2022-2023學(xué)年湖北省荊門(mén)市全國(guó)高考招生統(tǒng)一考試高考數(shù)學(xué)試題模擬試題一

2022-2023學(xué)年湖北省荊門(mén)市全國(guó)高考招生統(tǒng)一考試高考數(shù)學(xué)試題模擬試題(1)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.把函數(shù)，(x)=Sil?》的圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù),式無(wú))的圖象.給出下列四個(gè)命題

①g(x)的值域?yàn)?0,1］

7T

②g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)軸是尤=一

12

③g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是

④g(x)存在兩條互相垂直的切線

其中正確的命題個(gè)數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

2.已知集合例={中=3","eN*},N=何x=2/2,〃eN*},將集合MuN的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一

個(gè)新數(shù)列￡},則C1+C2+C3+…+。35=()

A.1194B.1695C.311D.1095

3.已知函數(shù)“X)的定義域?yàn)?0,+。)，且2/⑶.2〃")=4￥，當(dāng)°<%<1時(shí)’〃x)<°?若"4)=2,則函數(shù)“X)

在［1,16］上的最大值為()

A.4B.6C.3D.8

x+y-140

4.若x,)，滿足約束條件<x—y+3W0,則f+y2的最大值是()

x+2>0

9a/T"

A.-B.C.13D.J13

22

5.已知集合4={%|卜一1區(qū)3,%€2},8=卜€(wěn)2|2，€4},則集合8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{1,2}D.{0,1,2}

6.已知集合加=卜*-3x—10<0},N*y=j9-f卜且/、N都是全集R（R為實(shí)數(shù)集）的子集，則

如圖所示韋恩圖中陰影部分所表示的集合為（）

A.{乂3<%<5}B.{小<-3或x>5}

C.{%[-3<工<-2}D.{乂-3<%<5}

22

7.已知直線Gx-y+,”=O過(guò)雙曲線C：*■-1=1（a>0力>0）的左焦點(diǎn)尸，且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若

\FA\=\FO\（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為

A.2B.73+1C.我D.V5-1

8.一個(gè)四面體所有棱長(zhǎng)都是4,四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球上，則球的表面積為（）

A.24〃B.8戈兀C.拽工D.12兀

3

9.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)二=與2+1,則［=

2-1

9

A.-+iB.1-i

5

C.1+iD.-i

10.過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)尸，且斜率為6的直線交c于點(diǎn)M（M在x軸的上方），，為C的準(zhǔn)線，點(diǎn)N在/上且

MNLI,則M到直線NF的距離為（）

B.2&C.2百D.3百

11.定義在［-2,2］上的函數(shù)/（x）與其導(dǎo)函數(shù)尸（x）的圖象如圖所示，設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B、C、。四點(diǎn)的橫

坐標(biāo)依次為一1、則函數(shù)丫=/區(qū)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）

263-

D.(1,2)

6

12.已知復(fù)數(shù)z=a2j—2a—i是正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為()

A.0B.1C.-1D.±1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13,則輸入的x的值是.

Readx

IfW2Then

Elae

EndIf

Print/

3*-4x<0

14.已知函數(shù)/(幻=<,';若關(guān)于X的不等式/(x)>。的解集為(/,+8),則實(shí)數(shù)。的所有可能值之和為

log2x,x>0,''

15.函數(shù)/(%)滿足"力="X—4),當(dāng)xe[―2,2)時(shí)，/(x)=?；：：：：二^一？""""，若函數(shù)/(力在[。，2020)

上有1515個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的范圍為.

16.已知函數(shù)/(x)=e2，，則過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)已知正項(xiàng)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和S.=a“+2-2,〃eN*.

(1)若數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的公比9的值;

(2)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列也,｝的前〃項(xiàng)和為T(mén)“，若仇=1,且27；=%—〃一1.

①求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

②求證：

18.(12分)如圖在四邊形ABCD中，BA=6,BC=2,E為AC中點(diǎn)，BE二叵.

