[

]=170MPa，試校核此桿是否滿足強度要求。解：①軸力：N=P

=25kN②應(yīng)力：③強度校核：④結(jié)論：此桿滿足強度要求，能夠正常工作。拉壓[例4]

已知三鉸屋架如圖，承受豎向均布載荷，載荷的分布集度為：q

=4.2kN/m，屋架中的鋼拉桿直徑d=16mm，許用應(yīng)力[

]=170MPa。試校核剛拉桿的強度。鋼拉桿4.2mq8.5m拉壓①整體平衡求支反力解：鋼拉桿8.5mq4.2mRARBHA拉壓③應(yīng)力：④強度校核與結(jié)論：

此桿滿足強度要求，是安全的。②局部平衡求軸力：

qRAHARCHCN拉壓[例5]簡易起重機構(gòu)如圖，AC為剛性梁，吊車與吊起重物總重為P，為使BD桿最輕，角

應(yīng)為何值？已知BD

桿的許用應(yīng)力為[

]。分析：xLhqPABCD拉壓

BD桿面積A：解：

BD桿內(nèi)力N(q)：取AC為研究對象，如圖YAXAqNBxLPABCBD桿軸力最大值:拉壓YAXAqNBxLPABC③求VBD

的最小值：拉壓**拉(壓)桿斜截面上的應(yīng)力設(shè)有一等直桿受拉力P作用。求：斜截面k-k上的應(yīng)力。PPkka①采用截面法切開,左部平衡由平衡方程：Pa=P則：Aa：斜截面面積；Pa：斜截面上內(nèi)力。由幾何關(guān)系：代入上式，得：其中s0

為a=0面,即橫截面上的正應(yīng)力.PkkaPa②仿照證明橫截面上正應(yīng)力均布也可證斜截面……拉壓PPkka斜截面上全應(yīng)力：PkkaPa③pa分解為：pa=反映：通過構(gòu)件上一點不同截面上應(yīng)力變化情況。當(dāng)

=90°時，當(dāng)

=0,90°時，當(dāng)

=0°時，(橫截面上存在最大正應(yīng)力)當(dāng)

=±45°時，(45°斜截面上剪應(yīng)力達到最大)tasaa2、單元體：單元體—構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)—a、平行面上，應(yīng)力均布；

b、平行面上，應(yīng)力相等。3、拉壓桿內(nèi)一點M

的應(yīng)力單元體:

1.一點的應(yīng)力狀態(tài)：過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上的應(yīng)力情況，稱為這點的應(yīng)力狀態(tài)。補充：拉壓sPMssss取分離體如圖3，a逆時針為正；ta繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；由分離體平衡得：拉壓4、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力ssss

tasaxs0圖3例6

直徑為d=1cm

桿受拉力P=10kN的作用，試求最大剪應(yīng)力，并求與橫截面夾角30°的斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力。解：拉壓桿斜截面上的應(yīng)力，直接由公式求之：拉壓例7圖示拉桿沿mn由兩部分膠合而成,受力P，設(shè)膠合面的許用拉應(yīng)力為[

]=100MPa

；許用剪應(yīng)力為[

]=50MPa

，并設(shè)桿的強度由膠合面控制,桿的橫截面積為A=4cm2，試問:為使桿承受最大拉力,

角值應(yīng)為多大?(規(guī)定:

在0~60度之間)。聯(lián)立(1)、(2)得：拉壓PPmna解：Pa6030B(1)、(2)式的曲線如圖(2)，顯然，B點左側(cè)由正應(yīng)力控制桿的強度，B點右側(cè)由剪應(yīng)力控制桿的強度，當(dāng)a=60°時，由(2)式得解(1)、(2)曲線交點處：拉壓討論：若Pa6030B11、桿的縱向總變形：3、縱向線應(yīng)變：2、線應(yīng)變：單位長度的變形量。一、拉壓桿的變形及應(yīng)變§2－4拉壓桿的變形胡克定律拉壓abcdLPPd′a′c′b′L15、橫向線應(yīng)變：4、桿的橫向變形：拉壓二、胡克定律(彈性范圍內(nèi))

※“EA”稱為桿的抗拉壓剛度。3、泊松比（或橫向變形系數(shù)）1、拉壓桿的胡克定律2、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律E—拉壓彈性模量

C'1、怎樣畫小變形放大圖？

變形圖嚴(yán)格畫法，圖中弧線；

求各桿的變形量△Li

，如圖；

變形圖近似畫法，圖中弧之切線。例8

小變形放大圖與位移的求法。拉壓ABCL1L2PC"2、寫出圖2中B點位移與兩桿變形間的關(guān)系拉壓ABCL1L2B'解：變形圖如圖2，B點位移至B'點，由圖知：例9設(shè)橫梁ABCD為剛梁，橫截面面積為76.36mm2

的鋼索繞過無摩擦的定滑輪。設(shè)P=20kN，試求剛索的應(yīng)力和C點的垂直位移。設(shè)剛索的E=177GPa。解：方法1：小變形放大圖法

1）求鋼索內(nèi)力：以ABCD為對象2)鋼索的應(yīng)力和伸長分別為：拉壓800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXA拉壓CPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）變形圖如左圖,C點的垂直位移為：§2－8拉伸、壓縮超靜定問題1、超靜定問題：單憑靜平衡方程不能確定出全部未知力

