五年(19-23)中考數(shù)學(xué)真題與模擬卷分項(xiàng)匯編專(zhuān)題17幾何壓軸題（含解析）

資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】專(zhuān)題17幾何壓軸題考點(diǎn)1幾何壓軸題一、單選題1．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)A、B、C在同一條線(xiàn)上，點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間，點(diǎn)D，E在直線(xiàn)AC同側(cè)，，，，連接DE，設(shè)，，，給出下面三個(gè)結(jié)論：①；②；③；

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，則，由，可得，進(jìn)而可判斷①的正誤；由，可得，，，，則，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，由，可得，進(jìn)而可判斷②的正誤；由勾股定理得，即，則，進(jìn)而可判斷③的正誤．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，則四邊形是矩形，

∴，∵，∴，①正確，故符合要求；∵，∴，，，，∵，∴，，∴是等腰直角三角形，由勾股定理得，，∵，∴，②正確，故符合要求；由勾股定理得，即，∴，③正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定，不等式的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．2．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，把以點(diǎn)A為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D，E，且點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接，則下列結(jié)論一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可解答．【詳解】根據(jù)題意，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得，，，故B選項(xiàng)和D選項(xiàng)不符合題意，，故C選項(xiàng)不符合題意，，故A選項(xiàng)符合題意，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角形外角運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，直線(xiàn)，菱形和等邊在，之間，點(diǎn)A，F(xiàn)分別在，上，點(diǎn)B，D，E，G在同一直線(xiàn)上：若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，由平角的定義求得，由外角定理求得，，根據(jù)平行性質(zhì)，得，進(jìn)而求得．【詳解】如圖，∵∴∵∴∵∴∵∴

故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查平行線(xiàn)的性質(zhì)，平角的定義，等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角定理，根據(jù)相關(guān)定理確定角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．4．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）蜂巢結(jié)構(gòu)精巧，其巢房橫截面的形狀均為正六邊形．如圖是部分巢房的橫截面圖，圖中7個(gè)全等的正六邊形不重疊且無(wú)縫隙，將其放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)均為正六邊形的頂點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，由正六邊形的性質(zhì)及點(diǎn)P的坐標(biāo)可求得a的值，即可求得點(diǎn)M的坐標(biāo)．【詳解】解：連接，如圖，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為a，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴，即；∴，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為．故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，正六邊形的性質(zhì)，勾股定理，含30度角直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握這些知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（

）

A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線(xiàn)的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線(xiàn)的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，用直尺和圓規(guī)作的角平分線(xiàn)，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)作圖可得，進(jìn)而逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：根據(jù)作圖可得，故A，C正確；∴在的垂直平分線(xiàn)上，∴，故D選項(xiàng)正確，而不一定成立，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線(xiàn)，垂直平分線(xiàn)的判定，熟練掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．7．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A，B同時(shí)出發(fā)，沿射線(xiàn)，射線(xiàn)的方向勻速運(yùn)動(dòng)，且速度的大小相等，連接，，．設(shè)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程為，的面積為，下列圖像中能反映與之間函數(shù)關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先根據(jù)，求出與之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷即可得出結(jié)論．【詳解】解：，，，，故與之間函數(shù)關(guān)系為二次函數(shù)，圖像開(kāi)口向上，時(shí)，函數(shù)有最小值6，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是求出與之間函數(shù)關(guān)系式，再判斷與之間函數(shù)類(lèi)型．8．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）已知在梯形中，連接，且，設(shè)．下列兩個(gè)說(shuō)法：①；②則下列說(shuō)法正確的是（

）A．①正確②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤②正確 C．①②均正確 D．①②均錯(cuò)誤【答案】D【分析】根據(jù)已知及結(jié)論，作出圖形，進(jìn)而可知當(dāng)梯形為等腰梯形，即，時(shí)，①；②，其余情況得不出這樣的結(jié)論，從而得到答案．【詳解】解：過(guò)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于，如圖所示：

若梯形為等腰梯形，即，時(shí)，四邊形是平行四邊形，，，，，，即，又，，在中，，，則，，此時(shí)①正確；過(guò)作于，如圖所示：

在中，，，，則，，，此時(shí)②正確；而題中，梯形是否為等腰梯形，并未確定；梯形是還是，并未確定，無(wú)法保證①②正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查梯形中求線(xiàn)段長(zhǎng)，涉及梯形性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)幾何判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．（2023年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖中，，為中點(diǎn)，若點(diǎn)為直線(xiàn)下方一點(diǎn)，且與相似，則下列結(jié)論：①若，與相交于，則點(diǎn)不一定是的重心；②若，則的最大值為；③若，則的長(zhǎng)為；④若，則當(dāng)時(shí)，取得最大值．其中正確的為（

）

A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】A【分析】①有3種情況，分別畫(huà)出圖形，得出的重心，即可求解；當(dāng)，時(shí)，取得最大值，進(jìn)而根據(jù)已知數(shù)據(jù)，結(jié)合勾股定理，求得的長(zhǎng)，即可求解；③如圖5，若，，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，，，進(jìn)而求得，即可求解；④如圖6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，在中，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求取得最大值時(shí)，．【詳解】①有3種情況，如圖，和都是中線(xiàn)，點(diǎn)是重心；如圖，四邊形是平行四邊形，是中點(diǎn)，點(diǎn)是重心；如圖，點(diǎn)不是中點(diǎn)，所以點(diǎn)不是重心；①正確

②當(dāng)，如圖時(shí)最大，，，，，，，②錯(cuò)誤；

③如圖5，若，，∴，，，，，，，∴，，，∴，，∴，∴③錯(cuò)誤；④如圖6，，∴，即，在中，，∴，∴，當(dāng)時(shí)，最大為5，∴④正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形重心的定義，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．10．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合）．過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．是線(xiàn)段上的點(diǎn)，；是線(xiàn)段上的點(diǎn)，．若已知的面積，則一定能求出（

