第02講彈力上海市高中名校物理自主招生講義

二、彈力一、彈力的概念彈力是指兩個(gè)相互接觸的物體之間，由于相互擠壓而產(chǎn)生的力的作用。彈力的產(chǎn)生條件有兩個(gè)：兩個(gè)物體直接接觸，相互擠壓而發(fā)生彈性形變。彈力的大小與形變程度有關(guān)。彈力的方向與施加這個(gè)彈力的物體的形變方向相反，與受到這個(gè)彈力的物體的形變方向相同。彈力方向還可如下判斷：①壓力、支持力的方向總是垂直于接觸面，若接觸面是曲面，則垂直于曲面的切線。②繩對(duì)物體的拉力總是沿著繩指向繩收縮的方向。③桿對(duì)物體的彈力不一定沿桿的方向。如果可自由轉(zhuǎn)動(dòng)的輕直桿只有兩個(gè)端點(diǎn)受力而處于平衡狀態(tài)，則輕桿的彈力方向一定沿桿。如圖給出了幾種常見情況下所受彈力的示意圖。值得注意的是，有時(shí)候物體相互接觸，但卻不一定擠壓而發(fā)生彈性形變，因此互相接觸的物體不一定會(huì)產(chǎn)生彈力。大多情況下物體發(fā)生的形變很微小，肉眼難以判斷。因此根據(jù)彈力產(chǎn)生的兩個(gè)條件來判斷彈力的有無很困難。我們可以采用“假設(shè)法”來判斷物體間的彈力是否存在。如圖所示，球靜置于光滑水平面上，與豎直光滑墻壁接觸。豎直墻壁對(duì)球是否施加了彈力，就可以用假設(shè)法判斷：假設(shè)豎直墻壁對(duì)球施加了彈力，由于接觸面均光滑，球必然會(huì)向右移動(dòng)，與題述球靜止矛盾，因此豎直墻與球之間沒有彈力作用。同樣在圖（b）中，懸繩豎直，小球與斜面接觸。判斷斜面對(duì)球是否有彈力，可以先假設(shè)存在彈力，則小球所受斜面對(duì)其的彈力必垂直于斜面向上，懸繩自然會(huì)傾斜，這與題矛盾，因此該彈力不存在。二、彈簧的彈力當(dāng)彈簧被拉伸或者被壓縮時(shí)，彈簧會(huì)對(duì)與它接觸的物體產(chǎn)生彈力的作用，當(dāng)彈簧被拉伸時(shí)，彈簧的彈力表現(xiàn)為拉力；當(dāng)彈簧被壓縮時(shí)，彈簧的彈力表現(xiàn)為斥力。對(duì)于質(zhì)量不計(jì)的輕彈簧，其內(nèi)部的彈力大小處處相等。1．胡克定律彈簧被拉伸或壓縮時(shí)，會(huì)產(chǎn)生反抗形變的彈力，如圖所示。在彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力與彈簧的形變量成正比，這就是胡克定律，由英國物理學(xué)家胡克發(fā)現(xiàn)。胡克定律可以表示為，其中表示彈簧的勁度系數(shù)，反映了彈簧發(fā)生形變的難易程度，由可知，勁度系數(shù)越大的彈簧，發(fā)生相同形變量時(shí)所需的力越大，即彈簧越不容易發(fā)生形變。彈簧的勁度系數(shù)只與彈簧的材料、長度、粗細(xì)、匝數(shù)等因素有關(guān)，與彈簧的形變量及彈力大小無關(guān)。反映了彈簧彈力與彈簧的形變量之間的函數(shù)關(guān)系。應(yīng)該注意的是，彈簧的形變量不能太大，否則彈簧在外力撤去時(shí)將不能恢復(fù)到原長狀態(tài)，即不能使外力超過彈簧的彈性限度?！镜淅?】如圖所示，A、B、C三個(gè)物體的質(zhì)量是mA=m，mB=mC=2m，A、B兩物體通過繩子繞過定滑輪相連，B、C用勁度系數(shù)k2的彈簧相連，彈簧k1一端固定在天花板上，另一端與滑輪相連．開始時(shí)，A、B兩物體在同一水平面上，不計(jì)滑輪、繩子、彈簧的重力和一切摩擦．現(xiàn)用豎直向下的力緩慢拉動(dòng)A物體，在拉動(dòng)過程中，彈簧、與A、B相連的繩子始終豎直，到C物體剛要離開地面（A尚未落地，B沒有與滑輪相碰），此時(shí)A、B兩物體的高度差(

