2022年人教A版高中數(shù)學(xué)必須一課時(shí)提升作業(yè)(二十七)

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課時(shí)提升作業(yè)（二十七）

指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例

25分鐘基礎(chǔ)練（25分鐘

60分)

一、選擇題（每題5分，共25分）

1.某林場(chǎng)方案第一年造林10000畝，以后每年比前一年多造林20%,那

么第四年造林

)

A.14400畝B.172800畝

C.17280畝D.20736畝

【解析】選C.設(shè)第x年造林y畝，那么y=10000（l+20%）i,所以x=4

時(shí)，y=10000X1.2J17280（畝）.

2.（2022?四平高一檢測(cè)）某化工廠2022年的12月份的產(chǎn)量是1月份

產(chǎn)量的n倍，那么該化工廠這一年的月平均增長(zhǎng)率是（）

nn

A.11B,12C.%D.%伍-1

【解析】選D.設(shè)月平均增長(zhǎng)率為x,第一個(gè)月的產(chǎn)量為a,那么有

a（l+x）11=na,所以l+x'U",所以X」ST.

3.（2022?長(zhǎng)沙高一檢測(cè)）在一次教學(xué)實(shí)驗(yàn)中，運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到

如下一組數(shù)據(jù)：

X-2.00-1.0001.002.003.00

y0.240.5112.023.988.02

那么x,y的函數(shù)關(guān)系與以下各類函數(shù)中最接近的是（其中a,b為待定

系數(shù)）

()

b

A.y=a+xB.y=a+bx

x

C.y=a+logbxD.y=a,b

b

【解析】選D.因?yàn)閒(0)=1,所以A.y二a+\C.y=a+logbX不符合題意.

la4-bx0=1,|a=L

先求y二a+bx,由匕+b=2.02,得lb=1?。2,所以y=1+102x>當(dāng)x=.2

時(shí)，1+1.02X(-2)=-1.04,不滿足題意，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

ja，b°=L]a=L

f石+.943ab=2.02,lb=2.02,

下面求y=a?b,由得

所以y=2.02x,滿足題意，選項(xiàng)D正確.

4.某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來(lái)越嚴(yán)重，最近三年測(cè)得沙漠增

加值分別為0.2萬(wàn)公頃、0.4萬(wàn)公頃和0.76萬(wàn)公頃,那么沙漠增加數(shù)

y（萬(wàn)公頃）關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是（）

x2+2x

A.y=0.2xB.y=

2X

C.y=l°D.y=0.2+logi6x

【解題指南】利用所給函數(shù)，分別令x=1,2,3,計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值，即

可求得結(jié)論.

［解析］選C.對(duì)于A,x=1,2時(shí),符合題意，x=3時(shí),y=0.6,與0.76相差

0.16;

對(duì)于B,x=1時(shí),y=0.3;x=2時(shí),y=0.8;x=3時(shí)，y=1.5,相差較大，不符合

題意；

對(duì)于C,x=1,2時(shí),符合題意，x=3時(shí)，y=0.8,與0.76相差0.04,與A比

?I以，更符合題意；

對(duì)于D,x=1時(shí)，y=0.2；x=2時(shí),y=0.45;x=3時(shí)，y<0.6,相差較大，不符合

題意.

5.某種植物生長(zhǎng)發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如表:

X123???

y138???

那么下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（）

A.y=2x-lB.y=x2-l

C.y=2-lD.y=1.5x-2.5x+2

【解析】選D.畫(huà)散點(diǎn)圖或代入數(shù)值，選擇擬合效果最好的函數(shù)，可知

應(yīng)選D

二、填空題（每題5分，共15分）

6.（2022?鎮(zhèn)江高一檢測(cè)）某細(xì)菌在培養(yǎng)過(guò)程中，每15分鐘分裂一次

（由一個(gè)分裂成兩個(gè)），那么這種細(xì)菌由一個(gè)繁殖成4096個(gè)需要經(jīng)過(guò)

小時(shí).

【解析】設(shè)共分裂了x次,那么有2?4096,即2X=212,所以x=12.所用

的時(shí)間為15分鐘X12=180分鐘=3小時(shí).

答案：3

7.“學(xué)習(xí)曲線〃可以用來(lái)描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度，假設(shè)函數(shù)

（i-；）

t=-1441g中，t表示到達(dá)某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時(shí)

間,N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù).那么當(dāng)N=40時(shí),t=.（1g5g

0.699,1g3go.477）

【解析】當(dāng)N=40時(shí)，那么t=-1441g'

5

=7441g9

=-144(lg5-2lg3)%36.72.

答案：36.72

8.(2022?揚(yáng)州高一檢測(cè))現(xiàn)測(cè)得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有

兩個(gè)擬合模型，甲：y=x?+l;乙:y=3xT.假設(shè)又測(cè)得(x,y)的一組對(duì)應(yīng)

值為(3,10.2),那么應(yīng)選用作為擬合模型較好.(填"甲”或

“乙”)

【解析】圖象法，即描出的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)并畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象如下

圖，比擬發(fā)現(xiàn)選甲更好.

答案：甲

三、解答題(每題10分，共20分)

9.某種新式殺菌劑,每噴灑一次就能殺死某物質(zhì)上的細(xì)菌的60%,要使

該物質(zhì)上的細(xì)菌少于原來(lái)的0.1%,那么至少要噴灑多少次？(lg2七

0.3010)

【解析】設(shè)噴灑x次，該物質(zhì)上原有細(xì)菌為a,那么a(l-60%)x<0.1%a

3

lg10-.3

x3

即(1-60%)<0.1%,xlgO.4<lgl0,解得x>坨°4=21g2-5>故

至少要噴灑8次.