）

A．的面積 B．的面積C．的面積 D．的面積【答案】D【分析】如圖所示，連接，證明，得出，由已知得出，則，又，則，進(jìn)而得出，可得，結(jié)合題意得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵，，∴，，，．∴，．∴．∵，，∴，∴．∴．又∵，∴．∴．∵∴．∴．∴．∵，∴．∵，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等面積轉(zhuǎn)換．11．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，和是位于直線(xiàn)同側(cè)的兩個(gè)等邊三角形，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)．若，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）

A．的最小值為 B．的最小值為C．周長(zhǎng)的最小值為6 D．四邊形面積的最小值為【答案】A【分析】延長(zhǎng)，則是等邊三角形，觀察選項(xiàng)都是求最小時(shí)，進(jìn)而得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，則三點(diǎn)共線(xiàn)，各項(xiàng)都取得最小值，得出B，C，D選項(xiàng)正確，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

延長(zhǎng)，依題意∴是等邊三角形，∵是的中點(diǎn)，∴，∵，∴∴，∴∴，∴四邊形是平行四邊形，則為的中點(diǎn)如圖所示，

設(shè)的中點(diǎn)分別為，則∴當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，在上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，即，則三點(diǎn)共線(xiàn)，取得最小值，此時(shí)，則，∴到的距離相等，則，此時(shí)此時(shí)和的邊長(zhǎng)都為2，則最小，∴，∴∴，或者如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則，則當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，

此時(shí)故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)題意可得三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，此時(shí)，則，故B選項(xiàng)正確；周長(zhǎng)等于，即當(dāng)最小時(shí)，周長(zhǎng)最小，如圖所示，作平行四邊形，連接，

∵，則如圖，延長(zhǎng),，交于點(diǎn)，則，∴是等邊三角形，∴，在與中，∴∴∴∴∴，則，∴是直角三角形，

在中，∴當(dāng)時(shí)，最短，∵∴周長(zhǎng)的最小值為，故C選項(xiàng)正確；∵∴四邊形面積等于

∴當(dāng)?shù)拿娣e為0時(shí)，取得最小值，此時(shí)，重合，重合∴四邊形面積的最小值為，故D選項(xiàng)正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，得出當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)得出最小值是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）直三棱柱的表面展開(kāi)圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)距離最大的是（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運(yùn)用勾股定理計(jì)算比較大小即可．【詳解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴選B．【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開(kāi)與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開(kāi)圖與折疊的意義是解題的關(guān)鍵．13．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線(xiàn)，直線(xiàn)、與、、分別交于點(diǎn)、、和點(diǎn)、、，若，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出AB：BC=DE：EF，再求出答案即可．【詳解】解：∵l1∥l2∥l3，∴AB：BC=DE：EF，∵AB：BC=2：3，EF=9，∴2：3=DE：EF，∴DE=6．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，能根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得出正確的比例式是解題的關(guān)鍵．14．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，將兩個(gè)完全相同的Rt△ACB和Rt△A'C′B′拼在一起，其中點(diǎn)A′與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C'在邊AB上，連接B′C，若∠ABC＝∠A′B′C′＝30°，AC＝A′C′＝2，則B′C的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．2 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)勾股定理和角的和差可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】解：∵，∴，∴，，則在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握含30度角的直角三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)是線(xiàn)段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)，的兩邊與線(xiàn)段分別交于點(diǎn)、，連接分別交、于點(diǎn)、．若，，則(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，從而求得的長(zhǎng)，過(guò)作于，則四邊形是矩形，可得、的長(zhǎng)，進(jìn)一步由勾股定理可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)可得的值，再由相似三角形的性質(zhì)列方程即可求得結(jié)果．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，過(guò)作于，則四邊形是矩形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴設(shè)，，∵，∴，∴，解得：，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題16．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的半徑，是的弦，于點(diǎn)D，是的切線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為．

【答案】【分析】根據(jù)，得出，，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即，根據(jù)，，得出為等腰直角三角形，即可得出．【詳解】解：∵，∴，．∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵是的切線(xiàn)，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，得出．17．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，等邊三角形內(nèi)接于圓，且頂點(diǎn)A，B均在格點(diǎn)上．

（1）線(xiàn)段的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)D在圓上，與相交于點(diǎn)P．請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫(huà)出點(diǎn)Q，使為等邊三角形，并簡(jiǎn)要說(shuō)明點(diǎn)Q的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】(1)(2)畫(huà)圖見(jiàn)解析；如圖，取與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求【分析】（1）在網(wǎng)格中用勾股定理求解即可；（2）取與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)M，連接；連接與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)G，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求，連接，，過(guò)點(diǎn)E作網(wǎng)格線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)G作網(wǎng)格線(xiàn)，由圖可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得和，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得，進(jìn)而得到和，再通過(guò)證明即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：；故答案為：．（2）解：如圖，取與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求；連接，，過(guò)點(diǎn)E作網(wǎng)格線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)G作網(wǎng)格線(xiàn)，

由圖可得：∵，，，∴，∴，，∵，∴，即，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，即，∴，即，∵，，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，此時(shí)點(diǎn)Q即為所求；故答案為：如圖，取與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)E，F(xiàn)，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)G；連接與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與網(wǎng)格線(xiàn)相交于點(diǎn)I，連接并延長(zhǎng)與圓相交于點(diǎn)K，連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—復(fù)雜作圖，勾股定理、等邊三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．18．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）將三個(gè)相同的六角形螺母并排擺放在桌面上，其俯視圖如圖1，正六邊形邊長(zhǎng)為2且各有一個(gè)頂點(diǎn)在直線(xiàn)l上，兩側(cè)螺母不動(dòng)，把中間螺母抽出并重新擺放后，其俯視圖如圖2，其中，中間正六邊形的一邊與直線(xiàn)l平行，有兩邊分別經(jīng)過(guò)兩側(cè)正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)．則圖2中（1）度．（2）中間正六邊形的中心到直線(xiàn)l的距離為（結(jié)果保留根號(hào)）．