)A． B．C． D．【詳解】開始時(shí)：彈簧k2處于壓縮狀態(tài)，壓縮量為，k1伸長量；C物體剛要離開地面時(shí)，彈簧k2的彈力為2mg，彈簧k2處于伸長狀態(tài)，伸長量為；k1伸長量；A下降的距離：?hA=（+）+2（）=+；B上升的高度：?hB=+=；則AB的高度差：?hA+?hB=+，故選C.【典例2】如圖所示，在鐵架臺(tái)上豎直懸掛著一輕質(zhì)彈簧，不掛鉤碼時(shí)彈簧下端指針?biāo)缚潭葹?.00cm；掛上重1.96N的鉤碼，鉤碼靜止時(shí)彈簧下端指針?biāo)缚潭葹?0.00cm。此彈簧的勁度系數(shù)是（）A．49N/m B．98N/mC．147N/m D．196N/m【詳解】由題意知，掛上1.96N的鉤碼，彈簧的伸長量為s根據(jù)胡克定律可得故選B?！镜淅?】某同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)探究兩彈簧串聯(lián)后的彈性系數(shù)。他把彈性系數(shù)分別為和的不同輕彈簧a、b串接在一起，a的上端固定在天花板上，豎直懸掛。測量a和b彈簧原長，計(jì)算串接后彈簧a和b的總長度；在b的下端懸掛一定質(zhì)量的鉤碼，再次測量彈簧a和b的長度，計(jì)算總長度，使用懸掛鉤碼重力與總形變量之比記為兩彈簧串聯(lián)后的等效彈性系數(shù)，則等效彈性系數(shù)的表達(dá)式正確的是（）A． B． C． D．【詳解】總形變量等于兩彈簧形變量之和，彈簧b形變量選彈簧b與鉤碼為整體，彈簧a形變量所以等效彈性系數(shù)為故選A。2．彈簧的串并聯(lián)（1）彈簧的串聯(lián)：彈簧的串聯(lián)就是把幾根彈簧首尾相接，連成一根彈簧。如圖4.16所示，勁度系數(shù)分別為，的兩個(gè)彈簧首尾相接，串聯(lián)成一個(gè)新彈簧，設(shè)新彈簧勁度系數(shù)為，下面推導(dǎo)與，的關(guān)系：若在，末端分別施加拉力，則兩彈簧形變量分別為，。當(dāng)拉力施加在，串聯(lián)后的新彈簧上時(shí)，由于彈簧上各處彈力均為，因此，在新彈簧中發(fā)生的形變量仍為，。而新彈簧的形變量滿足，比較，，的表達(dá)式可得?？梢?，兩個(gè)彈簧串聯(lián)之后等效的勁度系數(shù)的倒數(shù)等于兩個(gè)彈簧勁度系數(shù)的倒數(shù)之和。將上面關(guān)系推而廣之：若有個(gè)彈簧串聯(lián)，則有。即串聯(lián)后彈簧的等效勁度系數(shù)的倒數(shù)等于各個(gè)彈簧勁度系數(shù)的倒數(shù)之和。．特殊地，若個(gè)原長為、勁度系數(shù)為的完全相同的彈簧串聯(lián)，串聯(lián)后新彈簧的原長為，勁度系數(shù)為，可見，在其他條件相同時(shí)，彈簧的勁度系數(shù)與其長度成反比。（2）彈簧的并聯(lián)：彈簧的并聯(lián)就是把幾根彈簧并排放置，作為一根彈簧來使用。如圖4.17所示，兩個(gè)原長相同的、勁度系數(shù)分別為和的彈簧并列放置，并聯(lián)成一個(gè)新彈簧，設(shè)新彈簧勁度系數(shù)為，下面推導(dǎo)與，的關(guān)系：若在新彈簧末端施加拉力，由于兩彈簧原長相同，因此形變量相同，設(shè)為，則兩彈簧彈的彈力分別為，，且有，并聯(lián)后新彈簧的形變量亦為，則，因此可得，可見，兩個(gè)原長相同的彈簧并聯(lián)之后等效的勁度系數(shù)等于兩個(gè)彈簧勁度系數(shù)之和。