4.3.2 角的比較與運(yùn)算-人教版初中數(shù)學(xué)七年級上冊

第4章幾何圖形初步4.3.2角的比較與運(yùn)算第四單元1.掌握角的大小的比較方法.2.理解角平分線和角的和、差、倍、分的意義及數(shù)量關(guān)系，能夠用幾何語言進(jìn)行相關(guān)表述，并能解答相關(guān)問題.3.會進(jìn)行涉及度、分、秒的角度的計(jì)算.與線段長短的比較類似，我們可以用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小(度量法).也可以把它們的一條邊疊合在一起，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小(疊合法)∠AOB____∠A'O'B'∠AOB____∠A'O'B'∠AOB____∠A'O'B'＜＝＞觀察下邊圖形，圖中共有幾個角？它們之間有什么關(guān)系？圖中共有___個角分別是:____________________.它們的關(guān)系為：∠AOC＝______＋∠BOC，∠AOB＝______－∠BOC，∠AOC－∠AOB＝______.∠AOB3∠AOC、∠AOB、∠BOC∠AOC∠BOC角的大小比較重點(diǎn)例1.如圖，回答下列問題:(1)比較∠FOD與∠FOE的大??；(2)借助三角板比較∠DOE與∠BOF的大小.解:(1)因?yàn)镺D在∠FOE的內(nèi)部，所以∠FOD＜∠FOE.(2)用含有45°角的三角板比較，可得∠DOE＞45°，∠BOF＜45°，所以∠DOE＞∠BOF.1.在∠AOB的內(nèi)部任取一點(diǎn)C，作射線OC，則一定存在()A.∠AOB＞∠AOCB.∠AOC=∠BOCC.∠BOC＞∠AOCD.∠AOC＞∠BOC2.如圖，∠AOF是平角，請你比較∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE四個角的大小.A解:觀察圖形即可判斷四個角的大小，即∠AOB＜∠AOC＜∠AOD＜∠AOE.角的和、差重點(diǎn)例2.觀察圖形并回答下列問題:(1)∠AOC是哪兩個角的和?∠DOB是哪兩個角的和?(2)∠AOB是哪兩個角的差?解:(1)∠AOC是∠AOB與∠BOC的和，∠DOB是∠COD與∠BOC的和.即∠AOC=∠AOB+∠BOC，∠DOB=∠COD+∠BOC.(2)∠AOB是∠AOC與∠BOC的差，或∠AOB是∠AOD與∠DOB的差.即∠AOB=∠AOC-∠BOC=∠AOD-∠DOB.1.按圖填空:(1)∠AOB+∠BOC=________;(2)∠BOD-∠COD=________;(3)∠AOD=∠AOB+∠B0C+_______;

=∠AOB+______;

=∠AOC+______;(4)∠BOC=∠AOD-∠AOB-_______;

=∠AOC-_______;=∠B0D-_______.∠AOC∠BOC∠COD∠BOC∠COD∠COD∠AOB∠COD2.如圖，∠AOB=∠COD，則()

A.∠l＞∠2B.∠1=∠2C.∠1＜∠2D.∠1與∠2的大小無法比較B

如圖，借助三角尺畫出15°，75°的角，用一副三角尺，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試.105°120°75°15°

如圖，借助三角尺畫出15°，75°的角，用一副三角尺，你還能畫出哪些度數(shù)的角？試一試.【結(jié)論】借助一副三角尺可以畫出15°倍數(shù)的角.我們知道，線段的中點(diǎn)把線段分成相等的兩條線段.類似地，下圖中，如果∠AOB＝∠BOC，那么射線OB把∠AOC分成兩個相等的角，這時有

一般地，從一個角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫做這個角的平分線.OB是∠AOC的平分線∠BOC∠AOC三等分線OB，OC是∠AOD的三等分線.

角的平分線重點(diǎn)