【答案】【分析】（1）作圖后，結(jié)合正多邊形的外角的求法即可求解；（2）表問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖形問(wèn)題，首先作圖，標(biāo)出相應(yīng)的字母，把正六邊形的中心到直線(xiàn)l的距離轉(zhuǎn)化為求，再根據(jù)正六邊形的特征及利用勾股定理及三角函數(shù)，分別求出即可求解．【詳解】解：（1）作圖如下：

根據(jù)中間正六邊形的一邊與直線(xiàn)l平行及多邊形外角和，得，，故答案為：；（2）取中間正六邊形的中心為，作如下圖形，

由題意得：，,，四邊形為矩形，，，，，在中，，由圖1知，由正六邊形的結(jié)構(gòu)特征知：，，，，又，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的特征，勾股定理，含度直角三角形的特征，全等三角形的判定性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是掌握正六邊形的結(jié)構(gòu)特征．19．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．

【答案】/【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理求出，證明，得出，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，證明，得出，求出，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，得出，即，求出結(jié)果即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，如圖所示：

則，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，即，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定，解題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，熟練掌握平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)．20．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是正五邊形的對(duì)角線(xiàn)，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；

②；

③四邊形是菱形；

④其中正確的結(jié)論是．（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①③④【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出各角及各邊之間的關(guān)系，然后由各角之間的關(guān)系及相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定依次證明即可．【詳解】解：①∵正五邊形，∴，，∴，∴，∴平分；正確；②∵，，∴，∴，∵，∴，即，故②錯(cuò)誤；③∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；正確；④∵，，∴，∴，∴，即，正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)及相似三角形、菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．21．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在正方形中，，延長(zhǎng)至，使，連接，平分交于，連接，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】如圖，過(guò)作于，于，由平分，可知，可得四邊形是正方形，，設(shè)，則，證明，則，即，解得，，由勾股定理得，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，于，則四邊形是矩形，，∵平分，∴，∴，∴四邊形是正方形，設(shè)，則，∵，∴，∴，即，解得，∴，由勾股定理得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．22．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，展開(kāi)后，再將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，則的大小為度．

【答案】【分析】根據(jù)題意求得正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，根據(jù)折疊的性質(zhì)求得在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：∵正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為，將正五邊形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則，∵將紙片折疊，使邊落在線(xiàn)段上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，折痕為，∴，，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，正多邊形的內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，，連接，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)；…；按照如此規(guī)律操作下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形依次求出的坐標(biāo)，再根據(jù)其規(guī)律寫(xiě)出的坐標(biāo)即可．【詳解】解：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在軸上，點(diǎn)B在軸上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均為等腰直角三角形，，根據(jù)圖中所有的三角形均為等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)特征，以及點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是依次求出的坐標(biāo)，找出其坐標(biāo)的規(guī)律．24．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）在中，點(diǎn)D在邊上，點(diǎn)E在延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，如果過(guò)點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)D，若與有公共點(diǎn)，那么半徑r的取值范圍是．【答案】【分析】先畫(huà)出圖形，連接，利用勾股定理可得，，從而可得，再根據(jù)與有公共點(diǎn)可得一個(gè)關(guān)于的不等式組，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：由題意畫(huà)出圖形如下：連接，

過(guò)點(diǎn)，且，的半徑為7，過(guò)點(diǎn)，它的半徑為，且，，，，，在邊上，點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上，，即，，與有公共點(diǎn)，，即，不等式①可化為，解方程得：或，畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：

由函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，，即不等式①的解集為，同理可得：不等式②的解集為或，則不等式組的解集為，又，半徑r的取值范圍是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、圓與圓的位置關(guān)系、二次函數(shù)與不等式，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系正確建立不等式組是解題關(guān)鍵．25．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）清初數(shù)學(xué)家梅文鼎在著作《平三角舉要》中，對(duì)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶提出的計(jì)算三角形面積的“三斜求積術(shù)”給出了一個(gè)完整的證明，證明過(guò)程中創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)直角三角形，得出了一個(gè)結(jié)論：如圖，是銳角的高，則．當(dāng)，時(shí)，．

【答案】【分析】根據(jù)公式求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：∵，，∴∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的高的定義，正確的使用公式是解題的關(guān)鍵．26．（2023年江西省中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（）得到，連接，．當(dāng)為直角三角形時(shí)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為．

【答案】或或【分析】連接，根據(jù)已知條件可得，進(jìn)而分類(lèi)討論即可求解．【詳解】解：連接，取的中點(diǎn)，連接，如圖所示，

∵在中，，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴∴，∴∴，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，此時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，

當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖所示，則

當(dāng)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為，如圖所示，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形是矩形，∴即是直角三角形，

綜上所述，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為或或故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，矩形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角，，的度數(shù)之比為，則．【答案】/72度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)以及外角的性質(zhì)可求出，再根據(jù)平角的定義求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到H，四邊形內(nèi)接于，，，，，的度數(shù)之比為，，，，的度數(shù)之比為，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角和是360度．28．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖，，，是上的三個(gè)點(diǎn)，，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)圓周角定理求得，進(jìn)而根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求得的度數(shù)【詳解】，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，掌握?qǐng)A周角定理是解題的關(guān)鍵．29．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，，，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則的最小值為．【答案】．【分析】連接DE，依據(jù)菱形的性質(zhì)即可計(jì)算得到DE的長(zhǎng)，再根據(jù)線(xiàn)段的性質(zhì)，即可得到PD+PE的最小值為DE的長(zhǎng)．【詳解】如圖，連接DE，∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，，，∴，，，∴，∴，即是等邊三角形，又∵E是AB的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∵，∴的最小值為DE的長(zhǎng)，即的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題，關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)以及線(xiàn)段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間，線(xiàn)段最短．30．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，、都是等腰直角三角形，，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上時(shí)，則．【答案】【分析】如圖，連接，易求得，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，，，由全等三角形的性質(zhì)得到，過(guò)作于，解直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接，∵、都是等腰直角三角形，，，，，∴，，∵將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得，∴，，，∴，∴，∴，過(guò)作于，在中，，在中，，∴，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形等知識(shí)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．三、解答題31．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）在中、，于點(diǎn)M，D是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)M，C重合），將線(xiàn)段繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段上時(shí)，求證：D是的中點(diǎn)；(2)如圖2，若在線(xiàn)段上存在點(diǎn)F（不與點(diǎn)B，M重合）滿(mǎn)足，連接，，直接寫(xiě)出的大小，并證明．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，利用三角形外角的性質(zhì)求出，可得，等量代換得到即可；（2）延長(zhǎng)到H使，連接，，可得是的中位線(xiàn)，然后求出，設(shè)，，求出，證明，得到，再根據(jù)等腰三角形三線(xiàn)合一證明即可．【詳解】（1）證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∵，∴，∴，∴，∴，即D是的中點(diǎn)；（2）；證明：如圖2，延長(zhǎng)到H使，連接，，∵，∴是的中位線(xiàn)，∴，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，，∴，∵，∴，是等腰三角形，∴，，設(shè)，，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，即．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，作出合適的輔助線(xiàn)，構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．32．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大小；(2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．33．（2023年天津市中考數(shù)學(xué)真題）在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，菱形的頂點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)．(1)填空：如圖①，點(diǎn)C的坐標(biāo)為_(kāi)_______，點(diǎn)G的坐標(biāo)為_(kāi)_______；(2)將矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與菱形重疊部分的面積為S．

