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課時提升作業(yè)(二十七)
指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)模型的應(yīng)用舉例
25分鐘基礎(chǔ)練(25分鐘
60分)
一、選擇題(每題5分,共25分)
1.某林場方案第一年造林10000畝,以后每年比前一年多造林20%,那
么第四年造林
)
A.14400畝B.172800畝
C.17280畝D.20736畝
【解析】選C.設(shè)第x年造林y畝,那么y=10000(l+20%)i,所以x=4
時,y=10000X1.2J17280(畝).
2.(2022?四平高一檢測)某化工廠2022年的12月份的產(chǎn)量是1月份
產(chǎn)量的n倍,那么該化工廠這一年的月平均增長率是()
nn
A.11B,12C.%D.%伍-1
【解析】選D.設(shè)月平均增長率為x,第一個月的產(chǎn)量為a,那么有
a(l+x)11=na,所以l+x'U",所以X」ST.
3.(2022?長沙高一檢測)在一次教學(xué)實(shí)驗(yàn)中,運(yùn)用圖形計(jì)算器采集到
如下一組數(shù)據(jù):
X-2.00-1.0001.002.003.00
y0.240.5112.023.988.02
那么x,y的函數(shù)關(guān)系與以下各類函數(shù)中最接近的是(其中a,b為待定
系數(shù))
()
b
A.y=a+xB.y=a+bx
x
C.y=a+logbxD.y=a,b
b
【解析】選D.因?yàn)閒(0)=1,所以A.y二a+\C.y=a+logbX不符合題意.
la4-bx0=1,|a=L
先求y二a+bx,由匕+b=2.02,得lb=1?。2,所以y=1+102x>當(dāng)x=.2
時,1+1.02X(-2)=-1.04,不滿足題意,選項(xiàng)B錯誤.
ja,b°=L]a=L
f石+.943ab=2.02,lb=2.02,
下面求y=a?b,由得
所以y=2.02x,滿足題意,選項(xiàng)D正確.
4.某地區(qū)植被被破壞,土地沙漠化越來越嚴(yán)重,最近三年測得沙漠增
加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃,那么沙漠增加數(shù)
y(萬公頃)關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()
x2+2x
A.y=0.2xB.y=
2X
C.y=l°D.y=0.2+logi6x
【解題指南】利用所給函數(shù),分別令x=1,2,3,計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值,即
可求得結(jié)論.
[解析]選C.對于A,x=1,2時,符合題意,x=3時,y=0.6,與0.76相差
0.16;
對于B,x=1時,y=0.3;x=2時,y=0.8;x=3時,y=1.5,相差較大,不符合
題意;
對于C,x=1,2時,符合題意,x=3時,y=0.8,與0.76相差0.04,與A比
?I以,更符合題意;
對于D,x=1時,y=0.2;x=2時,y=0.45;x=3時,y<0.6,相差較大,不符合
題意.
5.某種植物生長發(fā)育的數(shù)量y與時間x的關(guān)系如表:
X123???
y138???
那么下面的函數(shù)關(guān)系式中,能表達(dá)這種關(guān)系的是()
A.y=2x-lB.y=x2-l
C.y=2-lD.y=1.5x-2.5x+2
【解析】選D.畫散點(diǎn)圖或代入數(shù)值,選擇擬合效果最好的函數(shù),可知
應(yīng)選D
二、填空題(每題5分,共15分)
6.(2022?鎮(zhèn)江高一檢測)某細(xì)菌在培養(yǎng)過程中,每15分鐘分裂一次
(由一個分裂成兩個),那么這種細(xì)菌由一個繁殖成4096個需要經(jīng)過
小時.
【解析】設(shè)共分裂了x次,那么有2?4096,即2X=212,所以x=12.所用
的時間為15分鐘X12=180分鐘=3小時.
答案:3
7.“學(xué)習(xí)曲線〃可以用來描述學(xué)習(xí)某一任務(wù)的速度,假設(shè)函數(shù)
(i-;)
t=-1441g中,t表示到達(dá)某一英文打字水平所需的學(xué)習(xí)時
間,N表示每分鐘打出的字?jǐn)?shù).那么當(dāng)N=40時,t=.(1g5g
0.699,1g3go.477)
【解析】當(dāng)N=40時,那么t=-1441g'
5
=7441g9
=-144(lg5-2lg3)%36.72.
答案:36.72
8.(2022?揚(yáng)州高一檢測)現(xiàn)測得(x,y)的兩組值為(1,2),(2,5),現(xiàn)有
兩個擬合模型,甲:y=x?+l;乙:y=3xT.假設(shè)又測得(x,y)的一組對應(yīng)
值為(3,10.2),那么應(yīng)選用作為擬合模型較好.(填"甲”或
“乙”)
【解析】圖象法,即描出的三個點(diǎn)的坐標(biāo)并畫出兩個函數(shù)的圖象如下
圖,比擬發(fā)現(xiàn)選甲更好.
答案:甲
三、解答題(每題10分,共20分)
9.某種新式殺菌劑,每噴灑一次就能殺死某物質(zhì)上的細(xì)菌的60%,要使
該物質(zhì)上的細(xì)菌少于原來的0.1%,那么至少要噴灑多少次?(lg2七
0.3010)
【解析】設(shè)噴灑x次,該物質(zhì)上原有細(xì)菌為a,那么a(l-60%)x<0.1%a
3
lg10-.3
x3
即(1-60%)<0.1%,xlgO.4<lgl0,解得x>坨°4=21g2-5>故
至少要噴灑8次.