（外力、內(nèi)力、應(yīng)力）的問題。一、超靜定問題及其處理方法拉壓2、超靜定的處理方法：平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程、物理方程相結(jié)合，進行求解。不穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡靜定問題超靜定問題例11

設(shè)1、2、3三桿用鉸鏈連接如圖，已知：各桿長為：L1=L2、

L3=L

；各桿面積為A1=A2=A、A3

；各桿彈性模量為：E1=E2=E、E3。外力沿鉛垂方向，求各桿的內(nèi)力。拉壓CPABD123解：、平衡方程:PAN1N3N2

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程：

物理方程——彈性定律：

補充方程：由幾何方程和物理方程得。

解由平衡方程和補充方程組成的方程組，得:拉壓CABD123A1

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——胡克定律；

補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。拉壓3、超靜定問題的方法步驟：例12

木制短柱的四角用四個40

40

4的等邊角鋼加固，角鋼和木材的許用應(yīng)力分別為[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，彈性模量分別為E1=200GPa

和E2=10GPa；求許可載荷P。

幾何方程

物理方程及補充方程：解：平衡方程:拉壓PPy4N1N2PPy4N1N2拉壓

解平衡方程和補充方程，得:

求結(jié)構(gòu)的許可載荷：

方法1:角鋼面積由型鋼表查得:A1=3.086cm2所以在△1=△2

的前提下，角鋼將先達到極限狀態(tài)，即角鋼決定最大載荷。

求結(jié)構(gòu)的許可載荷：另外：若將鋼的面積增大5倍，怎樣？

若將木的邊長變?yōu)?5mm，又怎樣？結(jié)構(gòu)的最大載荷永遠由鋼控制著。拉壓方法2:

、幾何方程解：、平衡方程:2、超靜定問題存在裝配應(yīng)力。二、裝配應(yīng)力——預(yù)應(yīng)力1、靜定問題無裝配應(yīng)力。拉壓

如圖，3號桿的尺寸誤差為

，求各桿的裝配內(nèi)力。ABC12ABC12DA13A1N1N2N3

、物理方程及補充方程：

、解平衡方程和補充方程，得:d拉壓A1N1N2N3AA1

、幾何方程1、靜定問題無溫度應(yīng)力。三、溫度應(yīng)力拉壓ABC12CABD1232、超靜定問題存在溫度應(yīng)力。（可自由伸縮）（不可自由伸縮，→內(nèi)力→應(yīng)力＝熱應(yīng)力）

拉壓aaaaN1N2例13

如圖，階梯鋼桿的上下兩端在T1=5℃

時被固定,桿的上下兩段的面積分別

=cm2，

=cm2，當(dāng)溫度升至T2

=25℃時,求各桿的溫度應(yīng)力。

(線膨脹系數(shù)

=12.5×；

彈性模量E=200GPa)

、幾何方程：解：、平衡方程：

、物理方程解平衡方程和補充方程，得:

、補充方程

、溫度應(yīng)力拉壓§2－5材料拉伸和壓縮時的力學(xué)性能一、試驗條件及試驗儀器1、試驗條件：常溫(20℃)；靜載（極其緩慢地加載）；

2、試驗對象：標(biāo)準(zhǔn)試件。拉壓dh力學(xué)性能：材料在外力作用下,在強度與變形方面表現(xiàn)出的特性。3、試驗設(shè)備：萬能試驗機；變形儀（常用引伸儀）。拉壓二、低碳鋼試件的拉伸圖(P--

L圖)三、低碳鋼試件的應(yīng)力--應(yīng)變曲線(

--

圖)拉壓(一)低碳鋼拉伸的彈性階段(oe段)1、op--比例段:

p--比例極限2、pe--曲線段:

e--彈性極限拉壓(二)低碳鋼拉伸的屈服(流動）階段(es

段)

es--屈服段:

s---屈服極限滑移線：塑性材料的失效應(yīng)力:

s

。拉壓２、卸載定律：１、

ｂ---強度極限３、冷作硬化：４、冷拉時效：(三)、低碳鋼拉伸的強化階段(ｓｂ段)拉壓1、延伸率:

2、截面收縮率：

3、脆性、塑性及相對性(四)、低碳鋼拉伸的頸縮（斷裂）階段(bf段)拉壓四、無明顯屈服現(xiàn)象的塑性材料0.2s0.2名義屈服應(yīng)力:

0.2

，即此類材料的失效應(yīng)力。五、鑄鐵拉伸時的機械性能

ｂL---鑄鐵拉伸強度極限（失效應(yīng)力）拉壓六、材料壓縮時的機械性能

ｂy---鑄鐵壓縮強度極限；

ｂy

（4—6）

ｂL

拉壓七、安全系數(shù)、容許應(yīng)力、極限應(yīng)力n拉壓1、許用應(yīng)力：2、極限應(yīng)力：3、安全系數(shù)：解：變形量可能已超出了“線彈性”范圍，故，不可再應(yīng)用“彈性定律”。應(yīng)如下計算：例10