①如圖②，當(dāng)邊與相交于點(diǎn)M、邊與相交于點(diǎn)N，且矩形與菱形重疊部分為五邊形時(shí)，試用含有t的式子表示S，并直接寫(xiě)出t的取值范圍：②當(dāng)時(shí)，求S的取值范圍（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）．【答案】(1)，．(2)①；②【分析】（1）根據(jù)矩形及菱形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；（2）①由題意易得，然后可得，則有，進(jìn)而根據(jù)割補(bǔ)法可進(jìn)行求解面積S；②由①及題意可知當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是增大的，當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是減小的，然后根據(jù)題意畫(huà)出圖形計(jì)算面積的最大值和最小值即可．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，且，∴，∴；連接，交于一點(diǎn)H，如圖所示：

∵四邊形是菱形，且，∴，，∴，∴，故答案為，；（2）解：①∵點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，∴矩形中，軸，軸，．∴矩形中，軸，軸，．由點(diǎn)，點(diǎn)，得．在中，，得．在中，由，得．∴．同理，得．∵，得．又，∴，當(dāng)時(shí)，則矩形和菱形重疊部分為，∴的取值范圍是．②由①及題意可知當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是增大的，當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分的面積是減小的，∴當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分如圖所示：

此時(shí)面積S最大，最大值為；當(dāng)時(shí)，矩形和菱形重疊部分如圖所示：

由（1）可知B、D之間的水平距離為，則有點(diǎn)D到的距離為，由①可知：，∴矩形和菱形重疊部分為等邊三角形，∴該等邊三角形的邊長(zhǎng)為，∴此時(shí)面積S最小，最小值為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)，熟練掌握矩形、菱形的性質(zhì)及三角函數(shù)、圖形與坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．34．（2023年河北省中考數(shù)學(xué)真題）如圖1和圖2，平面上，四邊形中，，點(diǎn)在邊上，且．將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交折線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在該折線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為，連接．

(1)若點(diǎn)在上，求證：；(2)如圖2．連接．①求的度數(shù)，并直接寫(xiě)出當(dāng)時(shí)，的值；②若點(diǎn)到的距離為，求的值；(3)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．（用含的式子表示）．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①，；②或(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的概念得到，，然后證明出，即可得到；（2）①首先根據(jù)勾股定理得到，然后利用勾股定理的逆定理即可求出；首先畫(huà)出圖形，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)求出，，然后證明出，利用相似三角形的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，，分別求得，根據(jù)正切的定義即可求解；②當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，證明，得出，，進(jìn)而求得，證明，即可求解；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）∵將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，∴∵的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)交折線(xiàn)于點(diǎn)，∴又∵∴∴；（2）①∵，，∴∵，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)時(shí)，

∵平分∴∴∴∴∵，∴∴，∴∵，∴∴，即∴解得∴．②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，，

∵，∴，，∴，∴∴；如圖所示，當(dāng)在上時(shí)，則，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，

∵，∴，∴∴即∴，，∴∵∴，∴，∴∴解得：∴，綜上所述，的值為或；（3）解：∵當(dāng)時(shí)，∴在上，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形，∴，，

∵，∴，∴，又，∴，又∵，∴，∴∵，，設(shè)，即∴，∴整理得即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，求正切值，熟練掌握以上知識(shí)且分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．35．（2023年山西省中考數(shù)學(xué)真題）問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的矩形紙片沿對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的三角形紙片，表示為和，其中．將和按圖2所示方式擺放，其中點(diǎn)與點(diǎn)重合（標(biāo)記為點(diǎn)）．當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．

(1)數(shù)學(xué)思考：談你解答老師提出的問(wèn)題；(2)深入探究：老師將圖2中的繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)落在內(nèi)部，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題．

①“善思小組”提出問(wèn)題：如圖3，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)與交于點(diǎn)．試猜想線(xiàn)段和的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．請(qǐng)你解答此問(wèn)題；

②“智慧小組”提出問(wèn)題：如圖4，當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若，求的長(zhǎng)．請(qǐng)你思考此問(wèn)題，直接寫(xiě)出結(jié)果．

【答案】(1)正方形，見(jiàn)解析(2)①，見(jiàn)解析；②【分析】（1）先證明四邊形是矩形，再由可得，從而得四邊形是正方形；（2）①由已知可得，再由等積方法，再結(jié)合已知即可證明結(jié)論；②設(shè)的交點(diǎn)為M，過(guò)M作于G，則易得，點(diǎn)G是的中點(diǎn)；利用三角函數(shù)知識(shí)可求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】（1）解：四邊形為正方形．理由如下：∵，∴．∵，∴．∴．∵，∴四邊形為矩形．∵，∴．∴矩形為正方形．（2）：①．證明：∵，∴．∵，∴．∵，即，∴．∵，∴．由（1）得，∴．②解：如圖：設(shè)的交點(diǎn)為M，過(guò)M作于G，∵，∴，，∴；∵，∴，∴，∵，∴點(diǎn)G是的中點(diǎn)；由勾股定理得，∴；∵，∴，即；∴；∵，，∴，∴，∴，即的長(zhǎng)為．