10.某工廠今年1月，2月，3月，4月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬(wàn)件，1.2

萬(wàn)件，1.3萬(wàn)件,1.37萬(wàn)件,為了以后估計(jì)每個(gè)月的產(chǎn)量，以1,2兩個(gè)月

的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù).用一個(gè)函數(shù)模型模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x

的關(guān)系，模擬函數(shù)可選用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a,0.5x+c,其中

q,r,a,c為常數(shù),請(qǐng)問(wèn)用上述哪個(gè)函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?說(shuō)明理由.

【解析】用g(x);a?0.5x+c作為模擬函數(shù)較好,理由如下：

f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得

I.0.05+q+r=1,

14x(-0.05)+2q+r=1.2,35,-0.7,f⑶=1.3,f(4)=1.3；

而對(duì)于g(x)=a,0.5x+c,

由g⑴=1,g(2)=1.2,得

0.5a4-c=1,

nq2ac—12

'a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用

g(x)=a,0.5*+c作為模擬函數(shù)較好.

【拓展延伸】函數(shù)建模的根本思想

意

確

明

題

結(jié)

設(shè)

題

與

系

數(shù)

學(xué)

關(guān)

系

數(shù)

量

關(guān)

空

置

位

間

分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象

在分析

聯(lián)想

上

礎(chǔ)

化為

轉(zhuǎn)

題

問(wèn)

抽象

，

個(gè)

一

幾個(gè)

或

型

模

求解

來(lái)

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題

得出數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)論建立數(shù)學(xué)模型

現(xiàn)分鐘提升練(20分鐘40分)

一、選擇題(每題5分，共10分)

1.(2022曲山高一檢測(cè))假設(shè)鐳經(jīng)過(guò)100年后剩留原來(lái)質(zhì)量的95.76%,

設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過(guò)x年后剩留量為y,那么x,y的函數(shù)關(guān)系是

()

X

A.y=(0?9576)頑B.y=°9576)x

僅9576yx

\100),xioo

C.y=D.y=l-(0.0424)

【解析】選A.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%,那么有

95.76%=1?(1-t%)100,

（95.76嚴(yán)*

\100）”,,、而

t%=1-，所以y=（1-t%）x=（0.9576）.

2.一種放射性元素,每年的衰減率是8%,那么a千克的這種物質(zhì)的半

衰期（剩余量為原來(lái)的一半所需的時(shí)間）t等于（）

0.50.92ig0.5ig0.92

0925

A.Ig-B.1g0-C.恒092D,lg0.5

a

【解析】選C.由題意得a（1-8%?=2,

所以。92f=0.5.兩邊取對(duì)數(shù)得IgO.92t=lg0.5,

所以11gO.92=IgO.5.故t=1§0-92.

【誤區(qū)警示】解答此題容易因無(wú)視利用兩邊取對(duì)數(shù)的方法求出t的值

而致誤.另外對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)也易導(dǎo)致出錯(cuò).

二、填空題（每題5分，共10分）

3.（2022?鷹潭高一檢測(cè)）在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速

度v（米/秒）和燃料的質(zhì)量M（千克）、火箭（除燃料外）的質(zhì)量m（千克）

（M）

的函數(shù)關(guān)系式是v=2000?In1+m.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的

倍時(shí),火箭的最大速度可達(dá)12000米/秒.

Q+9

【解析】當(dāng)v=12000時(shí)，2000?In=12000,

所以In=6,所以m=e6-1.

答案：e）

3

【補(bǔ)償訓(xùn)練】用清水洗衣服,假設(shè)每次能洗去污垢的士要使存留的污

垢不超過(guò)1%,那么至少要洗的次數(shù)是.

【解題指南】先將污垢原量視為單位1,再把洗X次后污垢含量表示

出來(lái)，列出不等式，最后解不等式求出.

'47^100所以X》lg2心3.32,

【解析】選B.設(shè)要洗x次，那么

因此至少要洗4次.

答案：4

4.（2022?邵武高一檢測(cè)）如下圖，某池塘中

浮萍蔓延的面積y（m2）與時(shí)間t（月）的關(guān)系

y=a：有以下幾種說(shuō)法：

①這個(gè)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;

②第5個(gè)月時(shí),浮萍面積就會(huì)超過(guò)

30m2;

③浮萍從4m?蔓延到12m2需要經(jīng)過(guò)1.5個(gè)月;

④浮萍每月增加的面積都相等.

其中正確的命題序號(hào)是.

【解析】由圖象知,t=2時(shí)，y=4,

所以a?=4,故a=2,①正確.

當(dāng)t=5時(shí)，y=25=32>30,②正確，

當(dāng)y=4時(shí)，由4=21知ti=2,

當(dāng)y=12時(shí),由12=212知t2=log212=2+log23.

t2-匕=log23Hl.5,故③錯(cuò)誤；

浮萍每月增長(zhǎng)的面積不相等，實(shí)際上增長(zhǎng)速度越來(lái)越快，④錯(cuò)誤.

答案:①②

三、解答題(每題10分,共20分)

5.一片森林原來(lái)面積為a,方案每年砍伐一些樹(shù),且每年砍伐面積的百

分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時(shí)，所用時(shí)間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)

1

境,森林面積至少要保存原面積的”,到今年為止，森林剩余面積為原

退

來(lái)的2.

(1)求每年砍伐面積的百分比.

(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?

【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),那么a(1-x)10=za,

I

即(1-x)10=2

解得x=1-

⑵設(shè)經(jīng)過(guò)m年，森林剩余面積為原來(lái)的2,那么

m1

1

a(1-x)”=*2a,即?:?「-0=2,解得m=5,故到今年為止，已砍伐

了5年.

【延伸探究】此題條件不變的情況下，問(wèn)今后最多還能砍伐多少年？