2022年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編07：平面向量解析版

2022年高考數(shù)學(xué)真題分類匯編專題07：平面向量所以也2+產(chǎn)=“，將b2=1a?代入，解得ar=9,b2=8,

一、單選題故橢圓的方程為務(wù)*=1.

1.(2022,新高考回卷)已知Q=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>，貝(lt=

故選：B.

()

A.-6B.-5C.5D.6

【分析】根據(jù)離心率及8]「而2=_1，解得關(guān)于22,b2的等量關(guān)系式，即可得解.

【答案】C

【知識點(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角4.(2022?全國乙卷〉已知向量a,b滿足|a|=l,聞=6，|Q—2bl=3，則Q?b=()

A.-2B.-1C.1D.2

【解析】【解答】解：由已知條件可得a=(3+34),cosvd,C=cos〈b,",即9+第16

【答案】C

?解得t=s,

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律

故答案為：C

[解析]【解答】解：:恒一2郎二—4,?方+陽向2,

【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的夾角的余弦公式的坐標(biāo)形式化簡即可求解.

又丁同=1,\b\=>/3t\a-2b\=3,

2.(2022,全國乙卷)已知向量之=Q,1),%=(—2,4)，則\a-b\=()

，9=1-4dS+4x3=13-4d-6，

A.2B.3C,4D.5

??a?b=1

【答案】D

故選：C

【知識點(diǎn)】向量的模；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【分析】根據(jù)給定模長，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.

22

【解析】【解答】因?yàn)閍-b=(2,4)=(4,-3),所以\a-b\=J4+(-3)=5.5.(2022?北京)在AABC中，AC=3,BC=4,ZC=90°.P為△ABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，且

故選：DPC=1,則瓦？?麗的取值范圍是()

【分析】先求得a-b的坐標(biāo)，然后根據(jù)求模公式求解\a-b\即可.

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

221

3.(2022?全國甲卷)已知橢圓C：3+/=l(a>b>0)的離心率為-小，A分別為的左、右頂

32C【答案】D

點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn).若西.西=一1,則C的方程為()【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用

丫2-..22i,22-,.22

A,l8+fc=1B.-v9+%-=1C,Tv+T=1D,TY+y=1【解析】【解答】以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，

【答案】B

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算：平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示的應(yīng)用；橢圓的簡單性質(zhì)

【解析】【解答】解：因?yàn)殡x心率e.=]解得號=言則孑爭，

記Ai,A2分別為C的左右頂點(diǎn),則Ai(-a,0),A2(a,0),

又B為上頂點(diǎn)，所以B(0,b),

所以84]=(-a,一人)，8A2=(a，-b)，

由題意易知C(0,0),A(3,0),8(0,4),

因?yàn)辄c(diǎn)1?BA2=-1

設(shè)P(cosO,sin。),0G[0/2it\，【答案】B

—?—?【知識點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義：函數(shù)恒成立問題；平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

PA-PB=(3—cosO,—sin0)?(—cos0,4—sin。)=-3cos0—4sin0+cos26+sin2。=1—5sin(0+(/>)￡

【解析】【解答】設(shè)向量石，瓦夾角為0,設(shè)向量a與(A-l)eJ-Ae7的夾角為a,

34

[—4/6],《sintp=弓，cos。=耳)?

[(A-l)ej-入否]2=q_i)2_22(2-l)cos04-a2=2A2-2A+1-2A(A-l)cos0，

故答案為：D

由何一4可+(4-1)可|王,，得

【分析】先根據(jù)已知條件建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(cos8,sin。)，6￡[0,2n],利用坐標(biāo)法即可解決問題.

a2+2a[(A-1定一題+[(A-1)可一Ae；]2>,，

6.(2022.新高考13卷)在48c中，點(diǎn)D在邊AB上，8。=2。4記入=益，&=京貝U區(qū)=()

所以引(4―1)萬-AeJ|cosa+[(A-1尼-AeJ]2>0，

A.3法27B.-2^+3nC.3后+2三D.2■+3裝

所以|(4一1)蒜一義瓦*IN-aCOSQ，

【答案】B

【知識點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義：向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義：向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義所以l(A-l)ej-Ae；|>(-|cosa)max

【解析】【解答】解：由題意得，CB=CA+AB=CA+3AD=CA+3(CD-CA)=-2CA+3CD=-2m4-所以|(A-l)eJ-AeT|>|，

3n*

所以2乃一2/1+1-2/l(A-l)cos0>i對任意實(shí)數(shù)入都成立，

故選：B

即(2-2cos0)A2+(2cos0-2)24-1>0恒成立，

【分析】由向量的加法、減法、以及數(shù)乘運(yùn)算求解即可.

