專題7.6 數(shù)列綜合練（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題7.6數(shù)列綜合練題號(hào)一二三四總分得分練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）2022年11月8日，著名華人數(shù)學(xué)家張益唐教授以視頻方式作學(xué)術(shù)報(bào)告，與北大數(shù)學(xué)師生分享他圍繞“朗道—西格爾零點(diǎn)猜想”所做的研究工作，他在“大海撈針”式的研究過(guò)程中提出的新想法是基于一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)恒等式：.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前9項(xiàng)的和等于（

）A．13280 B．20196 C．20232 D．29520【答案】B【分析】先變形得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】，所以.故選：B.2．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）若兩個(gè)等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列得性質(zhì)和前項(xiàng)和公式計(jì)算即可.【詳解】由，得.故選：B.3．（2023·浙江寧波·鎮(zhèn)海中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．3【答案】A【分析】首先根據(jù)遞推公式，求數(shù)列中的項(xiàng)，并得到數(shù)列的周期，再求的值.【詳解】因?yàn)?，，所以，解得，又，解得，又，，，顯然，接下去，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則.故選：A.4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”，例如：，．已知數(shù)列滿足，，，若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用構(gòu)造法可得為等比數(shù)列，再運(yùn)用累加法可得通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式，再運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和可得結(jié)果.【詳解】由，得．又，所以數(shù)列構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.又，，…，，疊加可得，即，所以.又因?yàn)闈M足上式，所以.所以.因?yàn)?，所以，即，所?故.所以.故選：C.5．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)的積為，并且滿足條件：，，．給出下列結(jié)論：①；②；③；④使成立的最小的自然數(shù)n等于199．其中正確結(jié)論的編號(hào)是（

）A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①③④【答案】D【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式判斷①；利用等比數(shù)列的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)判斷②；利用下標(biāo)和定理判斷③；利用等比數(shù)列的性質(zhì)判斷④，從而得出結(jié)論．【詳解】對(duì)于①：，，，，．又，，且，，故①正確；對(duì)于②：，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：，故③正確；對(duì)于④：，，故④正確．故選：D．6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，令，則錯(cuò)誤選項(xiàng)是（）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 C．為整數(shù) D．?dāng)?shù)列的前2022項(xiàng)和為4044【答案】C【分析】由已知當(dāng)時(shí)，求得，當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減化簡(jiǎn)，再利用累乘法可求得，從而可判斷A，可求出，從而可判斷BC，將代入中化簡(jiǎn)，然后利用分組求和法求解即可判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故.當(dāng)時(shí)，由，得，所以，整理，所以，所以，所以，，所以A正確，所以，所以，所以為等差數(shù)列，所以B正確，所以不是整數(shù)，所以C錯(cuò)誤，則，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則.因?yàn)?，所?故，所以D正確.故選：C.7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，，則數(shù)列第2023項(xiàng)為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再利用累加法計(jì)算得到答案．【詳解】由，則有，得，又，，則，所以，，，，，相加得．故選：B．8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，若對(duì)于任意，都有，則的取值范圍是（

）A．， B．， C． D．【答案】A【詳解】由題意易知，成立，故；又，故只要在上有解，則；又恒成立，即，即，則；綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．（2023春·遼寧鞍山·高二鞍山一中?？计谥校┮阎獢?shù)列，，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若，則為遞減數(shù)列B．若，，則為等比數(shù)列C．若數(shù)列的公比，則為遞減數(shù)列D．若數(shù)列的前n項(xiàng)和，則為等差數(shù)列【答案】ABD【分析】對(duì)A計(jì)算可得答案；對(duì)B變形得可得答案；對(duì)C舉例求出可得答案；對(duì)D.求出可得答案.【詳解】對(duì)A，當(dāng)時(shí)，，即，A正確；對(duì)B，因?yàn)?，，所以，由已知得，則是以3為公比的等比數(shù)列，B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，，，則，故不是遞減數(shù)列，C錯(cuò)誤；D.由得時(shí)，，，，檢驗(yàn)得，時(shí)，滿足，所以，，則為等差數(shù)列，D正確.故選：ABD.10．（2023·江蘇宿遷·江蘇省沭陽(yáng)高級(jí)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，，則（

