2023年新高一數(shù)學(xué)暑假課程（人教A版2019）第二十二講基本不等式

第二十二講：基本不等式【教學(xué)目標(biāo)】1.了解基本不等式的證明過(guò)程.2.能利用基本不等式證明簡(jiǎn)單的不等式及比較代數(shù)式的大?。净A(chǔ)知識(shí)】基本不等式（1）基本不等式：如果a>0，b>0，，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．（2）變形：，a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．，a，b都是正數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．【題型目錄】考點(diǎn)一：基本不等式的理解考點(diǎn)二：基本不等式性質(zhì)考點(diǎn)三：基本不等式證明不等式（一）考點(diǎn)四：基本不等式證明不等式（二）【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：基本不等式的理解例1．設(shè)，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即，因此，故選：D變式訓(xùn)練1．下列不等式恒成立的是（） A．； B．； C．； D．．【答案】D【詳解】對(duì)于A：取，，則，，此時(shí).故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取，，則，，此時(shí).故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：取，，則，，此時(shí).故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所?故D正確.故選：D變式訓(xùn)練2．設(shè)，則下列不等式中成立的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】，，，.故選：B.變式訓(xùn)練3．若且，則，，，中的最大值的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，實(shí)數(shù)且，可得，，又由，因?yàn)?，可得，所以，所以，所以最大值?故選：C.考點(diǎn)二：基本不等式性質(zhì)例2．若且，則下列不等式中恒成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)；時(shí)，滿(mǎn)足，但，B錯(cuò)；時(shí)，滿(mǎn)足，，C錯(cuò)．，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．D正確．故選：D．變式訓(xùn)練1．已知，且，則下列結(jié)論恒成立的是． A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)都是負(fù)數(shù)時(shí)，不成立，當(dāng)一正一負(fù)時(shí)，不成立，當(dāng)時(shí)，不成立，因此只有是正確的.變式訓(xùn)練2．已知、，若，則下列不等式： =1\*GB3①； ②； ③； ④．其中恒成立的不等式序號(hào)是（） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④【答案】B【詳解】對(duì)于①中，因?yàn)?，所以是正確的；對(duì)于②中，由，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即是等號(hào)成立，所以是正確的；對(duì)于③中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確；對(duì)于④中，當(dāng)時(shí)，，所以不正確，故選B.變式訓(xùn)練3．已知，則下列不等式中不成立的是（）． A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：A：，故A正確；B：，故B正確；C：，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不成立，故選:D.考點(diǎn)三：基本不等式證明不等式（一）例3．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】設(shè)，可得圓的半徑為，又由，在中，可得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故選：D.變式訓(xùn)練1．三國(guó)時(shí)期趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理的證明可用現(xiàn)代數(shù)學(xué)表述為如圖所示，我們教材中利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立【答案】D【詳解】直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，則，在正方形的面積為，四個(gè)直角三角形的面積和為，因此有，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，中間沒(méi)有小正方形，等號(hào)成立．故選：D．變式訓(xùn)練2．?dāng)?shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（）． A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C變式訓(xùn)練3．《幾何原本》卷Ⅱ的幾何代數(shù)法成了后世西方數(shù)學(xué)家處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要依據(jù).通過(guò)這一原理，很多代數(shù)的定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，點(diǎn)C在直徑AB上，且OF⊥AB，設(shè)AC＝a，BC＝b，可以直接通過(guò)比較線(xiàn)段OF與線(xiàn)段CF的長(zhǎng)度完成的無(wú)字證明為（） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【詳解】由圖形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故選：C.考點(diǎn)四：基本不等式證明不等式（二）例4．已知，，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，同理：，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，以上三式相加得：，當(dāng)且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.變式訓(xùn)練1．已知實(shí)數(shù)均大于0，證明：.【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，證畢.變式訓(xùn)練2．（1）已知，，，求證：；（2）已知a，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，求證：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以.（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)閍，b，c為不全相等的正實(shí)數(shù)，所以.變式訓(xùn)練3．已知，，，且．求證：．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】因?yàn)閍，b，c都為正實(shí)數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以．