2

(1)求AC；

7T

(2)若。=—,求A4CQ面積的最大值.

3

19.(12分)選修4-5：不等式選講

設(shè)函數(shù)/(x)=|2x+4Tx-2|(xeH,aeR).

(1)當(dāng)。=一1時(shí)，求不等式/(x)>0的解集;

(2)若在xeR上恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

20.(12分)2019年底，北京2022年冬奧組委會(huì)啟動(dòng)志愿者全球招募，僅一個(gè)月內(nèi)報(bào)名人數(shù)便突破60萬(wàn)，其中青年

學(xué)生約有50萬(wàn)人.現(xiàn)從這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，按男女分層抽樣隨機(jī)選取20人進(jìn)行英語(yǔ)水平測(cè)試，所得成績(jī)(單位:

分)統(tǒng)計(jì)結(jié)果用莖葉圖記錄如下：

男女

647

3579

038656

14713568

5818

(I)試估計(jì)在這50萬(wàn)青年學(xué)生志愿者中，英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的女生人數(shù)；

(II)從選出的8名男生中隨機(jī)抽取2人，記其中測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(IU)為便于聯(lián)絡(luò)，現(xiàn)將所有的青年學(xué)生志愿者隨機(jī)分成若干組(每組人數(shù)不少于5000),并在每組中隨機(jī)選取〃?個(gè)人作

為聯(lián)絡(luò)員，要求每組的聯(lián)絡(luò)員中至少有1人的英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率大于90%.根據(jù)圖表中數(shù)據(jù)，以頻率作

為概率，給出加的最小值.（結(jié)論不要求證明）

21.（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xO），中，以x軸正半軸為始邊的銳角a的終邊與單位圓。交于點(diǎn)A,且點(diǎn)A的縱坐

（2）若以x軸正半軸為始邊的鈍角°的終邊與單位圓。交于點(diǎn)B，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-逝，求a+，的值.

5

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)

[x=s/s—tn

度單位.已知直線1的參數(shù)方程為廠（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4sin（。+￡）.

[y=l+>j3t3

（1）求直線1的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線1與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求AMON的面積.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、C

【解析】

由圖象變換的原則可得g（x）=-；cos,-高+g,由cos（2x-高e[-l,l]可求得值域；利用代入檢驗(yàn)法判斷②③；

對(duì)g（力求導(dǎo)，并得到導(dǎo)函數(shù)的值域,即可判斷④.

【詳解】

由題"(x)=sinx=-------,

jr..1—COS21X----I/、

則向右平移白個(gè)單位可得，/、I12；

12g(x)=--------------=——cos2x---+—

226)2

?「cos(2x-看]G[-1,1],g(x)的值域?yàn)閇0,1]，①錯(cuò)誤；

當(dāng)犬=工時(shí),2x—工=0,所以x=2是函數(shù)g(x)的一條對(duì)稱(chēng)軸，②正確；

12612

當(dāng)x=￡時(shí),2x—J=W，所以g(x)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是③正確；

362132/

g'(x)=sin(2x-2]w[-1,1]，則肛,々eR,g'(玉)=-1,g'(%2)=1，使得g'(玉)?g'(々)=T,則g0)在％=玉和

x=々處的切線互相垂直，④正確.

即②③④正確，共3個(gè).

故選:C

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的圖像變換，考查代入檢驗(yàn)法判斷余弦型函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心，考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義的應(yīng)用.

2、D

【解析】

確定｛%｝中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列｛2〃｝中第35項(xiàng)為70,這時(shí)可通過(guò)比較確定｛3"｝中有多少項(xiàng)可以插入

這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和.

【詳解】

〃=35時(shí)，2x35=70,3n<70,n<3,所以數(shù)列￡｝的前35項(xiàng)和中，｛3"｝有三項(xiàng)3,9,27,｛2〃｝有32項(xiàng)，所以

q+c2+c3+...+c35=3+9+27+32X2+32；31，X2=1095.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前〃項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ).解題關(guān)鍵是確定數(shù)列｛%｝的前35項(xiàng)中有

多少項(xiàng)是｛2"｝中的，又有多少項(xiàng)是｛3"｝中的.

