第4章《等可能條件下的概率》知識講練（學(xué)生版）

2023-2024學(xué)年蘇科版數(shù)學(xué)九年級上冊章節(jié)知識講練知識點01：等可能性一般地，設(shè)一個試驗的所有可能發(fā)生的結(jié)果有n個，它們都是隨機事件，每次試驗有且只有其中的一個結(jié)果出現(xiàn).如果每個結(jié)果出現(xiàn)的機會均等，那么我們說這n個事件的發(fā)生是等可能的，也稱這個試驗的結(jié)果具有等可能性.知識點02：等可能條件下的概率1.等可能條件下的概率一般地，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率P（A）=（其中m是指事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n是指所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)）.當(dāng)一個隨機事件在一次試驗中的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個，且具有等可能性時，只需列出一次試驗可能出現(xiàn)的所有結(jié)果，就可以求出某個事件發(fā)生的概率.2.等可能條件下的概率的求法一般地，等可能性條件下的概率計算方法和步驟是：（1）列出所有可能的結(jié)果，并判定每個結(jié)果發(fā)生的可能性都相等；（2）確定所有可能發(fā)生的結(jié)果的個數(shù)n和其中出現(xiàn)所求事件的結(jié)果個數(shù)m；（3）計算所求事件發(fā)生的可能性：P（所求事件）=.知識點03：用列舉法計算概率常用的列舉法有兩種：列表法和畫樹狀圖法.1.列表法當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：（1）列表法適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；（2）列表法適用于涉及兩步試驗的隨機事件發(fā)生的概率.2.樹狀圖當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多個因素時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹形圖，也稱樹形圖、樹圖.樹形圖是用樹狀圖形的形式反映事件發(fā)生的各種情況出現(xiàn)的次數(shù)和方式，以及某一事件發(fā)生的可能的次數(shù)和方式，并求出概率的方法.細(xì)節(jié)剖析：(1)樹狀圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)的總次數(shù)不是很大時，求概率的問題；(2)在用樹狀圖法求可能事件的概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)的可能性務(wù)必相同.一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2023春?宿豫區(qū)期末）一只不透明的袋子中裝有1個白球、2個黑球、3個紅球，這些球除顏色外都相同，將球搖勻，從中任意摸出1個球，則摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．紅球 D．黃球2．（2分）（2023?鹽城一模）一個小球在如圖所示的地板上自由滾動，并隨機停在某塊方磚上．如果每一塊方磚除顏色外完全相同，那么小球最終停留在黑磚上的概率是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023?連云港）如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一點P，則點P落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．4．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的對稱美，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化，對稱統(tǒng)一的形式美和諧美．如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)置一枚小針則針尖落入黑色區(qū)域內(nèi)的概率為（）A． B． C． D．5．（2分）（2023?射陽縣校級二模）如圖，點C、D在線段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以點A為圓心，分別以線段AC、AD、AB為半徑畫同心圓，記以AC為半徑的圓為區(qū)域Ⅰ，CD所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅱ，DB所在的圓環(huán)為區(qū)域Ⅲ．現(xiàn)在此圖形中隨機撒一把豆子，統(tǒng)計落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三個區(qū)域內(nèi)的豆子數(shù)．若大量重復(fù)此實驗，則（）A．豆子落在區(qū)域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在區(qū)域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在區(qū)域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同6．