將上面關(guān)系推而廣之：若有個(gè)彈簧并聯(lián)，則有。即串聯(lián)后彈簧的等效勁度系數(shù)等于各個(gè)彈簧勁度系數(shù)之和。值得一提的是，上述關(guān)系只適用于幾個(gè)原長相同的彈簧并聯(lián)，若彈簧原長不同，則受力時(shí)形變量不同，沒有上述關(guān)系。此時(shí)應(yīng)該逐一分析彈簧形變及彈力情況，列式求解相關(guān)問題?！镜淅?】如圖所示，a、b兩物體通過輕彈簧P栓接，輕彈簧Q上端與物體b栓接，下端與水平地面接觸但不栓接，兩物體及兩輕彈簧在同一豎直線上且均處于靜止?fàn)顟B(tài)。a、b兩物體重量均為G、P、Q兩輕彈簧勁度系數(shù)均為k，且兩輕彈簧始終在彈性限度內(nèi)?，F(xiàn)對(duì)物體a施加一豎直向上的力，使其緩慢上升，輕彈簧Q下端脫離地面瞬時(shí)，物體a上升的高度為（）A． B．C． D．【詳解】由題知靜止時(shí)輕彈簧P壓縮量為輕彈簧Q壓縮量為輕彈簧Q下端脫離地面瞬時(shí)輕彈簧Q恢復(fù)為原長輕彈簧P伸長量為物體a上升的高度為故選D?！镜淅?】．一小組將兩個(gè)完全相同的輕彈簧分別按圖甲和圖乙連接，等效為兩個(gè)新彈簧，測得兩個(gè)新彈簧的“拉力與彈簧伸長量的關(guān)系圖像”如圖丙所示，則下列說法正確的是（

）sC．原來每個(gè)彈簧的勁度系數(shù)為20N/mD．b為甲圖彈簧得到的圖像【詳解】ABD．根據(jù)彈簧串聯(lián)與并聯(lián)的特點(diǎn)可知，兩條彈簧并聯(lián)后新彈簧的勁度系數(shù)增大，而串聯(lián)后新彈簧的勁度系數(shù)相對(duì)較?。粡椈傻睦εc彈簧伸長量的關(guān)系圖像中，直線的斜率對(duì)比胡克定律F=kΔx可知，直線的斜率即表示彈簧的勁度系數(shù)。由于a的勁度系數(shù)大，b的勁度系數(shù)小，所以a為甲圖彈簧得到的圖像，b為乙圖彈簧得到的圖像。甲圖是兩根彈簧并聯(lián)，新彈簧的伸長量等于每一個(gè)彈簧的伸長量，所以甲圖中，F(xiàn)=2N時(shí)每個(gè)彈簧都伸長0.1m，A正確、BD錯(cuò)誤；C．由丙圖可知，新彈簧的勁度系數(shù)則原來每個(gè)彈簧的勁度系數(shù)一定不是20N/m，C錯(cuò)誤。故選A?！镜淅?】如圖所示，一根輕質(zhì)彈簧豎直放在桌面上，下端固定，上端放一重物m，穩(wěn)定后彈簧長為L；現(xiàn)將彈簧截成等長的兩段，將重物分成兩塊，如圖所示連接后，穩(wěn)定時(shí)兩段彈簧的總長為L′，則（??）A．L′=L B．L′＞LC．L′＜L D．因不知彈簧原長，故無法確定【詳解】放一重物穩(wěn)定后彈簧長為將彈簧截成等長的兩段后，勁度系數(shù)變?yōu)?k，對(duì)上半部分重物對(duì)重物和上半部分彈簧整體，根據(jù)平衡條件因此穩(wěn)定時(shí)兩段彈簧的總長為所以L′＞L故選B?！镜淅?】如圖所示，輕彈簧的兩端各受30N拉力F的作用，彈簧伸長了10cm（在彈性限度內(nèi)）。那么下列說法中正確的是（）A．彈簧的彈力為60NB．根據(jù)公式k＝，彈簧的勁度系數(shù)k會(huì)隨彈簧彈力F的增大C．該彈簧的勁度系數(shù)k為300N/mD．彈簧的彈力為30N【詳解】AD．根據(jù)力的作用的相互性，彈簧的彈力為30N，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，D正確；BC．根據(jù)胡克定律F＝kx得，彈簧的勁度系數(shù)彈簧的勁度系數(shù)k由彈簧本身決定，與彈簧彈力F的變化無關(guān)，選項(xiàng)C正確，B錯(cuò)誤。