3、A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)毒運(yùn)算，可得/（：）+/（〃）=”機(jī)）；利用定義可證明函數(shù)“X）的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/（X）在［1,16］上的最大值.

【詳解】

函數(shù)/（%）的定義域?yàn)椋?,+。），且,2〃"）=4望，

貝!|/（：］+/（〃）=/（機(jī)）；

任取玉，毛2w（0,+oo）,且X1V%2，貝!10＜土＜1，

X?

故f工＜0,

\X2）

令〃?=%,〃=/，則/—+/（々）=/（%），

\X2）

（\

即“X］）—/（工2）=/—＜0＞

\X2）

故函數(shù)/（X）在（0,+力）上單調(diào)遞增，

故/Max="16），

令根=16,〃=4,

故/（4）+〃4）=/（16）=4,

故函數(shù)/（%）在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)塞的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4、C

【解析】

由已知畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最大值.

【詳解】

1+y一］—0

解：f+）,2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（xy）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，畫(huà)出不等式組表示的可行域，如圖，由.；

/x+2=0

點(diǎn)A(-2,3)到坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)的距離最大，即，+/)_=(-2f+32=13.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想以及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

5、D

【解析】

弄清集合B的含義，它的元素x來(lái)自于集合A,且2'也是集合A的元素.

【詳解】

因|%-1區(qū)3,所以—24xW4,故4={-2,-1,0,1,2,3,4},又xeZ,2,eA，則x=0』,2,

故集合B={0,1,2}.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的定義，涉及到解絕對(duì)值不等式，是一道基礎(chǔ)題.

6、C

【解析】

根據(jù)韋恩圖可確定所表示集合為N(4"),根據(jù)一元二次不等式解法和定義域的求法可求得集合M,N,根據(jù)補(bǔ)集

和交集定義可求得結(jié)果.

【詳解】

由韋恩圖可知：陰影部分表示

M={x|(x-5)(x+2)<0}={x|-2<x<5},N=^x|9—x2>01=^x|—3<x<31,

.-.7Vn(^A/)={x|-3<x<-2}.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合運(yùn)算中的補(bǔ)集和交集運(yùn)算，涉及到一元二次不等式和函數(shù)定義域的求解；關(guān)鍵是能夠根據(jù)韋恩圖確定所

求集合.

7、B

【解析】

直線昌-)，+m=0的傾斜角為三，易得I必I=I"M=C.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得&V年中，NB4E=90,則

3

\AE\=43C,所以雙曲線C的離心率為e=味l=6+1.故選B.

8、A

【解析】

將正四面體補(bǔ)成正方體，通過(guò)正方體的對(duì)角線與球的半徑關(guān)系，求解即可.

【詳解】

解：如圖，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同,

???四面體所有棱長(zhǎng)都是4,

.?.正方體的棱長(zhǎng)為2夜，

設(shè)球的半徑為廣，

貝112r=J(2夜『+4?,解得廠=指，

所以S=4〃/=24%>

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查多面體外接球問(wèn)題，解決本題的關(guān)鍵在于，巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對(duì)

角線，從而將問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化，屬于中檔題.

9、B

【解析】

ELl+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2,,,.反但

因?yàn)?=k-+1=匚.、幺:+1=-----------+l=l+i,所以z=l-i，故選B.

2-i(2-i)(2+i)5

10、C

【解析】

聯(lián)立方程解得M(3,26)，根據(jù)得|MN|=|MF|=4,得到△MNf是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，計(jì)算距離得到答

案.

