1.2.2 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則1

1.2.1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的運算法則（一）1.幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝cf′(x)＝

f(x)＝xf′(x)＝

f(x)＝x2f′(x)＝

f(x)＝f′(x)＝

f(x)＝f′(x)＝2x10原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝cf′(x)＝

f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)

＝

f(x)＝sinxf′(x)＝

f(x)＝cosxf′(x)＝

2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式0αxα－1cos

x－sinx2.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)＝axf′(x)＝

(a>0)f(x)＝exf′(x)＝

f(x)＝logaxf′(x)＝

(a>0且a≠1)f(x)＝ln

xf′(x)＝axln

aex導(dǎo)數(shù)的運算法則：設(shè)兩個函數(shù)分別為f(x)和g(x)(1)[f(x)±g(x)]′＝

；(2)[f(x)·g(x)]′＝

；(3)[]′＝

(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式例1

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝sin；(2)y＝5x；(3)y＝

；(4)y＝

；(5)y＝log3x.解

(1)y′＝0；(2)y′＝(5x)′＝5xln5；探究點二基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式解

(1)y′＝8x7；變式訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(3)∵y＝x＝

，∴y′＝

；基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式例2

判斷下列計算是否正確．求y＝cosx在x＝

處的導(dǎo)數(shù)，過程如下：解錯誤．應(yīng)為y′＝－sinx，

變式訓(xùn)練2求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用例3

已知直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，O是坐標(biāo)原點，試求與直線l平行的拋物線的切線方程，并在弧AOB上求一點P，使△ABP的面積最大．解設(shè)P(x0，y0)為切點，過點P與AB平行的直線斜率k＝y(tǒng)′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1，y0

＝1.故可得P(1,1)，∴切線方程為2x－y－1＝0.（導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用由于直線l:2x－y＋4＝0與拋物線y＝x2相交于A、B兩點，所以|AB|為定值，要使△ABP的面積最大，只要P到AB的距離最大，故P(1,1)點即為所求弧AOB上的點，使△ABP的面積最大．（導(dǎo)數(shù)公式的綜合應(yīng)用變式訓(xùn)練3

點P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．解

根據(jù)題意設(shè)平行于直線y＝x的直線與曲線y＝ex相切于點(x0，y0)，該切點即為與y＝x距離最近的點，如圖．1.給出下列結(jié)論：①若y＝，則y′＝－；②若y＝，則y′＝；③若y＝，則y′＝－2x－3；④若f(x)＝3x，則f′(1)＝3.其中正確的個數(shù)是(

)A.1B.2C.3D.4

答案

C2.函數(shù)f(x)＝，則f′(3)等于(

)A3.設(shè)正弦曲線y＝sinx上一點P，以點P為切點的切線為直線l，則直線l的傾斜角的范圍是

(

)解析

∵(sinx)′＝cosx，∵kl＝cosx，∴－1≤kl≤1，∴αl∈[0，]∪[，π)．A解析

∵y′＝(ex)′＝ex，∴k＝e2，∴曲線在點(2，e2)處的切線方程為y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.4.曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為________