）A．B．?dāng)?shù)列是公差為的等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的前5項(xiàng)和最大D．【答案】AC【分析】令可得即可求判斷A，利用的關(guān)系可得即可判斷B,C，取求得即可判斷D.【詳解】，，或(舍)，故選項(xiàng)A正確；又，，，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由得，，數(shù)列的前5項(xiàng)和最大，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，，這與矛盾，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選:AC.11．（2023秋·江蘇南京·高二南京大學(xué)附屬中學(xué)?？计谀┰O(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．的前項(xiàng)和為【答案】ACD【分析】由已知可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式，可判斷A、B，進(jìn)而可以求的值判斷C，也易求得的前項(xiàng)和判斷D.【詳解】由已知，當(dāng)時(shí)，可得選項(xiàng)A，，可得數(shù)列是，2為公比的等比數(shù)列，故A正確；選項(xiàng)B，由選項(xiàng)A可得解得，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以，故C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)椋蔇正確.故選：ACD.12．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.如數(shù)列1，3，6，10，它的前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，則數(shù)列1，3，6，10被稱為二階等差數(shù)列，現(xiàn)有高階等差數(shù)列?其前7項(xiàng)分別為5，9，17，27，37，45，49，設(shè)通項(xiàng)公式.則下列結(jié)論中正確的是（

）（參考公式：）A．?dāng)?shù)列為二階等差數(shù)列B．?dāng)?shù)列的前11項(xiàng)和最大C．D．【答案】AC【分析】根據(jù)題中定義，結(jié)合累加法、等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、題中所給的公式逐一判斷即可.【詳解】設(shè)，所以數(shù)列前6項(xiàng)分別為，設(shè)，所以數(shù)列前5項(xiàng)分別為，顯然數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，由題中定義可知數(shù)列為二階等差數(shù)列，因此選項(xiàng)A正確；，于是有，因此有，因?yàn)?，所以?shù)列的前11項(xiàng)和最大不正確，因此選項(xiàng)B不正確；因此選項(xiàng)C正確；，因此選項(xiàng)D不正確；故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用累加法，結(jié)合題中定義、所給的公式是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．（2023春·天津北辰·高二天津市第四十七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)且，已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則a的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)列出不等式求解.【詳解】因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以解得，故答案為:.14．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫(xiě)出該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：①__________.②1，3，6，10，15，…，__________.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，__________.【答案】..【分析】通過(guò)觀察法分析數(shù)列的變化規(guī)律即可求解.【詳解】①可改寫(xiě)為則.②1，3，6，10，15，…，，，，…，，利用累加法可得，.③1，3，3，5，5，7，7，9，9，…，奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)，所以故答案為：；；.15．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第六中學(xué)校校考三模）已知數(shù)列與的前n項(xiàng)和分別為，則______；若對(duì)于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題意化簡(jiǎn)得，求得，再把不等式的恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，所以，所以.又由，可得，因?yàn)閷?duì)于任意恒成立，即對(duì)于任意恒成立，設(shè)，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：；.16．（2023·山東日照·三模）已知數(shù)列中，，，是，的等差中項(xiàng)，是其前n項(xiàng)和，若數(shù)列是公差為3的等差數(shù)列，則___________.【答案】5248【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)及求和公式計(jì)算即可.【詳解】依題意，，故，而，所以,且，故是首項(xiàng)為12，公差為9的等差數(shù)列，則.故答案為：5248四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)，作差求出公比，即可得出答案；（2）由（1）得，可得，利用分組求和法計(jì)算可得．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，①，，當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，，，，；（2）由（1）得，則，，，，．18．（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】【分析】利用項(xiàng)與和的關(guān)系分，求解，從而得到是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，整理得，，解得；當(dāng)時(shí)，①，可得②，①－②得，即，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，，所以，從而是以為首?xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以.19．（2023·廣東佛山·華南師大附中南海實(shí)驗(yàn)高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)公式得到是常數(shù)列，確定，計(jì)算得到通項(xiàng)公式.（2）放縮，根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算得到證明.【詳解】（1），則，整理得到，故，故是常數(shù)列，故，即，當(dāng)時(shí)，，驗(yàn)證時(shí)滿足，故（2），故.20．（2023·云南保山·統(tǒng)考二模）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，______.①，；②數(shù)列為等差數(shù)列，且的前3項(xiàng)和為6.從以上兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在橫線處，并求解：(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前6項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)【分析】（1）選①，分析可知數(shù)列、均為公差為的等差數(shù)列，求出的值，可求得、的表達(dá)式，可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；選②，求得的值，可得出數(shù)列的公差，即可求得，再由可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式用裂項(xiàng)相消法即可求解.【詳解】（1）選條件①：，，則，兩式作差得，即數(shù)列，均為公差為4的等差數(shù)列，于是，又，所以，于是，所以.選條件②：因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，且的前3項(xiàng)和為6，則，所以，又，所以，所以的公差為，所以，則，當(dāng)時(shí)，又滿足，所以對(duì)任意的，.（2）解法一：由（1）得，則，，所以.解法二：由（1）得則.21．（2023·全國(guó)·校聯(lián)考二模）已知數(shù)列中，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）對(duì)兩邊同時(shí)除以，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出，再由裂項(xiàng)相消法求和求出，則，即，求解即可.【詳解】（1）兩邊同時(shí)除以，數(shù)列是首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列，，.（2），可得，，即，即恒成立..22．（2023·浙江·校聯(lián)考三模）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且滿足.(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】