【詳解】

依題意得尸(1,0),則直線的方程是k6(萬(wàn)—1).由,「"一得x==或x=3.

y=4x3

由M在x軸的上方得M(3,2百)，由肋￥_1_/得附可|=附*=3+1=4

又NNMF等于直線尸M的傾斜角，即NNMF=60。，因此AMVF是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形

點(diǎn)M到直線N尸的距離為4x走=26

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了直線和拋物線的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

11,B

【解析】

先辨別出圖象中實(shí)線部分為函數(shù),y=/(x)的圖象，虛線部分為其導(dǎo)函數(shù)的圖象，求出函數(shù)》=/單的導(dǎo)數(shù)為

ex

3二/1),由y，<0,得出尸(x)</(x),只需在圖中找出滿足不等式/'(x)</(x)對(duì)應(yīng)的X的取值范圍

ex

即可.

【詳解】

若虛線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，但其導(dǎo)函數(shù)圖象(實(shí)線)與x軸有三個(gè)交點(diǎn)，不合乎

題意；

若實(shí)線部分為函數(shù)y=/(x)的圖象，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則其導(dǎo)函數(shù)圖象(虛線)與x軸恰好也只有兩個(gè)交點(diǎn)，

合乎題意.

對(duì)函數(shù)y=/學(xué)求導(dǎo)得y'=,(勾：八少,由y'<0得/'(x)</(x),

由圖象可知，滿足不等式r（力＜/（X）的工的取值范圍是1-；,1}

因此，函數(shù)y=/學(xué)的單調(diào)遞減區(qū)間為1-g,l].

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，同時(shí)也考查了利用圖象辨別函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的圖象，考查推理能力，屬于中等

題.

12、C

【解析】

將復(fù)數(shù)化成標(biāo)準(zhǔn)形式，由題意可得實(shí)部大于零，虛部等于零，即可得到答案.

【詳解】

因?yàn)閦=a?，-2a-i=-2a+（a?-1）Z為正實(shí)數(shù),

所以—2。＞0且解得。=一1.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的基本定義，屬基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、8

【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.

【詳解】

13

輸入y=13,若y=6x,則》=一＞2,不合題意

若y=x+5,貝!|%=13—5=8,滿足題意

本題正確結(jié)果：8

【點(diǎn)睛】

本題考查算法中的〃■語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.

14、6

【解析】

由分段函數(shù)可得4,0不滿足題意；。>0時(shí)，log2x>?,可得x>2",即有/=2",解方程可得。=2,4,結(jié)合指數(shù)

函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的圖象即可得到所求和.

【詳解】

y~4x<0

解：由函數(shù)/(處=,'八，可得

log2x,x>0

/(X)的增區(qū)間為(-0),0),(0,+8),

x<0時(shí)，f(x)e(0,37),x〉0時(shí)，/(%)GR,

當(dāng)關(guān)于X的不等式f(x)>。的解集為(Y,e)，

可得4,0不成立，

。>0時(shí)，o<??q?時(shí)，不成立；

f(x)>a,即為log?*〉”，

可得x>2",即有"=2",

顯然a=2,4成立；由y=2'和y=f的圖象可得在》>()僅有兩個(gè)交點(diǎn).

綜上可得”的所有值的和為1.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查不等式的解法，注意運(yùn)用分類(lèi)討論思想方法，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.

15^--,0

L2J

【解析】

由已知，/(X)在［—2,2)上有3個(gè)根，分2>aNl,0<a<l,-1<?<0,—2<aW—1四種情況討論/(x)的單調(diào)

性、最值即可得到答案.

【詳解】

由已知，/(%)的周期為4,且至多在［-2,2)上有4個(gè)根，而［0,2020)含505個(gè)周期，所以“X)在［-2,2)上有3個(gè)

根，設(shè)g(x)=2/+3f+a,g'(x)=6f+6x,易知g(x)在(一1,0)上單調(diào)遞減，在(-8,-1),(L+功上單調(diào)遞增,

又8(-2)=。-4<0,g(l)=a+5>0.