【課堂小結(jié)】1．知識(shí)清單：(1)基本不等式．(2)利用基本不等式比較大?。?3)利用基本不等式證明不等式．2．方法歸納：配湊法．3．常見(jiàn)誤區(qū)：一正、二定、三相等，常因缺少條件導(dǎo)致錯(cuò)誤．【課后作業(yè)】1、．若，則下列不等式成立的是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知，利用基本不等式得出，因?yàn)?，則，，所以，，∴.故選：C.2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是（） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P【答案】B【詳解】依題意，根據(jù)基本不等式可知，，，所以.所以，即.故選：B3、小明騎自行車(chē)從甲地前往乙地，前一半路程以速度騎行，后一半路程以速度騎行，且，其全程的平均速度為，則下列關(guān)系中不正確的是（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】根據(jù)題意，設(shè)甲地到乙地的距離為，則小明從甲地到乙地的時(shí)間為，則其平均速度為，A選項(xiàng)正確；，則，即，由基本不等式可得，，所以，，B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，C選項(xiàng)正確.故選：D.4、若，，且，則下列代數(shù)式中最大的是（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，，且知，所以最大值為A、B中的一個(gè).，由于，所以，所以，所以為四個(gè)代數(shù)式中最大的.故選：B5、若，則下列不等式①；②；③；④中，正確的不等式有（） A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【詳解】因?yàn)?，所?因此，且，且②、③不正確.所以，所以①正確，由得?均為正數(shù)，所以，（由條件，所以等號(hào)不成立），所以④正確.故選：C.6、（多選）下列命題中正確的是（） A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)， C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】AC【詳解】解:選項(xiàng)A.，，等號(hào)成立的條件是，故A正確；時(shí)，，，所以時(shí)，的最小值是2，等號(hào)成立的條件是，沒(méi)有最大值,故B不正確；選項(xiàng)C.，，等號(hào)成立的條件是，等號(hào)取不到，即，根據(jù)“或”命題的性質(zhì)可知C正確；時(shí)，，等號(hào)成立的條件是，即時(shí)，但條件，所以等號(hào)取不到，即最小值不存在，故D不正確.故選：AC.7、．若a，，則“”是“”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即；當(dāng)時(shí)，，但，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8、若為非零實(shí)數(shù)，則以下不等式：①；②；③；④.其中恒成立的個(gè)數(shù)是（） A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【詳解】解：對(duì)于①，由重要不等式可知①正確；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，不等式的左邊為，右邊為，可知③不正確；對(duì)于④，令可知④不正確．故恒成立的個(gè)數(shù)為個(gè).故選：C.9、已知a＞0，b＞0，給出下列三個(gè)不等式：①；②；.其中正確的個(gè)數(shù)是（） A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【詳解】依題意，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，①②正確，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，③正確.正確的個(gè)數(shù)是3,選D.10、三國(guó)時(shí)期的數(shù)學(xué)家趙爽在《勾股方圓圖注》中，對(duì)勾股定理進(jìn)行證明時(shí)繪制了弦圖，其大致圖像如圖所示．以下選項(xiàng)中，可利用該圖作為幾何解釋的是（） A．如果，，那么； B．如果，那么； C．對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立； D．如果，那么．【答案】C【詳解】設(shè)直角三角形的兩條直角邊為，斜邊為，則外圍的正方形的面積為，即，四個(gè)陰影面積之和為，當(dāng)時(shí)，內(nèi)部的小正方形縮為一個(gè)點(diǎn)，所以，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)a和b，有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故選：C.11、若，則下列關(guān)系正確的是（） A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故選：A.12、《幾何原本》卷的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)．通過(guò)這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，也稱(chēng)之為無(wú)字證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)在半圓上，點(diǎn)在直徑上，且，設(shè)，，則該圖形可以完成的無(wú)字證明為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】由圖形可知，，，由勾股定理可得，在中，由可得.故選：D.13、已知，，均為正實(shí)數(shù)，求證：若，則．【答案】證明見(jiàn)解析【詳解】證明：因?yàn)?，，均為正?shí)數(shù)，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即a=1取等號(hào)，同理，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即b=1取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即c=1取等號(hào)，以上三式相加，得所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)．14、已知正數(shù)滿(mǎn)足，證明；【答案】（1）證明見(jiàn)解析；【詳解】（1）由基本不等式可得，同理，，所以即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故成立．15、證明下列式子（1）已知,證明：；（2）已知,證明：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析【詳解】(1)因?yàn)?因?yàn)?故,即.故成立.(2)由基本不等式可得,故.同理有,.相加可得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).即得證.16、已知，，，且.證明：（1）若，，，證明：；（2）設(shè)，，，且，證明：.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）由題