高等數(shù)學B（下）：ch5-1,2向量及其線性運算＆點的坐標與向量的坐標

教學安排第五章向量代數(shù)與空間解析幾何10學時第六章多元函數(shù)微分學

18學時第七章重積分

18學時第八章曲線積分與曲面積分

18學時第九章無窮級數(shù)

16學時(期中考

復習2學時)期末總復習6學時本學期授課內(nèi)容從第五章至第九章(共五章).

11/28/2023Hopeisagoodthing,maybethebestofthings,andnogoodthingeverdies.希望是美好的，也許是人間至美；美好的事物永不消逝。11/28/2023第五章第一部分向量代數(shù)向量代數(shù)與空間解析幾何數(shù)量關(guān)系

—在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法

—坐標法;向量法坐標,方程（組）第二部分空間解析幾何

11/28/2023一、空間直角坐標系

第一節(jié)向量及其線性運算二、向量的概念三、向量的加減法四、向量與數(shù)的乘法五、小結(jié)

第五章

11/28/2023橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標系三個坐標軸的正方向符合右手系.一、空間直角坐標系11/28/2023Ⅶ面面面空間直角坐標系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ11/28/2023空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標軸上的點坐標面上的點P,Q,R

分別是M點在x,y,z

軸上的投影點(M點在xoy

面上的投影點)(過M點作一平面與軸垂直相交的點,稱為軸上投影點)(過M點作一直線與平面垂直相交的點,稱為面上投影點)1、空間點的坐標:11/28/20232、空間兩點間的距離長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱長的平方和(平面?)11/28/2023空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為11/28/2023解設(shè)P點坐標為∴所求點為11/28/2023與同向的單位向量,(方向不確定)向量：既有大小又有方向的量.向量表示：模長為1的向量.||向量的模(norm):向量的大小.單位向量：二、向量(vector)的概念或或純量：只有大小的量.運算規(guī)則同實數(shù)≥0

或記為零向量：模長為0的向量.自由向量：不考慮起點位置,只考慮它的大小與方向的向量.

(研究對象)11/28/2023規(guī)定:零向量與任何向量平行;若向量a

與b大小相等,方向相同,則稱a

與b

相等,若向量a

與b

方向相同或相反,則稱a

與b

平行,

a∥b

;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上，

故兩向量平行又稱

兩向量共線

.若k(≥3)個向量經(jīng)平移可移到同一平面上，則稱此k

個向量共面

.記作－a;記作a＝b

;

11/28/2023向徑：空間直角坐標系中任一點

與原點構(gòu)成的向量

這里,稱為M點(關(guān)于原點)的向徑.11/28/2023[1]加法：（平行四邊形法則）特殊地：若‖分為同向和反向（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）三、向量的加減法11/28/2023向量的加法符合下列運算規(guī)律：（1）交換律：（2）結(jié)合律：（3）[2]減法（也適合于n個向量的相加）思考:

若，則以a,b為鄰邊的四邊形是矩形☆11/28/2023四、向量與數(shù)的乘法同向的單位向量：設(shè)

a是一個非零向量，則向量為與向量同向的單位向量.

a思考

若，則？若，則？11/28/2023數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：（1）結(jié)合律：（2）分配律：例2

化簡解原式11/28/2023例3

試用向量方法證明：對角線互相平分的四邊形必是平行四邊形.證即與平行且大小相等,所以結(jié)論得證.11/28/2023兩個向量的平行關(guān)系(證明詳見書P6)tt11/28/2023以分別表示沿軸正向的單位向量.設(shè)M的坐標為（ax,ay,az)(基本單位向量)由前頁推論可得P,Q,R

分別是M點在x,y,z

軸上的投影點11/28/2023按基本單位向量的標準分解式：在三個坐標軸上的分向量：有序數(shù)組1-1對應(yīng)把稱為的坐標，(向量的坐標表達式)記作綜上所述若M的坐標為（ax,ay,az),則說明:當向量始點在原點時,該向量的坐標就是其終點的坐標.11/28/2023向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式11/28/2023平行向量對應(yīng)坐標成比例:11/28/2023平行向量對應(yīng)坐標成比例:例如，不能同時為零，但允許兩個為零，11/28/2023例1

求向量的坐標表示式，其中M1的坐標是，M2的坐標是。11/28/2023解設(shè)為直線上的點，

(即書P11

例4)由題意知：∵11/28/2023由題意知：11/28/2023非零向量的方向角：非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角.六、向量的模與方向余弦的坐標表示式稱為向量

的方向余弦11/28/2023由圖分析可知向量的方向余弦注：方向余弦通常用來表示向量的方向.P,Q,R

分別是M點在x,y,z

軸上的投影點向量模長的坐標表示式(坐標平方和的平方根)11/28/2023當時，向量方向余弦的坐標表示式方向余弦的特征注：∵故的同向單位向量的坐標就是的方向余弦(方向余弦=坐標除以模)11/28/2023向量模長的坐標表示式一般：向量方向余弦的坐標表示式(即坐標除以模)(坐標平方和的平方根)11/28/2023解11/28/2023解11/28/2023211/28/2023向量的投影向量

在向量上的投影:設(shè)向量，,

≠0,且

過M點作平面垂直于所在的直線并交該直線于點M’(如圖)，則稱有向線段為在向量上的投影向量.（數(shù)量）PrjbaPrjba(注：投影有正有負)(問:投影=投影向量的模嗎？)與

b

同向嗎?11/28/2023解11/28/2023空間直角坐標系空間兩點間距離公式（注意它與平面直角坐標系的區(qū)別）（軸、面、卦限）向量的概念向量的加減法向量與數(shù)的乘法（注意與純量的區(qū)別）（平行四邊形法則）（注意數(shù)乘后的方向）向量的坐標表示內(nèi)容小結(jié)方向角與方向余弦

11/28/2023向量模長的坐標表示式

單位向量的坐標就是的方向余弦

設(shè)向量運算加減:數(shù)乘:

(預習:書P317

附錄：矩陣與行列式簡介)

(及書§5.3內(nèi)容)11/28/2023空間兩點間距離公式

向量模長的坐標表示式的坐標就是的方向余弦

設(shè)加減:數(shù)乘:

復習的同向單位向量(坐標除以模即為方向余弦)11/28/2023叉積:點積:

向量關(guān)系:

叉積幾何意義

11/28/2023xyo①

軸與面:關(guān)于哪個量對稱，哪個量就不變;②

原點:

都變求關(guān)于面、軸、原點