銅絲直徑d=2mm，長L=500mm，材料的拉伸曲線如圖所示。如欲使銅絲的伸長為30mm，則大約需加多大的力P？

由拉伸圖知：拉壓s(MPa)e(%)92一、溫度對材料力學(xué)性能的影響 （短期，靜載下）材料力學(xué)性能的進一步分析§2–6溫度和時間對材料力學(xué)性能的影響

但在260°以前隨溫度的升高，

b反而增大，同時

、

卻減小。但象低碳鋼這種在260°以前的特征，并非所有的鋼材都具有?？傏厔?溫度升高,E、

S

、

b下降；

、

增大。0100200300400500216177137700600500400300200100100908070605040302010Ed93材料力學(xué)性能的進一步分析溫度對鉻錳合金力學(xué)性能的影響200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800200017501500125010007505002500-200-1000100200300400500600700800d8070605040302010094材料力學(xué)性能的進一步分析

P(kN)------0510153020100

Dl(mm)---0510153020100

P(kN)

Dl(mm)溫度降低，塑性降低，強度極限提高951、蠕變：

在高溫和長期靜載作用下，即使構(gòu)件上的應(yīng)力不變，塑性變形卻隨時間而緩慢增加，直至破壞。這種現(xiàn)象稱為蠕變。注意：應(yīng)力沒增加，桿自己在長長！材料力學(xué)性能的進一步分析P經(jīng)過較長時間后P加靜載二、蠕變與松馳（高溫，長期靜載下）96材料力學(xué)性能的進一步分析構(gòu)件的工作段不能超過穩(wěn)定階段！

etOABCDE不穩(wěn)定階段穩(wěn)定階段加速階段破壞階段

e0材料的蠕變曲線97材料力學(xué)性能的進一步分析應(yīng)力不變溫度越高蠕變越快T1T2T3T4s1s2s3s4溫度不變應(yīng)力越高蠕變越快蠕變變形是不可恢復(fù)的塑性變形。982、應(yīng)力松弛：

在一定的高溫下，構(gòu)件上的總變形不變時，彈性變形會隨時間而轉(zhuǎn)變?yōu)樗苄宰冃危ㄔ驗槿渥儯?，從而使?gòu)件內(nèi)的應(yīng)力變小。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力松弛。桿也是自己長了一段！材料力學(xué)性能的進一步分析經(jīng)過較長時間后卸載加靜載99材料力學(xué)性能的進一步分析溫度不變e2e1e3初應(yīng)力越大，松弛的初速率越大初始彈性應(yīng)變不變T1T3T2溫度越高，松弛的初速率越大一、軸向拉壓桿的內(nèi)力及軸力圖1、軸力的表示?2、軸力的求法?3、軸力的正負(fù)規(guī)定?拉壓和剪切習(xí)題課為什么畫軸力圖?

應(yīng)注意什么?4、軸力圖：N=N(x)的圖象表示?PANBC簡圖APPNxP+拉壓軸力的簡便求法:

以x點左側(cè)部分為對象,x點的內(nèi)力N(x)由下式計算:

其中“

P()”與“

P()”均為x點左側(cè)與右側(cè)部分的所有外力。拉壓例1圖示桿的A、B、C、D點分別作用著5P、8P、4P、P的力，方向如圖，試畫出桿的軸力圖。ABCDO5P4PP8PNx–3P5PP2P拉壓應(yīng)力的正負(fù)規(guī)定?1、橫截面上的應(yīng)力:

二、拉壓桿的應(yīng)力危險截面及最大工作應(yīng)力?

2、拉壓桿斜截面上的應(yīng)力Saint-Venant原理?

應(yīng)力集中?sN(x)P

tasaxs0拉壓三、強度設(shè)計準(zhǔn)則（StrengthDesignCriterion）：

1、強度設(shè)計準(zhǔn)則?

校核強度：

設(shè)計截面尺寸：

設(shè)計載荷：拉壓1、等內(nèi)力拉壓桿的胡克定律

2、變內(nèi)力拉壓桿的胡克定律3、單向應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律四、拉壓桿的變形及應(yīng)變N(x)dxxPP拉壓4、泊松比（或橫向變形系數(shù)）5、小變形放大圖與位移的求法C'ABCL1L2PC"拉壓裝配應(yīng)力——預(yù)應(yīng)力裝配溫度

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；

物理方程——胡克定律；

補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。6、超靜定問題的方法步驟：拉壓五、材料在拉伸和壓縮時的力學(xué)性能3、卸載定律；冷作硬化；冷拉時效。1、胡克定律4、延伸率5、截面收縮率拉壓例2

結(jié)構(gòu)如圖，AB、CD、EF、GH都由兩根不等邊角鋼組成，已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa。

AC、EG可視為剛桿，試選擇各桿的截面型號和A、D、C點的位移。P=300kN0.8m3.2m1.8m1.2m2m3.4m1.2mABCDFHq0=100kN/m解：

求內(nèi)力，受力分析如圖EG拉壓Dq0=100kN/mEGACNGNCNANEND=NDP=300kN

由強度條件求面積拉壓

試依面積值查表確定鋼號

求變形拉壓

求位移,變形圖如圖ABDFHEGCC1A1E1D1G1拉壓例3

結(jié)構(gòu)如圖，AC、BD的直徑分別為:d1=25mm,d2=18mm,已知材料的[

]=170MPa

，E=210GPa,AE可視為剛桿，試校核各桿的強度;求A、B點的位移△A和△B。(2)求當(dāng)P作用于A點時,F點的位移△F′，△F′=△A是普遍規(guī)律：稱為位移互等定理。BNBP=100kNNAAABCDP=100kN1.5m3m2.5mF解：

