機器人的逆運動學(xué)名詞解釋

機器人的逆運動學(xué)名詞解釋機器人的逆向運動學(xué)是，已知末端的位置和姿態(tài)，以及所有連桿的幾何參數(shù)下，求解關(guān)節(jié)的位置。二、兩大類求解逆運動學(xué)的方法逆運動學(xué)求解通常有兩大類方法：解析法、數(shù)值法。1.解析法（AnalyticalSolution）特點：運算速度快（達到us級），通用性差，可以分為代數(shù)法與幾何法進行求解。串聯(lián)機械臂有逆運動學(xué)解析解的充分條件是滿足Pieper準(zhǔn)則。即如果機器人滿足兩個充分條件中的一個，就會得到封閉解，這兩個條件是：三個相鄰關(guān)節(jié)軸相交于一點；三個相鄰關(guān)節(jié)軸相互平行?，F(xiàn)在的大多數(shù)商品化的工業(yè)機器人在設(shè)計構(gòu)型時，都會盡可能滿足滿足Pieper準(zhǔn)則，因為解析法求解能夠很快的使用較少的算力，使用較低成本的控制器就能求解，之后隨著芯片算力的提升，感覺在未來，機器人公司也會在是否采用滿足解析解的構(gòu)型和采用特定構(gòu)型并開發(fā)對應(yīng)的逆解算法之間找一個平衡。以PUMA560機器人為例，它的最后3個關(guān)節(jié)軸相交于一點。我們運用Pieper方法解出它的封閉解。對于UR5機械臂，其第2、第3、第4關(guān)節(jié)軸平行，滿足Pieper準(zhǔn)則其中的一條，即三個相鄰的關(guān)節(jié)軸兩兩平行。2.數(shù)值法（NumericalSolution）特點：通用性高，但是求解速度較慢（ms級）。除了一些特殊的機械臂構(gòu)型外，機械臂逆運動學(xué)問題很難用解析解求解，因此在許多情況下會使用數(shù)值解求解。通常設(shè)定一個優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，是把逆解求解問題轉(zhuǎn)化為一個優(yōu)化問題求數(shù)值解。Newton-Raphson（NR）是數(shù)值解的一種方法。它需要基本的雅可比矩陣。然而，當(dāng)且僅當(dāng)原始方程的函數(shù)具有逆函數(shù)，且原始方程可解時，NR方法才會成功。從運動學(xué)的角度來看，前一個條件意味著機器人需要非冗余，機器人在從初始配置到最終配置的運動過程中不通過奇異點。后一個條件意味著機械臂的期望位置和方向需要在機器人的工作空間內(nèi)，是可解的。由于這些限制，NR方法不能保證全局收斂性，因此它在很大程度上取決于初始值。奇異性問題與基本雅可比矩陣的性質(zhì)密切相關(guān)，這主要在微分逆運動學(xué)（differentialinversekinematics）相關(guān)領(lǐng)域

中進行了討論，Whitney提出了使用Moore–Penrose的廣義逆矩陣來解決這個問題。無論原始雅可比矩陣的秩如何，都通過構(gòu)型的最小偏差使約束方程的殘差最小化。NakamuraandHanafusa指出，Whitney的方法不能解決構(gòu)型在奇異點附近抖動的問題，并提出了引入阻尼因子的奇異魯棒逆矩陣（singularity-robustinversematrix）。Wampler也提出了一種類似的方法，并提到它涉及到Levenberg–Marquardt（LM）方法的框架?？山庑缘膯栴}和奇異點的問題一樣需要考慮。大多數(shù)情況下，很難提前知道方程是否是可解的。一個合理的思想是用殘差極小化代替逆運動學(xué)中的根查找問題?；谶@一想法，有使用了最陡下降（steepestdescent，SD）和變量度量（Variablemetric，VM）的方法。但前者的收斂速度較慢，而后者的可靠性較低，因此經(jīng)常處于局部極小值。合理快速的解決方案是一類在每一步迭代中利用DIK的梯度方法。LM方法在其中具有較高的計算穩(wěn)定性。雖然LM方法的收斂性能取決于阻尼因子的選擇，但這個問題到目前為止還沒有得到充分的討論。TomomichiSugihara提出了一種選擇LM方法的阻尼因子的方法，該方法對奇異性、可解性和快速收斂問題具有魯棒性。通過一種相當(dāng)簡單的利用殘差平方范數(shù)作為阻尼因子的方法來實現(xiàn)魯棒性和收斂性，并通過對阻尼因子略有偏置來解決在奇異點附近，計算不穩(wěn)定的問題。2.1

