新高考數(shù)學二輪復習 第4部分 高考22題逐題特訓 壓軸題突破練2（含解析）

壓軸題突破練21．(2020·北京朝陽區(qū)模擬)某學校組織了垃圾分類知識競賽活動，設置了四個箱子，分別寫有“廚余垃圾”“有害垃圾”“可回收物”“其他垃圾”，另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱．每位參賽選手從所有卡片中隨機抽取20張，按照自己的判斷，將每張卡片放入對應的箱子中，按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放錯誤得0分，比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其他箱子，得0分，從所有參賽選手中隨機抽取20人，將他們的得分按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分組，繪成頻率分布直方圖如圖．(1)分別求出所抽取的20人得分落在[0,20)和[20,40)內(nèi)的人數(shù)；(2)從所抽取的20人中得分落在[0,40)的選手中隨機選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過20分的人數(shù)，求X的分布列和均值；(3)如果某選手將抽到的20張卡片逐一隨機放入四個箱子，能否認為該選手不會得到100分？請說明理由．解(1)由題意知，所抽取的20人中得分落在[0,20)的有0.0050×20×20＝2(人)，得分落在[20,40)的有0.0075×20×20＝3(人)．所以所抽取的20人中得分落在[0,20)的人數(shù)為2，得分落在[20,40)的人數(shù)為3.(2)X的所有可能取值為0,1,2.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(1,10)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(2,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,5)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,3),C\o\al(3,5))＝eq\f(3,10)，所以X的分布列為X012Peq\f(1,10)eq\f(3,5)eq\f(3,10)所以E(X)＝0×eq\f(1,10)＋1×eq\f(3,5)＋2×eq\f(3,10)＝1.2.(3)答案不唯一．答案示例1：可以認為該選手不會得到100分．理由如下：該選手獲得100分的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))20，概率非常小，故可以認為該選手不會得到100分．答案示例2：不能認為該選手不可能得到100分．理由如下：該選手獲得100分的概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))20，雖然概率非常小，但是也可能發(fā)生，故不能認為該選手不會得到100分．2．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(m－2)x－mlnx.(1)討論f(x)的極值點的個數(shù)；(2)設函數(shù)g(x)＝eq\f(1,2)x2＋mlnx，P，Q為曲線y＝f(x)－g(x)上任意兩個不同的點，設直線PQ的斜率為k，若k≥m恒成立，求m的取值范圍．解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2x＋m－2－eq\f(m,x)＝eq\f(2x2＋m－2x－m,x)＝eq\f(2x＋mx－1,x).令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(m,2)或x＝1.①當－eq\f(m,2)>1，即m<－2時，在(0,1)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，＋∞))上，f′(x)>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(m,2)))上，f′(x)<0，所以當x＝1時，f(x)取得極大值，當x＝－eq\f(m,2)時，f(x)取得極小值，故f(x)有兩個極值點；②當0<－eq\f(m,2)<1，即－2<m<0時，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,2)))和(1，＋∞)上，f′(x)>0，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，1))上，f′(x)<0，同上可知f(x)有兩個極值點；③當－eq\f(m,2)＝1，即m＝－2時，f′(x)＝eq\f(2x＋mx－1,x)＝eq\f(2x－12,x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，無極值點；④當－eq\f(m,2)≤0，即m≥0時，在(0,1)上，f′(x)<0，在(1，＋∞)上，f′(x)>0，當x＝1時，f(x)取得極小值，無極大值，故f(x)只有一個極值點．綜上，當m＝－2時，f(x)的極值點的個數(shù)為0；當m≥0時，f(x)的極值點的個數(shù)為1；當m<－2或－2<m<0時，f(x)的極值點的個數(shù)為2.(2)令h(x)＝f(x)－g(x)，則h(x)＝eq\f(1,2)x2＋(m－2)x－2mlnx，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1，x2∈(0，＋∞)，則k＝eq\f(hx1－h(huán)x2,x1－x2).不妨設x1>x2，則由k＝eq\f(hx1－h(huán)x2,x1－x2)≥m恒成立，可得h(x1)－mx1≥h(x2)－mx2恒成立．令c(x)＝h(x)－mx，則c(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，或c(x)為常函數(shù)，所以c′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，即h′(x)－m≥0恒成立．則x＋m－2－eq\f(2m,x)－m≥0恒成立，即eq\f(x2－2x－2m,x)≥0恒成立．又x∈(0，＋∞)，所以x2－2x－2m