【數(shù)學】山西省運城市2024屆高三上學期期中試題（解析版）

山西省運城市2024屆高三上學期期中數(shù)學試題一、單項選擇題1.復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，所以的虛部為.故選：C.2.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，，所以.故選：C.3.已知平面向量，滿足，，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依題意，在方向上的投影向量為：，又因為，，代入上式，所以在方向上的投影向量為：.故選：A.4.已知一個正四棱臺的上下底面邊長為、，側棱長為，則棱臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】如圖所示，由正四棱臺可知，四邊形為等腰梯形，且，，，所以，所以，故選：D.5.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，若，則，所以，又因為，則，所以.故選：B.6.若函數(shù)在處取得極小值，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為，則函數(shù)的定義域為，則，令，解得：或，當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極大值，不符合題意，舍去；當時，即，則恒成立，此時函數(shù)單調(diào)遞增，沒有極值，不符合題意，舍去；當時，即，令，解得：，令，解得：，此時函數(shù)在處取得極小值，符合題意.故選：C.7.古印度數(shù)學家婆什伽羅在《麗拉沃蒂》一書中提出如下問題：某人給一個人布施，初日施2子安貝（古印度貨幣單位），以后逐日倍增，問一月共施幾何？在這個問題中，以一個月天計算，記此人第日布施了子安貝（其中，），數(shù)列的前項和為.若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，是首項、公比都為2的等比數(shù)列，故，，所以，即，，，所以恒成立，而，當且僅當時等號成立，又，當，時；當，時；綜上，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D8.定義在上的函數(shù)滿足，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以，即，所以的周期為，且，可得，再由可得，，，，又，所以，所以為奇函數(shù)，所以，因為，所以，，，所以.故選：D.二、多項選擇題9.已知向量，，則（）A.若，則B.若，則C.若與夾角為銳角，則且D.【答案】ACD【解析】對于A，若，則，解得，故A正確；對于B，若，則，解得或，故B錯誤；對于C，若與夾角為銳角，則，即，且，解得且，故C正確；對于D，因為，故D正確.故選：ACD10.已知，，且，則（）A B.C. D.【答案】BC【解析】對于A，由，得，即，則，故A錯誤；對于B，，當且僅當，即，時，等號成立，故B正確；對于C，由，即，當且僅當，即，時等號成立，所以，故C正確；對于D，，由A知，，所以當時，取得最小值，即，故D錯誤.故選：BC.11.已知數(shù)列滿足，，則下列結論正確的是（）A. B.為等比數(shù)列C. D.【答案】AD【解析】對于A，因為，，則，，則，，則，故A正確；對于B，，所以，，所以，，故不是等比數(shù)列，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，由可得，由，兩式相減可得：，所以，，，……，，上式相加可得：，，又因為，所以，故D正確.故選：AD.12.如圖，棱長為的正方體中，點，分別是棱，的中點，則（）A.直線平面B.C.過，，三點的平面截正方體的截面面積為D.三棱錐的外接球半徑為【答案】ABD【解析】對于A，如下圖，連接,

因為點，分別是棱，的中點，則,又，所以，又平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，如下圖：連接交平面于點，連接，

正方體中易知，平面，平面,則，又正方形中，平面，所以平面，又平面，所以，同理可證：，又平面，所以平面，易得,故四面體為正四面體，為的重心，又棱長1，所以，則則，故B正確；對于C，如圖所示，由A選項可知等腰梯形即為所求截面，

又，則高為,所以，故C錯誤；對于D，由B選項可知，平面，且過外接圓的圓心，則三棱錐的外接球的球心在上，設球心為點，如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，則，設，則，所以，由，得，解得，所以三棱錐的外接球半徑為，故D正確.故選：ABD.三、填空題13.等差數(shù)列的前項和為，若，則______.【答案】【解析】由等差中項的性質得：，所以，所以.故答案為：.14.已知復數(shù)滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】設，∵，∴，表示以為圓心，1為半徑的圓，∴，表示圓上的點到點的距離，∴的最小值為.故答案為：.15.已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，由，而，得，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有最值，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，于是，則，解得，由，且，解得，又，從而或，當時，得，又，即有，當時，得，所以的取值范圍是.故答案為：.16.已知函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的范圍為______.【答案】【解析】由題意，，，當時，只有一個零點，不符合題意，故.∵，且當時有且只有一個零點，∴函數(shù)有三個不同的零點等價于函數(shù)有兩個不同的零點，即與有兩個不同的交點.如上圖，當與相切時，設切點為，則由解得：，則.如上圖，由與有兩個不同的交點知，解得：，∴實數(shù)的范圍為.故答案為：.四、解答題17.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱.（1）求證：函數(shù)為奇函數(shù).（2）將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標伸長為原來的倍，得到的圖象，求的單調(diào)遞增區(qū)間.（1）證明：因為的圖象關于直線對稱，所以，得，，因為，所以當時，，所以，所以，因為，所以為奇函數(shù)成立.（2）解：由（1）可得：，將的圖象向左平移個單位，再將橫坐標伸長為原來的倍，則由可得，，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是18.已知遞增的等差數(shù)列滿足，且是與的等比中項.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，證明數(shù)列的前項和.（1）解：設等差數(shù)列的公差為，由題可知，因為，所以，又是與的等比中項，所以，即，得或（舍去），所以.（2）證明：由（1）知：所以數(shù)列的前項和①①得：②兩式相減得：，化簡得：.因為，所以，所以.19.在中，，，分別為角，，所對的邊，為的面積，且．（1）求角的大?。唬?）若，，為的中點，且，求的值．解：（1）由已知得，∴.即.∴.又∵，，（2）由得：，又∵為的中點，∴，，∴，即又∵，∴.又∵，∴，，∴.20.如圖①，在等腰梯形中，,分別為的中點，，為的中點．現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體．在圖②中：（1）證明：；（2）求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：由題意知在等腰梯形中，，又分別為的中點，所以，即折疊后，，所以平面，又平面，所以．（2）解：∵平面平面，平面平面，且，所以平面，平面,，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，易知，所以，則設平面的法向量，則，取，則，得；設平面的法向量則，取，則，可得，，由圖易知平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為．21.已知函數(shù)在點處的切線為：，函數(shù)在點處的切線為：.（1）若，均過原點，求這兩條切線斜率之間的等量關系.（2）當時，若，此時的最大值記為m，證明：.（1）解：由題可得，，：，：，因為均過原點，所以，因為均過原點，所以，所以.（2）證明：由題，，記，，記，在單調(diào)遞減，且，，使得，即，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.，∵，又∵，故得證.22.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域是，，令當時，∵，∴∴，∴在單調(diào)遞增當時，，若，即時，，∴，∴在單調(diào)遞減若，即時，令，解得，，易