雅可比矩陣求逆法（JacobianInverse）根據(jù)微分運動方程，可得x˙=J?q˙對雅可比矩陣求逆可得q˙=J?1x˙如果機械臂的初始關(guān)節(jié)狀態(tài)

q(0)

已知，最終的目標(biāo)關(guān)節(jié)位置可以通過速度對時間的積分進行計算。q(t)=∫0tq˙(?)d?+q(0)積分的計算可以通過數(shù)值方法對時間離散來實現(xiàn)，最簡單是基于歐拉積分法，給定一個積分間隔

Δt

，如果

tk

時刻的關(guān)節(jié)位置與速度已知，

tk+1=tk+Δt

時刻的關(guān)節(jié)位置可以通過以下實現(xiàn)。q(tk+1)=q(tk)+q˙(tk)Δt因此我們的逆解求解的關(guān)注點便聚焦于求解

Δθ，即

q˙(tk)Δt

?；谖⒎诌\動學(xué)的思想，機械臂末端點的世界坐標(biāo)系中的運動

Δx

可以近似用關(guān)節(jié)的運動

Δq

疊加得到，Δx

越小，線性關(guān)系越準(zhǔn)確，即假設(shè)機器人從初始位置

qs

一步步地運動到目標(biāo)位置

qe，每一步的步長為

Δθ

。Δθ=J?1Δx一般迭代求解會對求解的步長做處理，即增加一個變量α，這樣可以加快求解速度。最后得到如下的迭代公式Δθ=αJ?1Δx

冗余機械臂的情況：針對冗余機械臂的情況，即雅可比矩陣為非方陣或者不是滿秩矩陣，對雅可比矩陣求的是偽逆，Whitney提出了使用Moore–Penrose即

J?

表示，其中J?=JT(JJT)?1。逆解目標(biāo)是求解使關(guān)節(jié)速度的二次型泛函最小的解二次型：

Rn

上的一個二次型是一個定義在

Rn

上的函數(shù)，表達式為

Q(x)=xTAx

，其中

A

是一個

n×n

對稱矩陣（一定要注意

A

是對稱矩陣，不是一個隨便的矩陣），矩陣

A

稱為關(guān)于二次型的矩陣（二次型矩陣）

最簡單的一個二次型是

Q(x)=xTIx=||x||2

注意矩陣

A

中對角線上的元素涉及到平方項，斜對角線上的元素涉及到交叉乘積項minq˙‖q˙‖2

subjectto

x˙=Jq˙用拉格朗日乘數(shù)法（LagrangeMultiplier）,這個問題可以變成：minq˙12‖q˙‖2+λT(x˙?Jq˙)要求極值，必先求導(dǎo)。拉格朗日乘數(shù)法是分別對

dq˙

和

dλ

求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為0時可求得極值d12‖q˙‖2+λT(x˙?Jq˙)dq˙=q˙T?λTJ=0d12‖q˙‖2+λT(x˙?Jq˙)dλ=x˙?Jq˙=0解上面兩個方程，即可求出q˙=JTλx˙=Jq˙=JJTλ?

solve

λλ=(JJT)?1x˙q˙=JT(JT)?1x˙∴J+=JT(JJT)?1不難驗證

I=J+J

。用這個

J+

求解出的

dq

即為滿足條件的最小關(guān)節(jié)運動速度。最終得到下面的式子計算偽逆。Δθ=αJ?Δx=αJT(θ)(J(θ)JT(θ))?1Δx針對偽逆，我們可以進一步擴展，得到如下條件?q˙0,J(I?J+J)q˙0=0便因此提出了梯度投影法，詳見文章裕如：冗余機械臂求解逆運動學(xué)解——梯度投影法梯度投影法將附加優(yōu)化目標(biāo)的梯度投影到雅可比矩陣的零空間中，利用零空間的性質(zhì)，從而在保證主任務(wù)（跟蹤機械臂