故選CD。課后練習(xí)題一、單選題1．如圖，某同學(xué)用一根勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧測量物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)。將彈簧一端固定在豎直擋板上，另一端與物塊連接，物塊置于水平面上，彈簧與地面平行。改變物塊在水平面上的位置，發(fā)現(xiàn)物塊只能在A、B兩點(diǎn)間保持靜止，測得A、B兩點(diǎn)到豎直擋板的距離分別為d1、d2，物塊的質(zhì)量為m，當(dāng)?shù)刂亓铀俣葹間，則物塊與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題意可知，改變物塊在水平面上的位置，物塊只能在A、B兩點(diǎn)間保持靜止，則有輕質(zhì)彈簧的原長是物塊在A、B兩點(diǎn)間的靜止位置是輕質(zhì)彈簧的最大壓縮量與最大伸長量的平衡位置，因此有解得A正確，BCD錯(cuò)誤。故選A。2．如圖所示，A、B兩輕質(zhì)彈簧原長分別為l1和l2，勁度系數(shù)分別為k1和k2，豎直地懸掛在天花板上，兩彈簧之間連接有一質(zhì)量為m1的物體，最下端掛著質(zhì)量為m2的另一物體，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)?，F(xiàn)用一個(gè)平板把下面的物體m2緩慢向上托起，直到兩個(gè)彈簧的總長度等于兩彈簧原長之和，則（）A．原來整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，B彈簧的伸長量是B．此時(shí)A彈簧處于壓縮狀態(tài)，B彈簧處于拉伸狀態(tài)C．此過程m2上升的高度是D．此過程m1上升的高度是【答案】C【詳解】A．托起前，A、B兩個(gè)彈簧的形變量分別為故A錯(cuò)誤；BC．托起后，若兩個(gè)彈簧的總長度等于兩彈簧原長之和，由m1平衡知此時(shí)A彈簧處于拉伸狀態(tài)，B彈簧處于壓縮狀態(tài)，且兩彈簧的形變量相等，設(shè)該形變量為x，由平衡條件得k1x+k2x=m1g此過程m2上升的高度是故B錯(cuò)誤，C正確；D．此過程m1上升的高度是故D錯(cuò)誤。故選C。3．勁度系數(shù)不同的兩個(gè)輕質(zhì)彈簧、如圖所示懸掛了質(zhì)量為和兩塊橡皮泥，整個(gè)裝置保持靜止時(shí)，彈簧的長度與彈簧的長度相等。則（）A．彈簧的原長比彈簧原長短B．在上取粘在處，彈簧長度不變C．在上取粘在處，彈簧和彈簧的總長不變D．在上取粘在處，彈簧長度變長【答案】B【詳解】A．對(duì)m2受力分析，根據(jù)胡克定律，有對(duì)m1和m2組成的整體受力分析，根據(jù)胡克定律，有可知由于兩段彈簧的勁度系數(shù)關(guān)系未知，所以無法判斷它們的原長。故A錯(cuò)誤；B．在上取粘在處，對(duì)于彈簧，有可知即彈簧長度不變。故B正確；C．同理，對(duì)于彈簧b，有可知即彈簧b長度變長。綜上所述，彈簧和彈簧的總長變長。故C錯(cuò)誤；D．在上取粘在處，對(duì)彈簧，有即彈簧長度不變。故D錯(cuò)誤。故選B。二、填空題4．如右圖所示，一勁度系數(shù)為k1的彈簧，豎直地放在桌面上，上面壓一質(zhì)量為m的物體。其上、下端分別與物和桌面相連。另一勁度系數(shù)為k2的彈簧豎直地放在物體上面，其下端與物體的上表面連接在一起，兩個(gè)彈簧的質(zhì)量都不計(jì)，要想使物體在靜止時(shí)下面彈簧的彈力減為原來的時(shí)，應(yīng)將上面彈簧的上端A豎直向上提高一段距離d，其值d=?！