7.(2022?浙江學(xué)考)已知向量五，b滿足|a|=4,\b\=6,|五+向=8,則|萬一山=()當(dāng)2-2cos8=0,BPcos6=1,得。=0,上式恒成立，

當(dāng)2-2cos6>0時(shí)，即cos0<1,A=(2cos0-2)2-3(2-2cos6)<0,

A.2B.2710C.8D.4'710

(cos。-l)(2cos0+1)<0,

【答案】B

所以得—aWcosevl，

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】:|五-獷+|五+b\=(|a|2-2|a||5|+|S|2)+(向2+2同歷|+\b\)=2|a|24-2\b\,因?yàn)?。W[0,河，所以O(shè)V。式竽

又Yl句=4,\b\=6,\d+b\=S綜上所述，0W0W等，

\a-b\+64=2x16+2x36=104?,,|a-b|=40???|a-b|=2>/10。所以向量W，瓦夾角的最大值是爭，

故答案為：B.故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式以及數(shù)量積的運(yùn)算法則，進(jìn)而求出而一百的值?！痉治觥坷靡阎獥l件結(jié)合單位向量的定義和向量共線定理，再結(jié)合數(shù)量積求向量的模的公式，再結(jié)合不等

8.(2022?浙江學(xué)考)已知單位向量瓦，及不共線，且向量a滿足悶=*.若|a-Ae；+(A-l)ej|>1對式恒成立問題求解方法，再利用函數(shù)求最值的方法和向量的夾角的取值范圍，進(jìn)而得出向量可，瓦的夾角的取

值范圍，從而得出向量可，亮夾角的最大值。

任意實(shí)數(shù)人都成立，則向量瓦，ej夾角的最大值是()

二、多選題

A.5B.孥C.即D.蓼

23469.(2022?新高考可卷)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線與C交于A,B兩

點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M（p,0）,若\AF\=\AM\，則（）系

【解析】【解答】解：由題意可知：1=2p,所以拋物線C：x2=y,故C的準(zhǔn)線為y=-1,故A錯(cuò)誤；

A.直線AB的斜率為2eB.\OB\=\OF\

C.\AB\>4\OF\D.LOAM+LOBM<180°由產(chǎn)2x得曲線C在點(diǎn)A（L1）處的切線斜率為2,所以切線方程為y=2x-l,又直線AB為：料三界二呂，

【答案】A,C,D

即y=2x-1,故直線AB與C相切,故B正確：

【知識點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；拋物線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的關(guān)系

過點(diǎn)B（0,/）的直線設(shè)為y=kx-l,交C于P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別設(shè)為P（xi,yi）,Q（x2,y2）,

【解析】【解答】對于A：易得嶗，0），由\AF\=\AM\可得點(diǎn)A在的垂直平分線上，則A點(diǎn)橫

聯(lián)立直線與C方程可得（二]=x2-kx+l=O,

坐標(biāo)為攀=半，代入拋物線可得y2=2p?平=步，則似平，季）,直線的斜率為名=

AB則Xi+X2=k,X|X2=1,且4=k2-4>0,

—

42即卜2>4,貝ijyi+y2=kJ2,y】y2=l,

2V6,A符合題意；

此時(shí)IOPI?IOQI=J（*+*）（蛀+%）=Jbi+yOGz+yJ

對于B：由斜率為2遍可得直線AB的方程為x=^=y+1,聯(lián)立拋物線方程得yZ_+py_pZ=Q,

=+%+%+1）=>4,又|OA|2二2,貝IJ\0P\?\0Q|>|OAI2,故C正確；

設(shè)BQi，%）,則當(dāng)，則,[=-孥，代入拋物線得（_q2）2=2p.%，解得，

\BP\-\BQ\=BP-BQ=（xvyi+l）?（M，為+1）=打工2+%丫2+〉i+丫2+1=%?+1>5,

則8（2,-率），

又|BAF=5,則IBPHBQ|>|84『，故D正確.

則\B\=J（E）2（-^E）2=*\OF\=￡-B不符合題意：

0+故選：BCD

對于C：由拋物線定義知：HB|=^+1+p=^>2p=4|OF|,C符合題意；

【分析】由拋物線的定義與幾何性質(zhì)可判斷A,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線的兩點(diǎn)式方程可判斷B,根據(jù)

對于D：OAOB=（^,^2）.（2,-學(xué)）=￥.與+學(xué).（_季）=_挈<0,則人1OB為鈍角，

直線與拋物線的位置，結(jié)合弦長公式可判斷C,根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可判斷D.