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，適當(dāng)添加的輔助線(xiàn)、構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．36．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線(xiàn)段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．

(1)如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上，并說(shuō)明理由；(2)如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】(1)點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上(2)①證明見(jiàn)解析，②【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線(xiàn)的判定證明即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關(guān)系得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得出，再由正切函數(shù)及全等三角形的判定和性質(zhì)及勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．理由如下：連接．∵四邊形是菱形，對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，．，，∴點(diǎn)在線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上．

（2）①證明：如圖，∵四邊形是菱形，，，，，，．，．，，，．在中，，．．，；

②如圖，連接．，∴是等邊三角形．∵，∴，在中，，，．，，，．，，．在中，，由勾股定理得，．

【點(diǎn)睛】題目主要考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)及解直角三角形，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．37．（2023年遼寧省大連市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，王老師給同學(xué)們每人發(fā)了一張等腰三角形紙片探究折疊的性質(zhì)．已知，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，將以為對(duì)稱(chēng)軸翻折．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后進(jìn)行如下探究：獨(dú)立思考：小明：“當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，．”小紅：“若點(diǎn)為中點(diǎn)，給出與的長(zhǎng)，就可求出的長(zhǎng)．”實(shí)踐探究：奮進(jìn)小組的同學(xué)們經(jīng)過(guò)探究后提出問(wèn)題1，請(qǐng)你回答：

問(wèn)題1：在等腰中，由翻折得到．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)落在上時(shí)，求證：；（2）如圖2，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．問(wèn)題解決：小明經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)：若將問(wèn)題1中的等腰三角形換成的等腰三角形，可以將問(wèn)題進(jìn)一步拓展．問(wèn)題2：如圖3，在等腰中，．若，則求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；問(wèn)題2：【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得，根據(jù)折疊以及三角形內(nèi)角和定理，可得，根據(jù)鄰補(bǔ)角互補(bǔ)可得，即可得證；（2）連接，交于點(diǎn)，則是的中位線(xiàn)，勾股定理求得，根據(jù)即可求解；問(wèn)題2：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得，則四邊形是矩形，勾股定理求得，根據(jù)三線(xiàn)合一得出，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）∵等腰中，由翻折得到∴，，∵，∴；（2）如圖所示，連接，交于點(diǎn)，

∵折疊，∴，，，，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，在中，，在中，，∴；問(wèn)題2：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，，∵，∴，∴，∴，又，∴四邊形是矩形，則，在中，，,，∴，在中，，∴，在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．38．（2023年北京市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，交于點(diǎn)，平分，．

(1)求證平分，并求的大??；(2)過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．若，，求此圓半徑的長(zhǎng)．【答案】(1)見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進(jìn)而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進(jìn)而可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合已知條件得出，，是等邊三角形，進(jìn)而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓周角的關(guān)系，等弧所對(duì)的圓周角相等，直徑所對(duì)的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．39．（2023年吉林省長(zhǎng)春市中考數(shù)學(xué)真題）如圖①．在矩形．，點(diǎn)在邊上，且．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，作，交邊或邊于點(diǎn)，連續(xù)．當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．（）

(1)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_________；(2)當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，求；(3)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的形狀始終是等腰直角三角形．如圖②．請(qǐng)說(shuō)明理由；(4)作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接、，當(dāng)四邊形和矩形重疊部分圖形為軸對(duì)稱(chēng)四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)見(jiàn)解析(4)或或【分析】（1）證明四邊形是矩形，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．（2）證明，得出；（3）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明得出，即可得出結(jié)論（4）分三種情況討論，①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，連接，

∵四邊形是矩形∴∵，∴四邊形是矩形，當(dāng)點(diǎn)和點(diǎn)重合時(shí)，∴，在中，，故答案為：．（2）如圖所示，

∵，，∴，∴∴，∴，∵，，∴；（3）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，，∴，則四邊形是矩形，∴又∵∴，∴∴∴是等腰直角三角形；（4）①如圖所示，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，

∵，在中，，則，∵，則，，在中，，∴解得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在矩形內(nèi)部，符合題意，∴符合題意，②當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)重合時(shí)符合題意，此時(shí)如圖，

則，，在中，，解得：，③當(dāng)點(diǎn)在上，當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)與點(diǎn)重合，則是正方形，此時(shí)

綜上所述，或或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)與判定，勾股定理，求正切，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，分類(lèi)討論，分別畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．40．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數(shù)學(xué)真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類(lèi)問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類(lèi)比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線(xiàn)上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿(mǎn)足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見(jiàn)解析(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)已知得出，即可證明，得出，，進(jìn)而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可求解；（2）同（1）的方法即可得證；（3）同（1）的方法證明，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，即可得出結(jié)論；（4）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，證明，得出，勾股定理求得，進(jìn)而求得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得出，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，

∵∴，故答案為：，．（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，

連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰直角三角形，

∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練運(yùn)用已知模型是解題的關(guān)鍵．41．（2023年上海市中考數(shù)學(xué)真題）如圖（1）所示，已知在中，，在邊上，點(diǎn)為邊中點(diǎn)，為以為圓心，為半徑的圓分別交，于點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于點(diǎn)．