求內(nèi)力，受力分析如圖拉壓

校核強度

求變形及位移拉壓

求當(dāng)P作用于A點時,F點的位移△F′P=100kN1.5m3m2.5mAFBCD拉壓116本章結(jié)束第三章剪切材料力學(xué)

第三章剪切§3-1剪切的實用計算§3-2擠壓的實用計算剪切習(xí)題課切應(yīng)力的產(chǎn)生剪切§3－1剪切的實用計算一、連接件的受力特點和變形特點：1、連接件

在構(gòu)件連接處起連接作用的部件，稱為連接件。例如：螺栓、鉚釘、鍵等。連接件雖小，起著傳遞載荷的作用。特點：可傳遞一般力，可拆卸。PP螺栓剪切PP鉚釘特點：可傳遞一般力，不可拆卸。如橋梁桁架結(jié)點處于它連接。無間隙m軸鍵齒輪特點：傳遞扭矩。剪切2、受力特點和變形特點：nn（合力）（合力）PP以鉚釘為例：①受力特點：構(gòu)件受到一對相距很近、等值反向的橫向力作用。②變形特點：受到一對反向力作用的相鄰截面間發(fā)生相對錯動。剪切nn（合力）（合力）PP③剪切面：發(fā)生相互錯動或有錯動趨勢的平面，如n–n

。④剪切面上的內(nèi)力：內(nèi)力—剪力Fs

，其作用線與剪切面平行。（用截面法來求）PnnFs剪切面單剪切：構(gòu)件上有一個剪切面。雙剪切：構(gòu)件上有兩個剪切面。剪切nn（合力）（合力）PP3、連接處破壞三種形式：PnnFs剪切面鋼板在受鉚釘孔削弱的截面處，應(yīng)力增大，易在連接處拉斷。①剪切破壞沿鉚釘?shù)募羟忻婕魯?，如沿n–n面剪斷

。②擠壓破壞鉚釘與鋼板在相互接觸面上因擠壓、潰壓而使連接松動，發(fā)生破壞。

③拉伸破壞(被連接件)剪切二、剪切的實用計算實用計算方法：受剪切件，一般為短粗件，其受力、變形復(fù) 雜，難以簡化成簡單的計算模型，切應(yīng)力在截 面上分布規(guī)律很難確定，為簡化計算，假設(shè)剪 應(yīng)力在截面上均勻分布。許用切應(yīng)力確定：通過剪切實驗，使試件的受力盡可能類似于 實際零件受力情況，加載至剪斷，得到破壞 時的極限應(yīng)力。除以安全系數(shù)。塑性材料：[t]=（0.6~0.8）[s]脆性材料：[t]=（0.8~1.0）[s]剪切1、剪切面--A

：錯動面。

剪力--Fs：剪切面上的內(nèi)力。2、名義切應(yīng)力--

：3、剪切強度條件（準(zhǔn)則）：nn（合力）（合力）PPPnnFs剪切面工作應(yīng)力不得超過材料的許用應(yīng)力。用剪切強度條件也可解決三類強度問題(強度校核,截面設(shè)計,確定許可載荷).剪切1、擠壓力―F

：接觸面上的壓力合力。連接件除承剪外,接觸面上還有相互壓緊.擠壓：構(gòu)件局部面積的承壓現(xiàn)象。當(dāng)擠壓力過大時,可能使構(gòu)件產(chǎn)生顯著的局部塑性變形,使連接松動,影響其牢固性.假設(shè)：擠壓應(yīng)力在有效擠壓面上均勻分布?！?－2擠壓的實用計算剪切2、有效擠壓面積（計算擠壓面積）：接觸面（實際擠壓面）的 正投影面面積。3、擠壓強度條件（準(zhǔn)則）：

工作擠壓應(yīng)力不得超過材料的許用擠壓應(yīng)力。有效擠壓面積剪切應(yīng)用剪切PP例1

木榫接頭如圖所示，a=b

=12cm，h=35cm，c=4.5cm,

P=40KN，試求接頭的切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力。解：

：受力分析如圖∶

：切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力剪切面和剪力為∶擠壓面和擠壓力為：PPPPbach剪切mdP解：