1.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OC是∠AOB的平分線，∠COD=32°，則∠BOD的度數(shù)是_______.2.如圖，OC是∠AOB的平分線，OD是∠AOC的平分線，∠COD=25°，則∠AOB等于()A.50°B.75°C.100°D.120°122°C3.如圖，∠AOB=165°，0D平分∠AOC.(1)若∠AOD=50°，則∠B0C=_______.(2)若∠BOD=110°，則OC是∠BOD的平分線嗎?說明理由.65°解：(2)0C是∠BOD的平分線.理由:因?yàn)椤螦OB=165°,∠BOD=110°，所以∠AOD=∠AOB-∠BOD=165°-110°=55°.因?yàn)?D平分∠AOC，所以∠COD=∠AOD=55°.所以∠BOC=∠BOD-∠COD=110°-55°=55°.所以∠BOC=∠COD.所以O(shè)C是∠BOD的平分線.角度的四則運(yùn)算重點(diǎn)例4.計(jì)算:(1)56°18′+72°48′;(2)131°28′-51°32′15″;(3)12°30′20″×2;(4)12°31′21″÷3.解:(1)56°18′+72°48′=128°66′=129°6′;(2)131°28′-51°32′15″=130°87′60″-51°32′15″=79°55′45″;角度的四則運(yùn)算重點(diǎn)例4.計(jì)算:(1)56°18′+72°48′;(2)131°28′-51°32′15″;(3)12°30′20″×2;(4)12°31′21″÷3.(3)12°30′20″×2=24°60′40″=25°40″;(4)12°31′21″÷3=4°+31′21″÷3=4°10′+81″÷3=4°10′27″.1.如圖，O是直線AB上一點(diǎn)，OD是∠BOC的平分線，∠AOC=46°38′，則∠BOD的度數(shù)為________.66°41′2.計(jì)算:(1)48°39′+67°31′-21°17′;(2)23°53′×3-107°43′÷5.解:(1)48°39′+67°31′-21°17′=116°10′-21°17′=94°53′.(2)23°53′×3-107°43′÷5=71°39′-21°32′36″=50°6′24″.利用已知條件直接求角度重點(diǎn)例5.如圖，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE為∠BOD的平線，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度數(shù).利用已知條件直接求角度重點(diǎn)例5.如圖，已知∠AOB=90°，∠COD=90°，OE為∠BOD的平線，∠BOE=15°，求∠AOD和∠BOC的度數(shù).解:因?yàn)镺E為∠BOD的平分線，∠BOE=15°，所以∠BOD=2∠BOE=30°，所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+30°=120°，∠BOC=∠COD-∠BOD=90°-30°=60°.如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOD，∠COF=90°，∠BOF=40°，求∠AOC和∠DOE的度數(shù).

利用整體思想求角度難點(diǎn)例6.如圖，已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度數(shù);(2)探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系.

利用整體思想求角度難點(diǎn)例6.如圖，已知射線OC在∠AOB的內(nèi)部，OM和ON分別平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOC=50°，∠BOC=30°，求∠MON的度數(shù);(2)探究∠MON與∠AOB的數(shù)量關(guān)系.

1.如圖，0B，OC是∠AOD內(nèi)部的兩條射線，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，∠MON=80°.(1)若∠BOC=40°，則∠AOD的度數(shù)為_______；(2)若∠AOD=x°，則∠BOC的度數(shù)為___________.(用含x的式子表示)120°(160°-x)2.如圖，OE，OD分別平分∠AOC和∠BOC.(1)若∠AOB=90°，∠BOC=38°，求∠DOE的度數(shù)；

(2)若∠AOB=α，∠BOC=β(∠AOB，∠BOC均為銳角，且α＞β)，其他條件不變，求∠DOE的度數(shù)；

(3)從(1)(2)的結(jié)果中，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?請寫出來.(3)∠DOE的大小是∠AOB的大小的一半，與∠BOC的大小無關(guān).利用方程思想求角度難點(diǎn)例7.如圖，已知OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍還多10°，求∠AOB的度數(shù).利用方程思想求角度難點(diǎn)例7.如圖，已知OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍還多10°，求∠AOB的度數(shù).解:設(shè)∠COD的度數(shù)為x°.因?yàn)镺D是∠COE的平分線，所以∠COE=2∠COD=(2x)°.因?yàn)椤螧OC比∠COD的2倍還多10°,所以∠BOC=(2x+10)°.因?yàn)镺B是∠AOC的平分線，所以∠AOB=∠BOC,∠AOC=2∠BOC=(4x+20)°.利用方程思想求角度難點(diǎn)例7.如圖，已知OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線，如果∠AOE=140°，∠BOC比∠COD的2倍還多10°，求∠AOB的度數(shù).因?yàn)椤螦OE=140°，∠AOE=∠COE+∠AOC,所以2x+4x+20=140，解得x=20，所以∠AOB=∠BOC=(2x+10)°=50°.所以∠AOB的度數(shù)是50°.1.如圖，已知∠AOC:∠BOC=1:4，0D平分∠AOB，且∠COD=33°，求∠AOB的度數(shù).

2.如圖，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度數(shù).

2.如圖，∠AOC:∠COD:∠DOB=2:3:4，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，且∠MON=90°，求∠AOB的度數(shù).所以∠MON=∠MOC+∠COD+∠NOD=x°+(3x)°+(2x)°=(6x)°.又∠MON=90°，所以6x=90，所以x=15，所以∠AOB=9×15°=135°.利用分類討論思想求角度難點(diǎn)例8.已知OC平分∠AOB.若∠AOB=70°，∠COD=10°，則∠AOD的度數(shù)為______________.25°或45°1.從點(diǎn)O引出三條射線OA，OB，OC，已知∠AOB=30°，在這三條射線中，當(dāng)其中一條射線是另兩條射線所組成角的平分線時，∠AOC的度數(shù)為_______________________.15°或30°或60°2.已知