(1)如果，求證：四邊形為平行四邊形；(2)如圖（2）所示，聯(lián)結(jié)，如果，求邊的長(zhǎng)；(3)聯(lián)結(jié)，如果是以為腰的等腰三角形，且，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角得出，，等量代換得出，則，根據(jù)是的中點(diǎn)，，則是的中位線(xiàn)，則，即可得證；（2）設(shè)，，則，由（1）可得則，等量代換得出，進(jìn)而證明，得出，在中，，則，解方程即可求解；（3）是以為腰的等腰三角形，分為①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，證明，得出，設(shè)，根據(jù)，得出，可得，，連接交于點(diǎn)，證明在與中，，，得出，可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）證明：∵∴∵∴,∴∴，∵是的中點(diǎn)，，∴是的中位線(xiàn)，∴，即，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：∵，點(diǎn)邊中點(diǎn)，設(shè)，，則由（1）可得∴，∴，又∵∴,∴即，∵，在中，，∴，∴解得：或（舍去）∴；（3）解：①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，舍去；②當(dāng)時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交于點(diǎn)P，

∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，設(shè)，∵∴，∴，設(shè)，∵∴，

∴，∴，∴，連接交于點(diǎn)，

∵，∴∴，∴，在與中，，，∴，又，∴，∴，∴，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的定義，圓的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，第三問(wèn)中，證明是解題的關(guān)鍵．42．（2023年江蘇省無(wú)錫市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上移動(dòng)時(shí)，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進(jìn)而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點(diǎn)，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形與折疊問(wèn)題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．43．（2023年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)真題）在平行四邊形中（頂點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?，為銳角，且．

(1)如圖1，求邊上的高的長(zhǎng)．(2)是邊上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)繞點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得點(diǎn)．①如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在射線(xiàn)上時(shí)，求的長(zhǎng)．②當(dāng)是直角三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)①；②或【分析】（1）利用正弦的定義即可求得答案；（2）①先證明，再證明，最后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程即可；②分三種情況討論完成，第一種：為直角頂點(diǎn)；第二種：為直角頂點(diǎn)；第三種，為直角頂點(diǎn)，但此種情況不成立，故最終有兩個(gè)答案．【詳解】（1）在中，，在中，．（2）①如圖1，作于點(diǎn)，由（1）得，，則，作交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則，

∴．∵∴．由旋轉(zhuǎn)知，∴．設(shè)，則．∵，∴，∴，∴，即，∴，∴．②由旋轉(zhuǎn)得，，又因?yàn)?，所以．情況一：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖2．

∵，∴落在線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上．∵，∴，由（1）知，，∴．情況二：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖3．

設(shè)與射線(xiàn)的交點(diǎn)為，作于點(diǎn)．∵，∴，∵，∴，∴．又∵，∴，∴．設(shè)，則，∴∵，∴，∴，∴，∴，化簡(jiǎn)得，解得，∴．情況三：當(dāng)以為直角頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，不符合題意．綜上所述，或．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，正弦的定義，全等的判定及性質(zhì)，相似的判定及性質(zhì)，理解記憶相關(guān)定義，判定，性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．44．（2023年安徽中考數(shù)學(xué)真題）在中，是斜邊的中點(diǎn)，將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至位置，點(diǎn)在直線(xiàn)外，連接．

(1)如圖1，求的大??；(2)已知點(diǎn)和邊上的點(diǎn)滿(mǎn)足．（?。┤鐖D2，連接，求證：；（ⅱ）如圖3，連接，若，求的值．【答案】(1)(2)（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，根據(jù)等邊對(duì)接等角得出，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即得出，進(jìn)而即可求解；（2）（?。┭娱L(zhǎng)交于點(diǎn)，證明四邊形是菱形，進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例得出，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得出是的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，即可得證；（ⅱ）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，得出，，進(jìn)而根據(jù)正切的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵∴，在中，∴（2）證明：（ⅰ）證法一：如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則，

∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，∴．∴．∵，即，∴，即點(diǎn)是斜邊的中點(diǎn)．∴．證法二：∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．

∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．∴．∴．證法三：∵，∴．又∵，∴四邊形是平行四邊形．∴．∵是的中點(diǎn)，，∴．∴．∴四邊形是平行四邊形．∵，∴是菱形．∴．∵，是斜邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在以為圓心，為直徑的上．∴．（ⅱ）如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵，∴，則，∵，∴，∴，∴，∴，∴【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，菱形的性質(zhì)與判定，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半，勾股定理，求正切，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．45．（2021·四川甘孜·統(tǒng)考中考真題）如圖1，正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E是邊BC上一點(diǎn)，連接DE交AC于點(diǎn)F，連接BF．(1)求證：△CBF≌△CDF；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)F作DE的垂線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，交OB于點(diǎn)N．①求證：FB＝FG；②若tan∠BDE，ON＝1，直接寫(xiě)出CG的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)①證明見(jiàn)解析；②．【分析】（1）由正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形全等的判定條件“SAS”即可證明；（2）①由和可推出，再根據(jù)可推出，即可證明，根據(jù)等角對(duì)等邊即得出FB＝FG；②由題意易證，得出，即，，從而可求出，，進(jìn)而可求，．過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，易證為等腰直角三角形，即得出，從而可求．最后由等腰三角形“三線(xiàn)合一”即得，即可求出．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CB=CD，．又∵，∴．（2）①∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴FB＝FG；②∵，，∴，即，∴．∵四邊形ABCD是正方形，∴，OD=OC=OB,∴，，∴，解得：，．∴，．如圖，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)H，∵四邊形ABCD是正方形，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴．∵BF=FG，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及解直角三角形．熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．46．（2020·廣西賀州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，點(diǎn)在上，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，平分．（1）求證：是的切線(xiàn)；（2）若，求的直徑．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）⊙O的直徑為.【分析】（1）連接OC，如圖所示：標(biāo)注∠1，∠2，∠3，∠4，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)、等角代換、平行線(xiàn)的判定即可求得OC⊥ED，繼而即可根據(jù)切線(xiàn)的判定定理即可求證結(jié)論；（2）根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)、等角代換、角的和差倍數(shù)關(guān)系證得∠OCB＝2∠3，繼而可得∠1=∠2=∠3=∠4＝30°，設(shè)，則OD＝2x，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于x的方程，解方程即可求解．【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：標(biāo)注∠1，∠2，∠3，∠4，∵OA＝OC，∴∠1＝∠2，又平分∠BAE，∴∠1＝∠EAC，，，（內(nèi)錯(cuò)角相等），，是的切線(xiàn)．（2）∵BC＝BD，∴∠3＝∠4．∵AB是的直徑，，由（1）知OC⊥CD∴∠OCD＝∠3＋∠OCB＝90°，，∵OC＝OB∴∠OBC＝∠OCB，而，而，，設(shè)，則OD＝2x，由勾股定理得，解得，所以【點(diǎn)睛】本題考查圓的有關(guān)知識(shí)，涉及到切線(xiàn)的判定定理、勾股定理、等邊對(duì)等角、平行線(xiàn)的判定、等角代換，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．47．（2019·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，在以點(diǎn)為中心的正方形中，，連接，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)停止．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的外接圓交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，將沿翻折，得到．(1)求證：是等腰直角三角形；(2)當(dāng)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，求關(guān)于時(shí)間的關(guān)系式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)EH；(3).【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可得，再根據(jù)圓周角定理即可證得結(jié)論；(2)設(shè)，連接，通過(guò)證明可得，再證明可得與t的關(guān)系式，進(jìn)一步可表示的長(zhǎng)，由得比例線(xiàn)段，進(jìn)而求出的值，然后代入的表達(dá)式可求的值；(3)由(2)知與t的關(guān)系式，再過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，易證，于是，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解．【詳解】(1)證明：∵四邊形是正方形，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形；(2)設(shè)，連接，如圖，則，∵，∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，當(dāng)點(diǎn)恰好落在線(xiàn)段上時(shí)，，∴，∴，∵，∴，∴，∵FG=FH，∴，解得：，(舍去)，∴；(3)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由(2)得，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，重點(diǎn)考查了正方形的性質(zhì)、圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的求解和三角形的面積等知識(shí)，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，屬于試卷的壓軸題，第（2）小題具有相當(dāng)?shù)碾y度，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用相似三角形的判定與性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題48．（2023·福建福州·?？级＃┤鐖D，在中，，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)恰好落在邊上，則點(diǎn)A到直線(xiàn)的距離等于（

