2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)模擬試題理

第4頁共10頁2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國I卷）理科數(shù)學(xué)選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。已知集合，則（）

A． B．C． D．，∴，，選A如圖，正方形內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分位于正方形的中心成中心對稱，在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是（）

A． B． C． D．設(shè)正方形邊長為，則圓半徑為,則正方形的面積為，圓的面積為，圖中黑色部分的概率為,則此點(diǎn)取自黑色部分的概率為故選B設(shè)有下面四個(gè)命題（）

：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)滿足，則；

：若復(fù)數(shù)滿足，則；：若復(fù)數(shù)，則．

A．B． C． D．設(shè)，則，得到，所以.故正確；

若，滿足，而，不滿足，故不正確；

若，，則，滿足，而它們實(shí)部不相等，不是共軛復(fù)數(shù)，故不正確；

實(shí)數(shù)沒有虛部，所以它的共軛復(fù)數(shù)是它本身，也屬于實(shí)數(shù)，故正確；記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的公差為（）

A．1 B．2 C．4 D．8

聯(lián)立求得得,選C函數(shù)在單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若，則滿足的的取值范圍是（）

A． B． C． D．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，于是等價(jià)于|

又在單調(diào)遞減故選D展開式中的系數(shù)為

A． B． C． D．對的項(xiàng)系數(shù)為

對的項(xiàng)系數(shù)為，∴的系數(shù)為故選C某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為，俯視圖為等腰直角三角形、該多面體的各個(gè)面中有若干是梯形，這些梯形的面積之和為

A． B．C．D．由三視圖可畫出立體圖,該立體圖平面內(nèi)只有兩個(gè)相同的梯形的面

,故選B右面程序框圖是為了求出滿足的最小偶數(shù)，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入

A．和 B．和

C．和 D．和因?yàn)橐蟠笥?000時(shí)輸出，且框圖中在“否”時(shí)輸出

∴“”中不能輸入

排除A、B

又要求為偶數(shù)，且初始值為0，

“”中依次加2可保證其為偶故選D已知曲線，，則下面結(jié)論正確的是（）A．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線B．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線C．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個(gè)單位長度，得到曲線D．把上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個(gè)單位長度，得到曲線，

首先曲線、統(tǒng)一為一三角函數(shù)名，可將用誘導(dǎo)公式處理．

．橫坐標(biāo)變換需將變成，

即

．

注意的系數(shù)，在右平移需將提到括號外面，這時(shí)平移至，

根據(jù)“左加右減”原則，“”到“”需加上，即再向左平移．已知為拋物線：的交點(diǎn)，過作兩條互相垂直，，直線與交于、兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，的最小值為（）

A． B．C． D．

設(shè)傾斜角為．作垂直準(zhǔn)線，垂直軸易知

同理，

又與垂直，即的傾斜角為

而，即．

，當(dāng)取等號即最小值為，故選A設(shè)，，為正數(shù)，且，則（）

A． B． C． D．取對數(shù)：.則，故選D幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件，為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動，這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列，…，其中第一項(xiàng)是，接下來的兩項(xiàng)是，，在接下來的三項(xiàng)式，，，依次類推，求滿足如下條件的最小整數(shù)：且該數(shù)列的前項(xiàng)和為的整數(shù)冪．那么該款軟件的激活碼是（）

A． B． C． D．設(shè)首項(xiàng)為第1組，接下來兩項(xiàng)為第2組，再接下來三項(xiàng)為第3組，以此類推．

設(shè)第組的項(xiàng)數(shù)為，則組的項(xiàng)數(shù)和為

由題，，令→且，即出現(xiàn)在第13組之后

第組的和為,組總共的和為

若要使前項(xiàng)和為2的整數(shù)冪，則項(xiàng)的和應(yīng)與互為相反數(shù)

即,,→則填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。已知向量，的夾角為，，，則________

∴設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為_______．不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由得，求的最小值，即求直線的縱截距的最大值