鍵的受力分析如圖例2齒輪與軸由平鍵（b×h×L=20×12×100）連接，它傳遞的扭矩m=2KNm，軸的直徑d=70mm，鍵的許用切應(yīng)力為[

]=60M

Pa，許用擠壓應(yīng)力為[

jy]=100MPa，試校核鍵的強度。mbhL剪切綜上，鍵滿足強度要求。

切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強度校核mdPbhL剪切解：

鍵的受力分析如圖例3齒輪與軸由平鍵（b=16mm，h=10mm，）連接，它傳遞的扭矩m=1600Nm，軸的直徑d=50mm，鍵的許用切應(yīng)力為[

]=80MPa，許用擠壓應(yīng)力為[

bs]=240MPa，試設(shè)計鍵的長度。mmdPbhL剪切mdPbhL

切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強度條件

綜上剪切解：

受力分析如圖例4一鉚接頭如圖所示，受力P=110kN，已知鋼板厚度為t=1cm，寬度

b=8.5cm，許用應(yīng)力為[

]=160MPa；鉚釘?shù)闹睆絛=1.6cm，許用切應(yīng)力為[

]=140MPa，許用擠壓應(yīng)力為[

bs]=320MPa，試校核鉚接頭的強度。（假定每個鉚釘受力相等。）bPPttdPPP112233P/4剪切

鋼板的2--2和3--3面為危險面

切應(yīng)力和擠壓應(yīng)力的強度條件綜上，接頭安全。ttdPPP112233P/4剪切1、剪切的實用計算nn（合力）（合力）PPPnnFs剪切面2、擠壓的實用計算剪切習(xí)題課剪切擠壓面積剪切139本章結(jié)束140第四章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)141§4–1引言§4–2外力偶矩和扭矩§4–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)§4–4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度計算§4–5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度計算§4–6非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介第四章扭轉(zhuǎn)*圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題142扭轉(zhuǎn)§4–1引言軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、 石油鉆機中的鉆桿、汽車轉(zhuǎn)向軸、攪拌器軸等。受力特點：在垂直于桿軸線的平面內(nèi)作用有力偶.ABOmm

OBA

變形特點：任意橫截面繞桿軸相對轉(zhuǎn)動。（桿表面縱線~螺 旋線~扭轉(zhuǎn)變形）143扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)角(相對扭轉(zhuǎn)角)（

）：任意兩橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動而 發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變(切應(yīng)變)（

）：直角的改變量。mm

OBA

144扭轉(zhuǎn)工程實例145扭轉(zhuǎn)§4–2外力偶矩和扭矩一、外力偶矩其中：P—功率，千瓦（kW）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）

n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）1kW=1000N·m/s=1.36PS

使桿件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形的力偶矩。數(shù)值上等于桿件所受外力對桿軸的力矩。傳動軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：1463扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋法則為正，反之為負(fù)。扭轉(zhuǎn)二、扭矩及扭矩圖mmmTx1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。2截面法求扭矩147扭轉(zhuǎn)4扭矩圖：表示扭矩沿軸線方向變化規(guī)律的圖線。

目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT

148扭轉(zhuǎn)[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試?yán)L制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩149扭轉(zhuǎn)nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）求扭矩:任意截面的扭矩,數(shù)值上等于截面一側(cè)軸段所有外力偶矩的代數(shù)和.轉(zhuǎn)向與這些外力偶矩的合力偶矩之轉(zhuǎn)向相反.150扭轉(zhuǎn)③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––151扭轉(zhuǎn)§4–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。152扭轉(zhuǎn)2.實驗后：①圓周線的大小、形狀、間距不變；②縱向線變成斜直線， 傾角相同。3.結(jié)論：①各圓周線的間距均未改變→橫截面上無正應(yīng)力. ②圓周線的形狀、大小均未改變，只是繞軸線作了相對 轉(zhuǎn)動→周向無正應(yīng)力 ③縱向線傾斜→橫截面上有切應(yīng)力.

④各縱向線均傾斜了同一微小角度

→切應(yīng)力均勻分布.153扭轉(zhuǎn)

acdb

①橫截面上無正應(yīng)力②周向無正應(yīng)力③橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的切應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。

微小矩形單元體如圖所示：154扭轉(zhuǎn)二、薄壁圓筒切應(yīng)力

與剪應(yīng)變g：

A0：平均半徑所作圓的面積。①切應(yīng)力②剪應(yīng)變mm

OBA

155扭轉(zhuǎn)三、切應(yīng)力互等定理：上式稱為切應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

156扭轉(zhuǎn)四、剪切虎克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。薄壁圓筒體扭轉(zhuǎn)實驗157扭轉(zhuǎn)

T=m

剪切虎克定律：當(dāng)切應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)(在彈性范圍內(nèi))，切應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。在一定范圍內(nèi)158扭轉(zhuǎn)

式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。

剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系（推導(dǎo)詳見后面章節(jié)）：

可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。159扭轉(zhuǎn)§4–4圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度計算圓軸橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；

2.軸向無伸縮；

3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)實驗觀察：160161扭轉(zhuǎn)二、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比。——扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率(單位長度扭轉(zhuǎn)角)。162扭轉(zhuǎn)Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：胡克定律：代入上式得：距圓心等距離處的切應(yīng)力相等163扭轉(zhuǎn)3.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA

令代入物理關(guān)系式得：164扭轉(zhuǎn)—橫截面上距圓心為

處任一點切應(yīng)力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。

Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。165扭轉(zhuǎn)單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：D

d

O166扭轉(zhuǎn)對于空心圓截面：dDO

d

167扭轉(zhuǎn)④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。168扭轉(zhuǎn)⑤確定最大切應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：169扭轉(zhuǎn)三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。170扭轉(zhuǎn)1.點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)

t′t

tasax171扭轉(zhuǎn)(d)

t′t

tasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：172扭轉(zhuǎn)分析：當(dāng)

=0°時，當(dāng)

=45°時，當(dāng)

=–45°時，當(dāng)

=90°時，tt′smaxsmin45°

由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的切應(yīng)力為最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。173扭轉(zhuǎn)四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([