）A． B． C．3 D．2【答案】C【分析】如圖，過(guò)作于求解結(jié)合旋轉(zhuǎn)：證明可得為等邊三角形，求解再應(yīng)用銳角三角函數(shù)可得答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作于由，結(jié)合旋轉(zhuǎn)：為等邊三角形，∴A到的距離為3．故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等邊三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．49．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，的頂點(diǎn)，，點(diǎn)在軸的正半軸上，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在上時(shí)，的延長(zhǎng)線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,由題意可證明，利用相似三角形線(xiàn)段成比例即可求得OC的長(zhǎng)，即得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接，因?yàn)檩S，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，所以，,故答案為B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，找到是解題的關(guān)鍵．50．（2023·福建福州·校考二模）如圖，是的直徑，上的點(diǎn)C，D在直徑的兩側(cè)，連接，若，，則的長(zhǎng)等于．【答案】【分析】連接，，根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)值可得，再由是的直徑，可得，從而得到，進(jìn)而得到，，再由，可得，然后由弧長(zhǎng)公式計(jì)算，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴的長(zhǎng)等于．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了求弧長(zhǎng)，圓周角定理，特殊角銳角三角函數(shù)值，熟練掌握弧長(zhǎng)公式，圓周角定理，特殊角銳角三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．51．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)校考三模）如圖，已知菱形的邊長(zhǎng)為，是的中點(diǎn)，平分交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)是．【答案】/【分析】方法一：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)，可得，所以，然后證明是的垂直平分線(xiàn)，可得，設(shè)，根據(jù)，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；方法二：作垂直于，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)由已知可得，所以設(shè)，則，，由三角形相似于三角形即可得結(jié)論．【詳解】解：方法一，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為4，，，，，是的中點(diǎn)，，，是的垂直平分線(xiàn)，，平分，，，，，，設(shè)，，，，，，，，，解得，則的長(zhǎng)是．或者：，，四邊形的等腰梯形，，則，解得，則的長(zhǎng)是．方法二：如圖，作垂直于，延長(zhǎng)和交于點(diǎn)，菱形的邊長(zhǎng)為4，，，，是的中點(diǎn)，，，是的垂直平分線(xiàn)，，所以，設(shè)，則，，，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形、相似三角形的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)．52．（2023·河南商丘·一模）如圖，在中，，，．點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，將繞點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，，．當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為．

【答案】或【分析】延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．求出，可得，即點(diǎn)與點(diǎn)重合，或是以為底的等腰三角形，據(jù)此求解．【詳解】解：延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．

在中，，，，，．．是的中點(diǎn)，．，在與中，，（），在中，．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得，．①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖1，．