當(dāng)直線過圖中點(diǎn)時(shí)，縱截距最大.由解得點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)已知雙曲線，（，）的右頂點(diǎn)為，以為圓心，為半徑作圓，圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則的離心率為_______．如圖，，,∵，∴，∴又∵，∴，解得∴如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的等邊三角形的中心為，、、為元上的點(diǎn)，，，分別是一，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，為折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱錐．當(dāng)?shù)倪呴L變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：）的最大值為_______．由題，連接，交與點(diǎn)，由題，，即的長度與的長度或成正比

設(shè)，則，三棱錐的高

則

令，，

令，即，則則

體積最大值為的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知的面積為．

（1）求；（2）若，，求的周長．本題主要考查三角函數(shù)及其變換，正弦定理，余弦定理等基礎(chǔ)知識的綜合應(yīng)用.

（1）面積.且

由正弦定理得，由得.

（2）由（1）得，

又

，，由余弦定理得①

由正弦定理得，②

由①②得，即周長為（12分）如圖，在四棱錐中，中，且．

（1）證明：平面平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．（1）證明：∵∴，

又∵，∴又∵，、平面

∴平面，又平面∴平面平面

（2）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，∵

∴四邊形為平行四邊形∴

由（1）知，平面

∴平面，又、平面∴，

又∵，∴∴、、兩兩垂直

∴以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

設(shè)，∴、、、，

∴、、

設(shè)為平面的法向量由，得

令，則，，可得平面的一個(gè)法向量

∵，∴又知平面，平面

∴，又∴平面

即是平面的一個(gè)法向量，∴

由圖知二面角為鈍角，所以它的余弦值為

為了抽檢某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，實(shí)驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查．

（I）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性：

（II）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第個(gè)零件的尺寸，．

用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到）．

附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,則．

，．（1）由題可知尺寸落在之內(nèi)的概率為，落在之外的概率為．

由題可知

（2）（i）尺寸落在之外的概率為，由正態(tài)分布知尺寸落在之外為小概率事件，因此上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法合理．

（ii）

，需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程檢查．

因此剔除

剔除數(shù)據(jù)之后：．

已知橢圓：，四點(diǎn)，，，中恰有三點(diǎn)在橢圓上．

（1）求的方程；

（2）設(shè)直線不經(jīng)過點(diǎn)且與相交于、兩點(diǎn)，若直線與直線的斜率的和為，證明：過定點(diǎn)．（1）根據(jù)橢圓對稱性，必過、又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過，所以過三點(diǎn)

將代入橢圓方程得，解得，

∴橢圓的方程為：．

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)

得，此時(shí)過橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足．

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)

聯(lián)立，整理得

，則

又，此時(shí)，存在使得成立．∴直線的方程為,當(dāng)時(shí)，,所以過定點(diǎn)．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．（1）由于

故

當(dāng)時(shí)，，．從而恒成立．

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時(shí)，令，從而，得．單調(diào)減極小值單調(diào)增綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)減，故在上至多一個(gè)零點(diǎn)，不滿足條件．

當(dāng)時(shí)，．令．

令，則．從而在上單調(diào)增，而．故當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)．當(dāng)時(shí)

若，則，故恒成立，從而無零點(diǎn)，不滿足條件．

若，則，故僅有一個(gè)實(shí)根，不滿足條件．

若，則，注意到．．

故在上有一個(gè)實(shí)根，而又．

且．

故在上有一個(gè)實(shí)根．

又在上單調(diào)減，在單調(diào)增，故在上至多兩個(gè)實(shí)根．

又在及上均至少有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故在上恰有兩個(gè)實(shí)根．

綜上，．[選修4-4：坐標(biāo)系與參考方程]

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）若，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若上的點(diǎn)到距離的最大值為，求．（1）時(shí)，直線的方程為．曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，

聯(lián)立方程，解得：或，則與交點(diǎn)坐標(biāo)是和

（2）直線一般式方程是．設(shè)曲線上點(diǎn)．

則