又=孚）.（-冬，_學(xué)）=_?。╛給+字.（_學(xué)）=一等<0,則"MB為鈍角，三、填空題

11.（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形力遇2…仆的邊小力2上，則瓦方+西；+…+瓦霏的取

又Z.AOB+Z.AMB+WAM+WBM=360°,PIOLOAMLOBM<180°,D符合題意.

故答案為：ACD.值范圍是.

【分析】由\AF\=\AM\及拋物線方程求得火斗，季），再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)：表示出直線AB【答案】[12+2或，16]

的方程，聯(lián)立拋物線方程求得B4，-孥），即可求出|08|判斷B選項(xiàng)：由拋物線的定義求出\AB\=【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】以圓心為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，

鬻即可判斷C選項(xiàng)；由耐?麗<0，MA-~MB<0求得Z.AOB,乙4MB為鈍角即可判斷D選項(xiàng).

10.（2022?新高考同卷）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（l,1）在拋物線C：x2=2py（p0）上，過點(diǎn)3（0,-1）的

直線交C于P,Q兩點(diǎn)，則（）

A.C的準(zhǔn)線為y=-1B.直線AB與C相切

C.\OP\-\OQ|>|OA|2D.|BP||BQ|>|BA|2

【答案】B,C,D

【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；直線的兩點(diǎn)式方程；拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線與圓錐曲線的關(guān)

y【答案】II

【知識點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算律；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

【解析】【解答】解：由題意得最工=|可?W-cosv￡b>=lx3x1=l

所以(2；+工=2：4+j=2x1+32=11.

故答案為：II.

【分析】先根據(jù)數(shù)量積的定義求出:工，最后根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得答案.

13.(2022?全國甲卷)已知向量Q=(?n,3),b=(l,m+1).若a上b,則m=.

【答案】或075

則力[[0,1)>A24311，0)r42力5，。,-1?【知識點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系

3

得

解-

4242、4242【解析】【解答】由題意知：%.1=771+3(771+1)=0，機(jī)4

46(--2-*--Q)，人71-1，0)，力8(--2-/

3

-

故答案為:4

設(shè)P(X,y)?

則相+PA2+…+以=IP/11I2+\PA\2+…+\PA\2=8(/+y2)+8'

28【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可.

?：cos22.5。<\OP\<1,...l+c。；”)v/+y2mr14.(2022?浙江學(xué)考)如圖，E,F分別是三棱錐V-ABC兩條棱AB,VC上的動點(diǎn)，且滿足EF=2xAV+

22

,2+^2/212/1yBC(x>0,y>0)則x+y的最小值為.

??――<+y2<1?

【答案】1

A12+2V2<86x2+y2)+8<16.

【知識點(diǎn)】二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；向量的共線定理；共線向量與共面向量

即時(shí)+西二+…+而；的取值范圍是[12+2迎，16].

【解析】【解答】因?yàn)镋F=2xAV+yBC(x>Q,y>0),

故答案為：[12+2遮，16]

所以EF,AD,BC共而，

作MF〃”交力C于點(diǎn)M,連接ME，則ME11BC,

【分析】以圓心為原點(diǎn)，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，求出正八邊形各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),進(jìn)而得_一

因?yàn)镋F=EM+MF，

到眉；+「焉2+…+a；=8(/+/)+8,根據(jù)點(diǎn)P的位置可求出N+y2的范圍，從而得到而;+1

2+所以EM=yBC,MF—2xAV，即=y,笫■=2x，

…+可5；的取值范圍.

因?yàn)镸F//AV,所以器=%=2%,則CM=2xAC,

12.(2022?全國甲卷)設(shè)向量a,b的夾角的余弦值為g,且而|=1,=3，則(2a+b)-

因?yàn)镸EUBC,所以能=器=、，則/M=y",

h=?又CM+AM=AC,所以2%4C+yAC=4C,所以2x+y=1,

則y=1-2x,0<x<,則A(0,2),B(2,0),C(0,0),M(0,1),

由題意可設(shè)P(x,2-x),

故/+y2=/+(1-2x)2=5d_4x+1=5(X-1)2+|(0<X<1)，

則詁=(x,1-x),CP=(xf2-x),

所以當(dāng)x=l時(shí)，x2+y2取得最小值為!。

則詁*=［，1-x)?(x,2-x)=2x2-3x+2=2(x-1)24-(0<x<2)

故答案為：|。

7

-

則當(dāng)8

7

-

故答案為：8

【分析】利用EF=2R1V+y8co>0,y>0)結(jié)合向量共面的判斷方法，所以并，而，BC共面，作

【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求解即可.

MF//AV交AC于點(diǎn)M,連接ME,則ME//BC,再利用三角形法則得出加二前十麻，所以

2