]稱為許用切應(yīng)力。)強度計算三方面：①校核強度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：靜載下:[

]=(0.5~0.6)[s](鋼)[

]=(0.8~1.0)[s](鑄鐵)174扭轉(zhuǎn)[例2]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，

許用切應(yīng)力[

]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核切應(yīng)力強度③此軸滿足強度要求。D3

=135D2=75D1=70ABCmmx175扭轉(zhuǎn)§4–5圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形·剛度計算一、扭轉(zhuǎn)時的變形由公式知：長為

l一段等截面桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角

為單位:弧度(rad)176扭轉(zhuǎn)二、單位扭轉(zhuǎn)角q：或三、剛度條件或GIp反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為截面的抗扭剛度。[q]稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。177扭轉(zhuǎn)剛度計算的三方面：①校核剛度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：有時，還可依據(jù)此條件進行選材。[q]

根據(jù)機器要求、軸的工作條件確定?？刹槭謨?。精密機器軸：[q]=（0.15~0.30）o/m一般傳動軸：[q]=（0.30~１.0）o/m精度不高的軸：[q]=（１.0~２.５）o/m178扭轉(zhuǎn)[例3]長為L=2m

的圓桿受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，G=80GPa

，許用切應(yīng)力[

]=30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若[q]=2o/m

，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：①設(shè)計桿的外徑179扭轉(zhuǎn)40NmxT代入數(shù)值得：D

0.0226m。②由扭轉(zhuǎn)剛度條件校核剛度180扭轉(zhuǎn)40NmxT③右端面轉(zhuǎn)角為：181[例4]

某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n=500r/min，輸入功率N1=500馬力，輸出功率分別N2=200馬力及N3=300馬力，已知：G=80GPa，[

]=70MPa，[f′]=1o/m

，試確定：①AB段直徑d1和BC段直徑d2

？②若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？③主動輪與從動輪如何安排合理？扭轉(zhuǎn)解：①圖示狀態(tài)下,扭矩如圖

，由強度條件得：

500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)182扭轉(zhuǎn)由剛度條件得：500400N1N3N2ACBTx–7.024–4.21(kNm)183扭轉(zhuǎn)

綜上：②全軸選同一直徑時184扭轉(zhuǎn)

③軸上的絕對值最大的扭矩越小越合理，所以，1輪和2輪應(yīng)

該換位。換位后,軸的扭矩如圖所示,此時,軸的最大直徑

為75mm。Tx–4.21(kNm)2.814185扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)的超靜定問題解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；補充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；解由平衡方程和補充方程組成的方程組。①②③④⑤186扭轉(zhuǎn)[例5]長為L=2m

的圓桿受均布力偶m=20Nm/m

的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為

=0.8，外徑

D=0.0226m，G=80GPa，試求固端反力偶。解：①桿的受力圖如圖示，

這是一次超靜定問題。

平衡方程為：187扭轉(zhuǎn)②幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程③綜合物理方程與幾何方程，得補充方程：④由平衡方程和補充方程得：另:此題可由對稱性直接求得結(jié)果。188扭轉(zhuǎn)§4–6非圓截面桿扭轉(zhuǎn)簡介非圓截面等直桿：平面假設(shè)不成立。即各截面發(fā)生翹曲成空間曲面。因此，由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應(yīng)力、變形公式不適用，須由彈性力學(xué)方法求解。189扭轉(zhuǎn)一、自由扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。二、約束扭轉(zhuǎn)：桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲受到限制，相鄰截面的翹曲程度不同。三、矩形桿橫截面上的切應(yīng)力:

h3bht1T

t

max注意！b1.切應(yīng)力分布如圖：（角點、形心、長短邊中點）(縱向纖維長度不變,無s,只有t)（產(chǎn)生s

、t)190扭轉(zhuǎn)2.最大切應(yīng)力及單位扭轉(zhuǎn)角h3bht1T

t

max注意！bIt—相當(dāng)極慣性矩。

和

可查表求得。191扭轉(zhuǎn)[例8]一矩形截面等直鋼桿，其橫截面尺寸為：h=100mm，

b=50mm，長度L=2m，桿的兩端受扭轉(zhuǎn)力偶T=4000N·m

的作用，鋼的G=80GPa

，[

]=100MPa，[

]=1o/m

，試校核此桿的強度和剛度。解：①查表求

、

②校核強度192扭轉(zhuǎn)③校核剛度綜上,此桿滿足強度和剛度要求。193扭轉(zhuǎn)一、切應(yīng)力流的方向與扭矩的方向一致。二、開口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（a），厚度中點處，應(yīng)力為零?！?–9薄壁桿件的自由扭轉(zhuǎn)194扭轉(zhuǎn)三、閉口薄壁截面桿在自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力分布如圖（b），同一厚度處，應(yīng)力均勻分布。195扭轉(zhuǎn)四、閉口薄壁截面桿自由扭轉(zhuǎn)時的切應(yīng)力計算，在（c）圖上取單元體如圖（d）。圖（c）d1d

xd

2t1t2圖（d）196扭轉(zhuǎn)

197扭轉(zhuǎn)[例8]下圖示橢圓形薄壁截面桿，橫截面尺寸為：a=50mm，b=75mm，厚度t=5mm，桿兩端受扭轉(zhuǎn)力偶T=5000N·m，試求此桿的最大切應(yīng)力。解：閉口薄壁桿自由扭轉(zhuǎn)時的最大切應(yīng)力：bat198扭轉(zhuǎn)第四章結(jié)束材料力學(xué)第五章平面圖形的幾何性質(zhì)§5–1靜矩和形心§5–2極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑§5–3平行移軸公式§5–4轉(zhuǎn)軸公式*主慣性軸主慣性矩第五章平面圖形的幾何性質(zhì)§5-1靜矩和形心一、面積（對軸）矩：(與力矩類似)

是面積與它到軸的距離之積（用S表示）。幾何性質(zhì)dAxyyx微面積dA對X軸的靜矩微面積dA對Y軸的靜矩Cor量鋼：L3如S=0?