敬鸢浮?，【詳解】初始狀態(tài)，k1處于壓縮狀態(tài)，由胡克定律可得壓縮量下面彈簧的彈力減為原來的，有兩種情況：第一種情況，k1處于壓縮狀態(tài)，有壓縮量恢復(fù)量為k2處于伸長狀態(tài)伸長量上面彈簧的上端A豎直向上提高的距離為第二種情況，k1處于伸長狀態(tài)，有伸長量恢復(fù)量k2處于伸長狀態(tài)伸長量上面彈簧的上端A豎直向上提高的距離為5．如圖所示，兩個(gè)彈簧的質(zhì)量不計(jì)，Q、P兩彈簧勁度系數(shù)分別為、，它們一端固定在質(zhì)量為m的物體上，另一端分別固定在Q、P上，當(dāng)物體平衡時(shí)上面的彈簧處于原長，若把固定的物體換為質(zhì)量為的物體（不更換彈簧，且彈簧均在彈性限度內(nèi)），當(dāng)物體再次平衡時(shí)，物體所受的合力（選填“增大”“不變”或“減小”），物體比第一次平衡時(shí)的位置下降了?！敬鸢浮坎蛔儭驹斀狻縖1]當(dāng)物體平衡時(shí)，所受合力為零，當(dāng)物體再次平衡與第一次平衡時(shí)所受的合力相等，均為零。[2]當(dāng)物體的質(zhì)量為m時(shí)，據(jù)平衡條件可得解得下方彈簧被壓縮的長度為當(dāng)物體的質(zhì)量變?yōu)?m時(shí)，設(shè)物體下降的高度為x，則上方彈簧伸長量為x，下方彈簧壓縮量為，兩彈簧彈力之和等于2mg，由胡克定律和平衡條件可得聯(lián)立解得6．兩個(gè)勁度系數(shù)分別為k1和k2的輕質(zhì)彈簧a、b串接在一起，a彈簧的一端固定在墻上，如圖所示，開始時(shí)兩彈簧均處于原長狀態(tài)，現(xiàn)用水平力作用在b彈簧的P端向右拉動(dòng)彈簧，已知a彈簧的伸長量為L，則b彈簧的伸長量為?！敬鸢浮俊驹斀狻績蓚€(gè)輕質(zhì)彈簧a、b串接在一起，兩彈簧中彈力相等，有解得【點(diǎn)睛】本題考查了胡克定律、力的平衡條件。7．如圖所示，輕質(zhì)彈簧兩端分別與和兩質(zhì)點(diǎn)拴接，放在水平地面上，壓在豎直的彈簧上，。當(dāng)整個(gè)裝置靜止時(shí)，距地面的高度為，用豎直向上的力緩慢上提，使剛好要脫離地面，大小等于倍的。若此時(shí)距地面的高度，則此彈簧自然伸長時(shí)的長度為?！敬鸢浮?【詳解】[1]設(shè)彈簧勁度系數(shù)為k，由整體法，M剛好離開地面時(shí)，系統(tǒng)受力如圖所示根據(jù)平衡條件有[2]此時(shí)彈簧處于伸長狀態(tài)，M受力平衡，彈簧受到的彈力為初始時(shí)彈簧處于壓縮狀態(tài)，且彈力又M=3m，則則有根據(jù)題意知解得彈簧原長為8．如圖所示，勁度系數(shù)為k2的輕質(zhì)彈簧，豎直放在桌面上，上面壓一質(zhì)量為m的物塊，勁度系數(shù)為k1的輕質(zhì)彈簧豎直地放在物塊上面，其下端與物塊上表面連接在一起，現(xiàn)想使物塊在靜止時(shí)，下面彈簧承受物重的，應(yīng)將上面彈簧的上端A豎直向上提高的距離?！敬鸢浮俊驹斀狻磕B(tài)時(shí)物塊受力分析，其中F1′與F2′分別是彈簧k1、k2的作用力，物塊靜止有F1′+F2′=mg初態(tài)時(shí)，彈簧k2（壓縮）的彈力F2=mg末態(tài)時(shí)，彈簧k2（壓縮）的彈力F2′=mg則F1′=mg彈簧k2的長度變化量初態(tài)時(shí)，彈簧k1（原長）的彈力F1=0彈簧k1的長度變化量所求距離為9．在“探究彈力與彈簧伸長量的關(guān)系”實(shí)驗(yàn)中，由實(shí)驗(yàn)測得某彈簧所受彈力F和彈簧的