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級二模）如圖，小明隨機地在對角線為6cm和8cm的菱形區(qū)域內(nèi)投針，則針扎到其內(nèi)切圓區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．7．（2分）（2022秋?泗陽縣期末）從甲，乙，丙三人中任選兩名代表，甲被選中的可能性是（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋?海陵區(qū)校級期中）小明隨機地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影）區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．9．（2分）（2018秋?玄武區(qū)期中）如圖，一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了白色和紅色兩個區(qū)域，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時（若指針停在邊界處，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），指針落在紅色區(qū)域內(nèi)的概率是（）A． B． C． D．10．（2分）（2020秋?射陽縣期末）我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個結(jié)論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動；③圖2中，等邊三角形的邊長為2，則勒洛三角形的周長為2π；④圖3中，在△ABC中隨機取一點，則該點取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2023?蘇州一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點．假設(shè)飛鏢擊中游戲板的每一處是等可能的（擊中邊界或沒有擊中游戲板，則重投一次），任意投擲飛鏢一次，飛鏢擊中陰影部分的概率是．?12．（2分）（2023?姑蘇區(qū)校級一模）如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖，現(xiàn)隨機向正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在黑色區(qū)域內(nèi)的概率為．13．（2分）（2023?洪澤區(qū)二模）如圖，正方形中所有的小三角形都全等，一只螞蟻在正方形內(nèi)部隨機爬行，則它停在陰影部分的概率為．?14．（2分）（2023?東臺市一模）不透明袋子中裝有3個黑球、5個白球，這些球除了顏色外無其他差別．從袋子中隨機摸出1個球，“摸出黑球”的概率是．15．（2分）（2023?蘇州一模）如圖所示游戲板中每一個小正方形除顏色外都相同，把游戲板平放到露天地面上，落在該游戲板上的第一滴雨正好打中陰影部分的概率是．16．（2分）（2023春?泰州期末）袋中裝有8個小球，顏色為紅、白、黑，每個球除顏色外其它都相同，將球搖勻，從中任意摸出一個球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一樣，則紅球和白球共有個．17．（2分）（2023?姜堰區(qū)一模）如圖，小明制作了一個含內(nèi)接正三角形的圓形標(biāo)靶，圖中的陰影部分是正三角形的內(nèi)切圓，小明隨意向該標(biāo)靶區(qū)域投擲飛鏢，則飛鏢落在陰影區(qū)域的概率為．18．（2分）（2023?工業(yè)園區(qū)校級模擬）如圖所示，電路圖上有A、B、C三個開關(guān)和一個小燈泡，閉合開關(guān)C或者同事閉合開關(guān)A、B，都可使小燈泡發(fā)光，現(xiàn)在任意閉合其中一個開關(guān)，則小燈泡發(fā)光的概率等于．19．（2分）（2023?高新區(qū)一模）東漢時期的數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時，給出的“趙爽弦圖”是我國古代數(shù)學(xué)的瑰寶，如圖1，四個直角三角形是全等的，且直角三角形的長直角邊與短直角邊之比為2：1，現(xiàn)連接四條線段得到圖2的新的圖案．若隨機向該圖形內(nèi)擲一枚針，則針尖落在圖2中陰影區(qū)域的概率為．20．（2分）（2021?武進(jìn)區(qū)校級自主招生）有六張正面分別標(biāo)有數(shù)0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它們除了數(shù)字不同外其余全部相同．現(xiàn)將它們背面朝上，洗勻后從中任取一張，將卡片上的數(shù)記為a，則使關(guān)于x的方程+2＝有正整數(shù)解的概率為三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?蘇州二模）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅、白、黑三種顏色的球．其中紅球3個，白球5個，黑球若干個，若從中任意摸出一個白球的概率是．（1）求任意摸出一個球是黑球的概率；（2）能否通過只改變盒子中白球的數(shù)量，使得任意摸出一個球是紅球的概率，若能，請寫出如何調(diào)整白球數(shù)量；若不能，請說明理由．22．（6分）（2023?