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．，，，，又，是等邊三角形，，在中，，．．在中，．綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，含角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定等，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．53．（2023·福建福州·?？级＃┰谥?，，，以為直徑作，交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是上的一個(gè)點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)P是的中點(diǎn)，，垂足為E，求證：直線(xiàn)是的切線(xiàn)；(2)如圖2，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）如圖所示，連接，由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到，進(jìn)而證明，再由點(diǎn)P是的中點(diǎn)，得到，則，即可證明直線(xiàn)是的切線(xiàn)；（2）如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接，證明，得到，再解，得到，則，即可得到．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴，∴直線(xiàn)是的切線(xiàn)；（2）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作交延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連接，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線(xiàn)的判定，圓周角定理，垂徑定理的推理，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．54．（2023·內(nèi)蒙古·包鋼第三中學(xué)?？既＃┤鐖D，在正方形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE，交AC于點(diǎn)F．（1）如圖①，當(dāng)時(shí)，求的值；（2）如圖②當(dāng)DE平分∠CDB時(shí)，求證：AF=OA；（3）如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求證：CG=BG．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF與DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；（2）利用角之間的關(guān)系到證得∠ADF=∠AFD，可以證得AD=AF，在Rt△AOD中，利用勾股定理可以證得；（3）連接OE，易證OE是△BCD的中位線(xiàn)，然后根據(jù)△FGC是等腰直角三角形，易證△EGF∽△ECD，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可證得．【詳解】解：（1）∵，∴．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AD=BC，∴△CEF∽△ADF，∴，∴，∴．（2）證明：∵DE平分∠CDB，∴∠ODF=∠CDF，又∵AC、BD是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，∴∠ADO=∠FCD=45°，∠AOD=90°，OA=OD，又∵∠ADF=∠ADO+∠ODF，∠AFD=∠FCD+∠CDF，∴∠ADF=∠AFD，∴AD=AF，在Rt△AOD中，根據(jù)勾股定理得：，∴AF=OA．（3）證明：連接OE，∵點(diǎn)O是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC、BD的交點(diǎn)，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，∴OE是△BCD的中位線(xiàn)，∴OE∥CD，OE=CD，∴△OFE∽△CFD，∴，∴，又∵FG⊥BC，CD⊥BC，∴FG∥CD，∴△EGF∽△ECD，∴．在Rt△FGC中，∵∠GCF=45°，∴CG=GF，又∵CD=BC，∴，∴，∴CG=BG．【點(diǎn)睛】本題是勾股定理、三角形的中位線(xiàn)定理、以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，理解正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．55．（2023·河南商丘·一模）綜合與實(shí)踐綜合實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“三角形紙片的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)【操作發(fā)現(xiàn)】對(duì)折，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，得到折痕，把紙片展平，如圖1．小明根據(jù)以上操作發(fā)現(xiàn)：四邊形滿(mǎn)足，．查閱相關(guān)資料得知，像這樣的有兩組鄰邊分別相等的四邊形叫作“箏形”．請(qǐng)寫(xiě)出圖1中箏形的一條性質(zhì)____．(2)【探究證明】如圖2，連接EC，設(shè)箏形的面積為．若，求S的最大值；(3)【遷移應(yīng)用】在中，，點(diǎn)D，E分別在，上，當(dāng)四邊形是箏形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形的面積．【答案】(1)對(duì)角線(xiàn)垂直平分，(2)18(3)或【分析】（1）根據(jù)，可知對(duì)角線(xiàn)垂直平分；（2）設(shè)，則，推導(dǎo)箏形的面積得：，再利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求最值即可；（3）分兩種情況討論：①當(dāng)時(shí)，根據(jù)中線(xiàn)的性質(zhì)和全等三角形面積相等即可求解．②當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解出x，繼而求出箏形面積．【詳解】（1）解：∵，，∴點(diǎn)A、點(diǎn)D都在的垂直平分線(xiàn)上，即對(duì)角線(xiàn)垂直平分，故答案為：對(duì)角線(xiàn)垂直平分，(填“對(duì)角線(xiàn)互相垂直”也對(duì))（2）由（1）得⊥，

∴箏形面積為：，設(shè)，則∴∴當(dāng)時(shí)，（3）四邊形的面積為或，補(bǔ)充理由如下：根據(jù)題意，分兩種情況討論：①；②．①當(dāng)時(shí)作出這個(gè)箏形如下，

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，∴，∵，，∴，即是中邊邊上的中線(xiàn)，∴∴∴．②當(dāng)時(shí)，作出這個(gè)箏形如下

根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：，∴，在中，，∴，設(shè)，∵，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，解得：，∴綜上所示：四邊形的面積為或【點(diǎn)睛】本題考查新定義的“箏形”的性質(zhì)和面積，涉及垂直平分線(xiàn)的判斷，二次函數(shù)的最值，中線(xiàn)的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)等知識(shí)，掌握垂直平分線(xiàn)的判斷和二次函數(shù)的最值是解題的關(guān)鍵．56．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，延長(zhǎng)至點(diǎn)，滿(mǎn)足，然后連接．(1)實(shí)踐猜想：圖1中的與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，位置關(guān)系為_(kāi)__________；(2)拓展探究：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)成立，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）和等腰直角三角形，證明即可；（2）根據(jù)和都是等腰直角三角形，證明即可；（3）分類(lèi)討論，如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵和等腰直角三角形，∴，延長(zhǎng)至點(diǎn)，∴，且，∴，∴，，，如圖所示，延長(zhǎng)交于，在中，，∵，∴在中，，即，∴，即，故答案為：，．（2）解：成立，理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴．（3）解：旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)，①如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，∵是等腰三角形，，，∴，，在中，，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，同理，，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．57．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考三模）問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角三角形，如圖1所示，把和擺在一起，其中直角頂點(diǎn)重合，延長(zhǎng)至點(diǎn)，滿(mǎn)足，然后連接．(1)實(shí)踐猜想：圖1中的與的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________，位置關(guān)系為_(kāi)__________；(2)拓展探究：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度時(shí)，如圖2所示，（1）中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)解決問(wèn)題：當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)成立，見(jiàn)解析(3)或【分析】（1）和等腰直角三角形，證明即可；（2）根據(jù)和都是等腰直角三角形，證明即可；（3）分類(lèi)討論，如圖所示（見(jiàn)詳解），過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)直角三角形的勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：∵和等腰直角三角形，∴，延長(zhǎng)至點(diǎn)，∴，且，∴，∴，，，如圖所示，延長(zhǎng)交于，在中，，∵，∴在中，，即，∴，即，故答案為：，．（2）解：成立，理由如下，∵和都是等腰直角三角形，∴，，，∴，又∵，∴，∴，∴，，，∴，∴，∴．（3）解：旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)，①如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，∵是等腰三角形，，，∴，，在中，，∴，∴，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，；②如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于，同理，，即旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，；綜上所述，當(dāng)，，旋轉(zhuǎn)得到三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，線(xiàn)段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．58．（2023·廣東廣州·廣州市真光中學(xué)?？级＃┮阎?，如圖①，在矩形ABCD中，AB=，AD=3，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，把點(diǎn)E繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)F，連接AE、AF、EF、DF．(1)當(dāng)點(diǎn)A、F、C三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，求DF的長(zhǎng)；(2)如圖②，點(diǎn)M在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，連接AM，當(dāng)點(diǎn)E在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積的值是否發(fā)生變化？若不變求出該定值，若變化說(shuō)