10.某工廠今年1月,2月,3月,4月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為1萬件,1.2
萬件,1.3萬件,1.37萬件,為了以后估計(jì)每個月的產(chǎn)量,以1,2兩個月
的產(chǎn)品數(shù)據(jù)為依據(jù).用一個函數(shù)模型模擬產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份數(shù)x
的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用f(x)=-0.05x2+qx+r或g(x)=a,0.5x+c,其中
q,r,a,c為常數(shù),請問用上述哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好?說明理由.
【解析】用g(x);a?0.5x+c作為模擬函數(shù)較好,理由如下:
f(x)=-0.05x2+qx+r由f(1)=1,f(2)=1.2得
I.0.05+q+r=1,
14x(-0.05)+2q+r=1.2,35,-0.7,f⑶=1.3,f(4)=1.3;
而對于g(x)=a,0.5x+c,
由g⑴=1,g(2)=1.2,得
0.5a4-c=1,
nq2ac—12
'a=-0.8,c=1.4,g(3)=1.3,g(4)=1.35,所以用
g(x)=a,0.5*+c作為模擬函數(shù)較好.
【拓展延伸】函數(shù)建模的根本思想
意
確
明
題
結(jié)
設(shè)
題
與
系
數(shù)
學(xué)
關(guān)
系
數(shù)
量
關(guān)
空
置
位
間
分析、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、抽象
在分析
聯(lián)想
上
礎(chǔ)
化為
轉(zhuǎn)
題
問
抽象
,
個
一
幾個
或
型
模
求解
來
解答數(shù)學(xué)問題
得出數(shù)學(xué)問題的結(jié)論建立數(shù)學(xué)模型
現(xiàn)分鐘提升練(20分鐘40分)
一、選擇題(每題5分,共10分)
1.(2022曲山高一檢測)假設(shè)鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,
設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,那么x,y的函數(shù)關(guān)系是
()
X
A.y=(0?9576)頑B.y=°9576)x
僅9576yx
\100),xioo
C.y=D.y=l-(0.0424)
【解析】選A.設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%,那么有
95.76%=1?(1-t%)100,
(95.76嚴(yán)*
\100)”,,、而
t%=1-,所以y=(1-t%)x=(0.9576).
2.一種放射性元素,每年的衰減率是8%,那么a千克的這種物質(zhì)的半
衰期(剩余量為原來的一半所需的時間)t等于()
0.50.92ig0.5ig0.92
0925
A.Ig-B.1g0-C.恒092D,lg0.5
a
【解析】選C.由題意得a(1-8%?=2,
所以。92f=0.5.兩邊取對數(shù)得IgO.92t=lg0.5,
所以11gO.92=IgO.5.故t=1§0-92.
【誤區(qū)警示】解答此題容易因無視利用兩邊取對數(shù)的方法求出t的值
而致誤.另外對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)應(yīng)用不當(dāng)也易導(dǎo)致出錯.
二、填空題(每題5分,共10分)
3.(2022?鷹潭高一檢測)在不考慮空氣阻力的情況下,火箭的最大速
度v(米/秒)和燃料的質(zhì)量M(千克)、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m(千克)
(M)
的函數(shù)關(guān)系式是v=2000?In1+m.當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的
倍時,火箭的最大速度可達(dá)12000米/秒.
Q+9
【解析】當(dāng)v=12000時,2000?In=12000,
所以In=6,所以m=e6-1.
答案:e)
3
【補(bǔ)償訓(xùn)練】用清水洗衣服,假設(shè)每次能洗去污垢的士要使存留的污
垢不超過1%,那么至少要洗的次數(shù)是.
【解題指南】先將污垢原量視為單位1,再把洗X次后污垢含量表示
出來,列出不等式,最后解不等式求出.
'47^100所以X》lg2心3.32,
【解析】選B.設(shè)要洗x次,那么
因此至少要洗4次.
答案:4
4.(2022?邵武高一檢測)如下圖,某池塘中
浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t(月)的關(guān)系
y=a:有以下幾種說法:
①這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為2;
②第5個月時,浮萍面積就會超過
30m2;
③浮萍從4m?蔓延到12m2需要經(jīng)過1.5個月;
④浮萍每月增加的面積都相等.
其中正確的命題序號是.
【解析】由圖象知,t=2時,y=4,
所以a?=4,故a=2,①正確.
當(dāng)t=5時,y=25=32>30,②正確,
當(dāng)y=4時,由4=21知ti=2,
當(dāng)y=12時,由12=212知t2=log212=2+log23.
t2-匕=log23Hl.5,故③錯誤;
浮萍每月增長的面積不相等,實(shí)際上增長速度越來越快,④錯誤.
答案:①②
三、解答題(每題10分,共20分)
5.一片森林原來面積為a,方案每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百
分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)
1
境,森林面積至少要保存原面積的”,到今年為止,森林剩余面積為原
退
來的2.
(1)求每年砍伐面積的百分比.
(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?
【解析】(1)設(shè)每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),那么a(1-x)10=za,
I
即(1-x)10=2
解得x=1-
⑵設(shè)經(jīng)過m年,森林剩余面積為原來的2,那么
m1
1
a(1-x)”=*2a,即?:?「-0=2,解得m=5,故到今年為止,已砍伐
了5年.
【延伸探究】此題條件不變的情況下,問今后最多還能砍伐多少年?
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