江都區(qū)二模）甲，乙兩個小區(qū)各有300戶居民，為了解兩個小區(qū)3月份用戶使用燃?xì)饬壳闆r，小明和小麗分別從中隨機抽取30戶進(jìn)行調(diào)查，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．a(chǎn)．甲小區(qū)用氣量頻數(shù)分布直方圖如下（數(shù)據(jù)分成5組：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小區(qū)用氣量的數(shù)據(jù)在15≤x＜20這一組的是：151516161616181818181819c．甲，乙兩小區(qū)用氣量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：小區(qū)平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲17.2m18乙17.71915根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）寫出表中m的值；（2）在甲小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p1．在乙小區(qū)抽取的用戶中，記3月份用氣量高于它們的平均用氣量的戶數(shù)為p2．比較p1，p2的大小，并說明理由；（3）估計甲小區(qū)中用氣量超過15立方米的戶數(shù)．23．（8分）（2023?鎮(zhèn)江一模）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，點A、B、C、D、E、F都是格點．（1）從A、D、E、F四點中任意取一點，以這點及點B、C為頂點畫三角形，求所畫三角形是等腰三角形的概率；（2）從A、D、E、F四點中任意取兩點，以這兩點及點B、C為頂點畫四邊形，求所畫四邊形是平行四邊形的概率．24．（8分）（2022秋?鼓樓區(qū)校級期末）為了響應(yīng)區(qū)教育局“千師訪萬家”的新家庭教育活動，某校七年級3班的語文學(xué)科王老師、數(shù)學(xué)學(xué)科李老師決定分別利用周六上午、周日下午各自家訪一名同學(xué)，本次家訪的對象為班級第六組學(xué)習(xí)小伙伴，共有王鵬、李佳、劉丹三位同學(xué)．（1）李佳同學(xué)被王老師選為家訪對象的概率是：；（2）請利用樹狀圖或表格的形式求王老師和李老師家訪的是同一個同學(xué)的概率．25．（8分）（2023春?大豐區(qū)期中）一個不透明的袋子中裝有5個紅球、7個黑球，這些球除顏色外都相同．（1）若從中任意摸出一個球，則摸到球的可能性大；（2）如果另外拿紅球和黑球一共6個放入袋中，你認(rèn)為怎樣放才能讓摸到紅球和摸到黑球的可能性相同．26．（8分）（2023?銅山區(qū)一模）某醫(yī)院醫(yī)生為了研究該院某種疾病的診斷情況，需要調(diào)查來院就診病人的兩個生理指標(biāo)x，y，他分別在這種疾病的患者和非患者中，各隨機選取20人作為調(diào)查對象，將收集到的數(shù)據(jù)整理后，繪制統(tǒng)計圖如圖：根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）在這40名被調(diào)查者中，①指標(biāo)x大于0.5的有人；②將20名患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，20名非患者的指標(biāo)y的平均數(shù)記作，方差記作，則，（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）來該院就診的500名非患者中，估計指標(biāo)x低于0.3的大約有人；（3）若將“指標(biāo)x低于0.3，且指標(biāo)y低于0.8”作為判斷是否患有這種疾病的依據(jù)，則發(fā)生漏判的概率是多少？27．（8分）（2023?靖江市一模）經(jīng)濟學(xué)教授張銳在“緩解中小企疫情之困需政策合力”一文中提及：“保護(hù)中小企業(yè)就是保護(hù)經(jīng)濟增長的基石，為疫情之中和疫情之后的中小企業(yè)排憂解難，所有的政策能量供給都應(yīng)當(dāng)不遺余力”．某市計劃對該市的中小企業(yè)進(jìn)行財政補貼，相關(guān)行業(yè)的主管部門為了解該市中小企業(yè)的生產(chǎn)情況?隨機調(diào)查了100家企業(yè)，得到這些企業(yè)今年第一季度相對于去年第一季度產(chǎn)值增長率y的頻數(shù)分布表．增長率﹣0.60≤y＜﹣0.40﹣0.40≤y＜﹣0.20﹣0.20≤y＜00≤y＜0.200.20≤y＜0.40企業(yè)數(shù)640201816[各組數(shù)據(jù)的組中值代表各組的實際數(shù)據(jù)，說明：組中值是各小組的兩個端點的數(shù)的平均數(shù)，如﹣0.60≤y＜﹣0.40的組中值是]（1）以這100個企業(yè)為樣本，求該市中小企業(yè)今年第一季度相對于去年第一季度產(chǎn)值增長率在0≤y＜0.40范圍內(nèi)的概率；（2）該市有3000家中小企業(yè)，通過市場調(diào)研?去年該市中小企業(yè)的第一季度平均產(chǎn)值是20萬元，若要使一家中小企業(yè)保持良好的經(jīng)營狀態(tài)，必須保證其第一季度產(chǎn)值不低于19萬元，若要想讓該市增長率為負(fù)的中小企業(yè)保持良好的經(jīng)營狀態(tài)，該市至少應(yīng)準(zhǔn)備多少萬元的補貼資金？28．（8分）（2016秋?興化市期中）國家規(guī)定，中小學(xué)生每天在