利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性和極值講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性導(dǎo)數(shù)可以用來(lái)求函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率，而切線斜率的正負(fù)可以反映函數(shù)的單調(diào)性，因此我們可以利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的主要考點(diǎn)有：利用導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行討論（含參函數(shù)或不含參函數(shù)）和利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性的參數(shù)范圍.討論單調(diào)性不含參例1、已知函數(shù).（1）求函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞增區(qū)間；解：由題意知，，，所以當(dāng)時(shí)，解得即在的單調(diào)遞增區(qū)間是，.例2、已知函數(shù)求單調(diào)增區(qū)間；解：令，解得所以單調(diào)增區(qū)間為.含參類（導(dǎo)函數(shù)只有一個(gè)根）已知函數(shù).討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）由題意，函數(shù)，可得的定義域?yàn)榍?由，即，解得由，即，解得故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.例4、（導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)根之能因式分解）已知函數(shù).討論函數(shù)的單調(diào)性；解：.若，由，得由得；由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，由，得或.當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由，得；由，得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增.例5、（導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)根之不能因式分解）已知函數(shù)，其中.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：函數(shù)定義域?yàn)?，且，令，判別式當(dāng)，即時(shí)，恒成立所以∴在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，由，解得，，若，則∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；若，則，∴時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增；綜上所述：時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，，單調(diào)遞增區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為.注：含參類問題求解單調(diào)性的重難點(diǎn)是如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類，分類討論的思路步驟：第一步、求函數(shù)的定義域、求導(dǎo)，并求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)；第二步、以導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)存在性進(jìn)行討論：當(dāng)導(dǎo)函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)時(shí)，討論它們的大小關(guān)系及與區(qū)間的位置關(guān)系（分類討論）；第三步、畫出導(dǎo)函數(shù)的同號(hào)函數(shù)的草圖，從而判斷其導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)（畫導(dǎo)圖、標(biāo)正負(fù)、截定義域）；第四步、（列表）根據(jù)第三步的草圖列出函數(shù)和導(dǎo)函數(shù)隨x的變化情況表，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；第五步、綜合上述討論的情形，完整地寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，寫出極值點(diǎn)、極值與區(qū)間端點(diǎn).求參數(shù)范圍在區(qū)間D上存在遞增（減）區(qū)間：方法1：轉(zhuǎn)化為‘的導(dǎo)函數(shù)大于零（小于零）在區(qū)間D上有解’；方法2：轉(zhuǎn)化為‘存在區(qū)間D的一個(gè)子區(qū)間使的導(dǎo)函數(shù)大于零（小于零）’.在區(qū)間D上單調(diào)遞增（減）：方法1：轉(zhuǎn)化為‘的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間D上恒大于等于零（恒小于等于零）’；方法2：轉(zhuǎn)化為區(qū)間D是的單調(diào)遞增（減）區(qū)間的子區(qū)間.例6、（2011201218）f（x）x22alnx.若函數(shù)g（x）=2x+f（x）在[1,2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)ag（x）=2x+x22alnxg'（x）2x2+2xg（x）為2上的單調(diào)減函數(shù)g'（x）0在2上恒成立，即a1xx2在[1，令h（x）1xx2則h'（x）=-（1x2可知h（x）單調(diào)遞減，最小值為:h（2）=72得a7已知f（x）=lnx，g（x）=12ax2+2x（a≠0），若h（x）=f（x）g（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則a的取值范圍為（1，0）∪（0，解：h（x）=lnx-求導(dǎo)得h'（x）-ax由題意知：h（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間則h'（x）（0，+∞）上有解即-ax-2<0在（0，+解得-1<a<0或a>0注：對(duì)于導(dǎo)函數(shù)中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性與參數(shù)的綜合問題，首先是要區(qū)分好是恒成立問題還是存在性問題，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為不等式問題，進(jìn)而得到答案.利用導(dǎo)數(shù)求極值、最值與單調(diào)性并列，極值與極值點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的第二個(gè)運(yùn)用.與單調(diào)性類似，導(dǎo)數(shù)與極值、極值點(diǎn)也主要有兩種考查方式：第一種是求函數(shù)的極值或極值點(diǎn)（多個(gè)極值比較大小，最大即為最值），第二種是知道了極值或極值點(diǎn)求參數(shù)范圍.注：極值點(diǎn)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為零時(shí)的橫坐標(biāo)，而不是真正的一個(gè)點(diǎn).求極值（點(diǎn)）、最值例1、已知函數(shù).求函數(shù)的極值.解:∵又，由得或，當(dāng)和時(shí)，，此時(shí)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)為增函數(shù)，由的單調(diào)性知函數(shù)的極小值為，極大值為.例2、已知函數(shù)在處取得極值7．（1）求的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值解:（1）因?yàn)椋?，又函?shù)在處取得極值7，，解得；，所以，由得或；由得；滿足題意；（2）又，由（1）得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此．已知極值（點(diǎn)）求參數(shù)范圍1、根據(jù)極值點(diǎn)特點(diǎn)求參數(shù)范圍例3、已知函數(shù).求函數(shù)的極值，并求當(dāng)有極大值且極大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍.解：.（1）當(dāng)時(shí)，，所以，在遞減，無(wú)極值.（2）當(dāng)時(shí)，由得.隨的變化、的變化情況如下：+0極大值故有極大值，無(wú)極小值；，由，∵，∴.所以，當(dāng)?shù)臉O大值為正數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.2、根據(jù)極值點(diǎn)求參數(shù)時(shí)忘檢驗(yàn)致錯(cuò)已知f(x)13x3+12（b1）x2+b2x（b解：f'(xx2+（b1）x+因?yàn)樵趚=1處取得極值則f'(1b2得b=0或b=-1當(dāng)b=-1時(shí)，f'(xx2-2x+1≥故b=0.注：f'(x0f(x)在x=x0三、已知最值求參數(shù)范圍已知最值求范圍主要有兩種情況，第一種是定區(qū)間加最值求函數(shù)參數(shù)；第二種是動(dòng)區(qū)間加最值求動(dòng)區(qū)間范圍。需要注意的是在一個(gè)動(dòng)區(qū)間中，如果該區(qū)間是開區(qū)間，最值剛好在端點(diǎn)則取不到，這是考生在考試中往往想不到的一個(gè)條件.若f(x)xx2+a（a>0）在[1，+∞）上最大值為33，則解：f'(xf'(xf(x)取得最大值若≤1，則f(x)在[1，+∞）上單調(diào)遞減f(x)最大值為f(1)=11+a=解得a=3-1若1，則f(x)在[1，+∞）上的最大值為f(a)=12解得a=34故a=3-f(x)=x3