軸過形心二、組合截面的靜矩與形心：整個圖形對某軸的靜矩，等于圖形各部分對同軸靜矩的代數(shù)和（由靜矩定義可知）則∴幾何性質(zhì)例1

試確定下圖的形心坐標(biāo)。解：1.用正面積法求解，圖形分割 及坐標(biāo)如圖(a)801201010xyC2圖(a)C1C1(0,0)C2(-35,60)幾何性質(zhì)2.用負(fù)面積法求解，圖形分割及坐標(biāo)如圖(b)圖(b)C1（0,0）C2（5,5）C2負(fù)面積C1xy驗證：34.7+20.3+5=60幾何性質(zhì)§5-2極慣性矩、慣性矩、慣性積、慣性半徑二、慣性矩：

是面積與它到軸的距離的平方之積。

dAxyyxr一、極慣性矩：是面積對極點的二次矩。圖形對x軸的慣性矩:圖形對y軸的慣性矩:圖形對O點的極慣性矩:量鋼：L4量鋼：L4幾何性質(zhì)dAxyyxr三、慣性積：面積與其到兩軸距離之積。如果x或y

是對稱軸，則Ixy=0圖形對xy軸的慣性積:量鋼：L4圖形對x軸的慣性半徑:圖形對y軸的慣性半徑:四、慣性半徑幾何性質(zhì)§5-3平行移軸公式一、平行移軸定理：以形心為原點，建立與原坐標(biāo)軸平行的坐標(biāo)軸如圖dAxyyxrabCxCyC幾何性質(zhì)注意:C點必須為形心同理:圖形對某坐標(biāo)軸的慣性矩,等于它對過形心且平行于該軸的坐標(biāo)軸之慣性矩加上圖形面積與兩軸距離平方和的乘積.幾何性質(zhì)例2

求圖示圓對其切線AB的慣性矩。解：求解此題有兩種方法：一是按定義直接積分；二是用平行移軸定理等知識求。B

建立形心坐標(biāo)如圖,求圖形對形心軸的慣性矩。AdxyO圓幾何性質(zhì)二、組合截面的慣性矩：組合截面對某坐標(biāo)軸的慣性矩(積),等于其中各部分對同一坐標(biāo)軸慣性矩(積)之和.幾何性質(zhì)§5-4轉(zhuǎn)軸公式主慣性軸主慣性矩一、慣性矩和慣性積的轉(zhuǎn)軸定理dAxyyxax1y1x1y1幾何性質(zhì)幾何性質(zhì)二、截面的形心主慣性軸和形心主慣性矩1.主慣性軸和主慣性矩：如坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)到

=

0

時；恰好有

則與

0

對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)軸x0,y0

稱為主慣性軸。即平面圖形對其慣性積為零的一對坐標(biāo)軸.平面圖形對主軸之慣性矩為主慣性矩。幾何性質(zhì)2.形心主軸和形心主慣性矩：形心主慣性矩：若平面圖形有兩個對稱軸,此二軸均為形心主軸;若平面圖形有一個對稱軸,則該軸為一形心主軸,另一形心主軸過形心,且與該軸垂直.

主慣性軸過形心時，稱其為形心主軸。平面圖形對形心主軸之慣性矩，稱為形心主慣性矩.幾何性質(zhì)3.求截面形心主慣性矩的方法①建立坐標(biāo)系②計算面積和面積矩③求形心位置④建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，

IxC

，

IxCyC⑤求形心主軸方向

—

0

⑥求形心主慣性矩幾何性質(zhì)例3在矩形內(nèi)挖去一與上邊內(nèi)切的圓，求圖形的形心主軸。(b=1.5d)解：①建立坐標(biāo)系如圖。②求形心位置。③

建立形心坐標(biāo)系；求：IyC

，IxC

，IxCy

db2dxyOxCyCx1幾何性質(zhì)db2dxyOxCyCx1幾何性質(zhì)結(jié)束219第六章彎曲內(nèi)力材料力學(xué)220§6–1引言§6–2剪力和彎矩§6–3剪力圖和彎矩圖§6–4載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系§6–5按疊加原理作彎矩圖§6–6平面剛架和曲桿的彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力習(xí)題課第六章彎曲內(nèi)力221彎曲內(nèi)力§6–1引言一、彎曲的概念1.彎曲:桿受垂直于軸線的外力或外力偶矩的作用時,其軸線變成了曲線，這種變形稱為彎曲。2.梁：以彎曲變形為主的構(gòu)件通常稱為梁。3.受力特點：外力垂直于桿軸線,力偶作用于軸線所在平面內(nèi)。4.變形特點：桿軸線由直變彎。2225.工程實例彎曲內(nèi)力223彎曲內(nèi)力224彎曲內(nèi)力6.平面彎曲：桿發(fā)生彎曲變形后，軸線仍然和外力在同一平面內(nèi)。