若2>aNl時(shí)，“X)在32)上無(wú)根，在［-2,田必有3個(gè)根，

/(-1)>0[?+1>0

,即<此時(shí)6ZG0;

/(0)<0[a<0

若0＜。＜1時(shí)，”X)在(。⑵上有1個(gè)根，注意到/(0)=a＞0,此時(shí)“X)在［—2,a］不可能有2個(gè)根，故不滿足;

7(-1)>0

若—1＜。＜0時(shí)，要使“X)在［-2,0有2個(gè)根，只需＜解得—<?<0；

,/(?)<02

若—2＜aW—1時(shí)，/(x)在上單調(diào)遞增，最多只有1個(gè)零點(diǎn)，不滿足題意;

綜上，實(shí)數(shù)。的范圍為

2

故答案為：一

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，涉及到函數(shù)的周期性、分類(lèi)討論函數(shù)的零點(diǎn)，是一道中檔題.

16、2ex-y=0

【解析】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(f.e"),利用導(dǎo)數(shù)求出曲線N=/(x)在切點(diǎn)”,e”)的切線方程，將原點(diǎn)代入切線方程，求出，的值,

于此可得出所求的切線方程.

【詳解】

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(ri)Q/(x)=e21.?.r(x)=2Z',/'(r)=2e”，

則曲線y=f(x)在點(diǎn)9,e"處的切線方程為y-e"=2e〃(x-r),

由于該直線過(guò)原點(diǎn)，貝U—e2'=—2招2',得f=L

2

因此，則過(guò)原點(diǎn)且與曲線y=/(x)相切的直線方程為y=2ex,故答案為2ex-y=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查過(guò)點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線方程，求解思路是：

(1)先設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，并利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程；

(2)將所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)代入切線方程，求出參數(shù)的值，可得出切點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)將參數(shù)的值代入切線方程，可得出切線的方程.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1)q=匕?；(2)①2=〃；②詳見(jiàn)解析.

2

【解析】

(1)依題意可表示S2,相減得見(jiàn)=。4-。3,由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，解得答案，并由其都是正

項(xiàng)數(shù)列舍根；

(2)①由題意可表示27；,2(向,兩式相減得由其都是正項(xiàng)并整理可得遞推關(guān)系

W1，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得答案；

②由已知=。“+2-2,〃GN*關(guān)系，表示5?+,=q+3-2并相減即可表示遞推關(guān)系all+2=an+all+l,顯然當(dāng)〃=1,2,3

時(shí)，?<、+：+%成立,當(dāng)〃/,〃eN*時(shí)，表示

月=g+冬+寡+絲:1+色著+...++巴土魯L,由分組求和與正項(xiàng)數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證?

2222222

【詳解】

解：(1)依題意可得E=%-2,S2=<a4-2,兩式相減，得%=%一%，所以“2一。2勺，

因?yàn)?〉0,所以/_q_l=O,且q>0,解得g=Lf5.

(2)①因?yàn)?T?=%-〃-1,所以一〃一2,

兩式相減，得2%=廿2-%T，即成2=僅用+11

因?yàn)?>0，所以a+2=be+1,即bn+2-%=1.

而當(dāng)〃=1時(shí)，21=6一2,可得％=2,故與一伉=1,

所以〃加一d=1對(duì)任意的正整數(shù)〃都成立，

所以數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列，公差為1,首項(xiàng)為1,

所以數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為“=〃.

②因?yàn)镾”=?！?2-2,所以S,m=4,+3-2,兩式相減，得“向=4,+3-4,+2，即4+3=可+|+。"+2，

所以對(duì)任意的正整數(shù)〃..2,都有4+2=%+。,用.

令小汽與=幺+粵+4+冬+冬+…+&+組，

"^2hi2222324252"T2"

而當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，顯然成立,

所以當(dāng)*4,時(shí)，匕卷+會(huì)+雜&+竽+?一+守1+一

=但+2+*+q+2+

1222232425

_(a\,a2*“3*。2*。3*6”1

-(萬(wàn)+齊+m+及+資+第+羅建嘴卜他+墨+號(hào)+柒+

2"

_6+生+4,XpA--P々.1+42+43,Xp,XP—6+42+%i^_p

__~4^22^+4"2"~4n，

所以+奈+4+，,即月＜q+,+q.