對稱彎曲（如下圖）——

平面彎曲的特例?？v向?qū)ΨQ面MP1P2q225彎曲內(nèi)力對稱彎曲——

若梁具有縱向?qū)ΨQ面，當(dāng)所有外力(包括支 反力,力偶)都作用在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)時， 這種彎曲稱為對稱彎曲。

下面幾章中，將以對稱彎曲為主，討論梁的應(yīng)力和變形計算。226彎曲內(nèi)力二、梁的計算簡圖

梁的支承條件與載荷情況一般都比較復(fù)雜，為了便于分析計算，應(yīng)進行必要的簡化，抽象出計算簡圖。1.構(gòu)件本身的簡化通常取梁的軸線來代替梁。2.載荷簡化作用于梁上的載荷（包括支座反力）可簡化為三種類型：集中力、集中力偶和分布載荷。3.支座簡化227彎曲內(nèi)力①固定鉸支座

2個約束，1個自由度。如：橋梁下的固定支座，止推滾珠軸承等。②可動鉸支座

1個約束，2個自由度。如：橋梁下的輥軸支座，滾珠軸承等。228彎曲內(nèi)力③固定端

3個約束，0個自由度。如：游泳池的跳水板支座，木樁下端的支座等。XAYAMA4.梁的三種基本形式①簡支梁M—集中力偶q(x)—分布力②懸臂梁229彎曲內(nèi)力③外伸梁—集中力Pq—均布力5.靜定梁與超靜定梁靜定梁：由靜力學(xué)方程可求出支反力，如上述三種基本形式的靜定梁。超靜定梁：由靜力學(xué)方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。230彎曲內(nèi)力[例1]貯液罐如圖示，罐長L=5m，內(nèi)徑D=1m，壁厚t=10mm，鋼的密度為：7.8g/cm3，液體的密度為：1g/cm3,液面高

0.8m，外伸端長1m，試求貯液罐的計算簡圖。解：q—均布力231彎曲內(nèi)力q—均布力232§6–2剪力和彎矩一、彎曲內(nèi)力：彎曲內(nèi)力[例]已知：如圖，P，a，l。

求：距A端x處截面上內(nèi)力。PaPlYAXARBAABB解：①求外力233ABPYAXARBmmx彎曲內(nèi)力②求內(nèi)力——截面法AYAQMRBPMQ∴彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力Q彎矩M1.彎矩：M

構(gòu)件受彎時，橫截面上位于軸線所在平面內(nèi)的內(nèi)力偶矩.矩心為橫截面形心.CC234彎曲內(nèi)力2.剪力：Q

構(gòu)件受彎時，橫截面上過截面形心且平行于截面的內(nèi)力。3.內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定:①剪力Q:繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正剪力；反之為負(fù)。②彎矩M：使微段梁產(chǎn)生上彎趨勢的為正彎矩；反之為負(fù)彎矩。Q(+)Q(–)Q(–)Q(+)M(+)M(+)M(–)M(–)上彎為正左上右下為正235[例2]：求圖（a）所示梁1--1、2--2截面處的內(nèi)力。xy解：截面法求內(nèi)力。

1--1截面處截取的分離體

如圖（b）示。圖（a）二、數(shù)值計算qqLab1122qLQ1AM1圖（b）x1彎曲內(nèi)力2362--2截面處截取的分離體如圖（c）xy圖（a）qqLab1122qLQ2BM2x2彎曲內(nèi)力圖（c）237梁任一截面上的剪力,在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有橫向外力的代數(shù)和.qqLab1122彎曲內(nèi)力x2梁任一截面上的彎矩,在數(shù)值上等于該截面一側(cè)所有外力(包括力偶)對該截面形心之矩的代數(shù)和.238彎曲內(nèi)力1.內(nèi)力方程：內(nèi)力與橫截面位置坐標(biāo)（x）間的函數(shù)關(guān)系式。2.剪力圖和彎矩圖：)(xQQ=剪力方程)(xMM=彎矩方程)(xQQ=剪力圖的圖線表示)(xMM=彎矩圖的圖線表示§6–3剪力圖和彎矩圖239彎曲內(nèi)力[例3]求下列各圖示梁的內(nèi)力方程并畫出內(nèi)力圖。解：①求支反力②寫出內(nèi)力方程PYOL③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖M(x)xQ(x)Q(x)M(x)xxP–PLMO240彎曲內(nèi)力解：①寫出內(nèi)力方程②根據(jù)方程畫內(nèi)力圖LqM(x)xQ(x)Q(x)xM(x)x–qL241彎曲內(nèi)力解：①求支反力②內(nèi)力方程q0RA③根據(jù)方程畫內(nèi)力圖RBLQ(x)xxM(x)242彎曲內(nèi)力一、剪力、彎矩與分布荷載間的關(guān)系對dx

段進行平衡分析，有：§6–4載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系dxxq(x)q(x)M(x)+dM(x)Q(x)+dQ