所以故

得證.

/=!，Z

【點(diǎn)睛】

本題考查由前”項(xiàng)和關(guān)系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項(xiàng)公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項(xiàng)數(shù)列放縮

證明不等式，屬于難題.

18、(1)1；(2)也

4

【解析】

(1)AE=x,在ABCE和AABE中分別運(yùn)用余弦定理可表示出COS/BC4,運(yùn)用算兩次的思想即可求得》，進(jìn)而求

出AC；

(2)在A4DC中，根據(jù)余弦定理和基本不等式，可求得CZ>ADW1,再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性,

求出AA8c的面積的最大值.

【詳解】

(1)由題設(shè)AE=x,則AC=2x

在&3CE和AABE中由余弦定理得:

.213

CE2+BC?-BE?AC2+BC2-AB2即4+xr_4+4/3

cosZBCA=

2CEBC2ACBC4x8x

解得x=L,；.AC=2x=l

2

(2)在AACD中由余弦定理得AC2=CD2+AD2-2CD-ADcosD，

即1=cr>2+心一CDA。2CDAT)，，84)W1

S^=-CDADsinD=—CDAD<—

MACrDn244

所以AACD面積的最大值為巫，此時(shí)CD=A￡>=1.

4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔

題.

19、(1)(-oo,-l)U(l,+oo)；(2)[―6,—2^

【解析】

(1)當(dāng)。=-1時(shí)，將原不等式化簡(jiǎn)后兩邊平方，由此解出不等式的解集.(2)對(duì)。分成。<-4,。=^,.>-4三種情

況，利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值，將/(x)表示為分段函數(shù)的形式，根據(jù)單調(diào)性求得。的取值范圍.

【詳解】

(1)。=一1時(shí),/(x)>0W|2x-l|>|x-2|,即(2x—>(x—2))

化簡(jiǎn)得：(3x-3)(x+l)>0,所以不等式/(x)>0的解集為(-8,-1)口(1,+8).

-x—ci—2,x<2

(2)①當(dāng)a<T時(shí)，/(》)=,_3x_a+2,2Kx?_],由函數(shù)單調(diào)性可得

,a

x+a+2,x>---

2

f(X)min=~2]=22~~1,解得；~6-a<~4

②當(dāng)a=~4時(shí)，/(力=卜一2|,/(》)疝,,=02-1,所以a=-4符合題意;

ca

—x—(1-2,x<--

2

③當(dāng)a>T時(shí)，/(%)=>3x+。-2,—@4x42,由函數(shù)單調(diào)性可得,

2

x+a+2,x>2

/(x)min=/(-?=￡-22-1,解得-4<a〈-2

綜上，實(shí)數(shù)。的取值范圍為［Y,-2］

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查含有絕對(duì)值不等式的解法，考查不等式恒成立問(wèn)題的求解，屬于中檔題.

3

20、(1)5萬(wàn)；(II)分布列見(jiàn)解析，￡(%)=-；(m)4

【解析】

(I)根據(jù)比例關(guān)系直接計(jì)算得到答案.

(II)X的可能取值為()」,2,計(jì)算概率得到分布列，再計(jì)算數(shù)學(xué)期望得到答案.

101(1V)

(HI)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為〃=玲=5,故］<1-90%，解得答案.

【詳解】

2

(I)樣本中女生英語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分以上的有2人，故人數(shù)為：與x50=5萬(wàn)人.

(II)8名男生中，測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的有3人，X的可能取值為：0,1,2.

Cj_5GG_15

p(x=o)=P(X=1)P(X=3)

^14Cl28Cl28

故分布列為:

X012

5153

P

142828

?5,15_33

X)=Ox--F1x---F2x—=一

')1428284

101(\Y"

(DI)英語(yǔ)測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為〃=與=5,故3<1-90%,故,”24.

故加的最小值為4.

【點(diǎn)睛】

本題考查了樣本估計(jì)總體，分布列，數(shù)學(xué)期望，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.

21、