第06講 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第06講二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質1.會用配方法將二次函數一般式y(tǒng)＝ax2＋bx＋c化成頂點式y(tǒng)=a(x-h)2+k，從而確定頂點坐標、對稱軸.2.掌握二次函數y=a(x-h)2+k(a≠0)的圖象的性質并會應用.3.會利用二次函數的對稱性畫出二次函數的圖象.4.掌握二次函數字母系數與圖象的關系.知識點1二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）與y=a（x-h)2+k之間的相互關系頂點式化成一般式從函數解析式我們可以直接得到拋物線的頂點(h，k)，所以我們稱為頂點式，將頂點式去括號，合并同類項就可化成一般式．一般式化成頂點式．對照，可知，．∴拋物線的對稱軸是直線，頂點坐標是．知識點2二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的畫法1.一般方法：列表、描點、連線；2.簡易畫法：五點定形法.其步驟為：(1)先根據函數解析式，求出頂點坐標和對稱軸，在直角坐標系中描出頂點M，并用虛線畫出對稱軸．(2)求拋物線與坐標軸的交點，當拋物線與x軸有兩個交點時，描出這兩個交點A、B及拋物線與y軸的交點C，再找到點C關于對稱軸的對稱點D，將A、B、C、D及M這五個點按從左到右的順序用平滑曲線連結起來．注意：當拋物線與x軸只有一個交點或無交點時，描出拋物線與y軸的交點C及對稱點D，由C、M、D三點可粗略地畫出二次函數圖象的草圖；如果需要畫出比較精確的圖象，可再描出一對對稱點A、B，然后順次用平滑曲線連結五點，畫出二次函數的圖象，知識點3二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像和性質函數二次函數（a、b、c為常數，a≠0）圖象開口方向向上向下對稱軸直線直線頂點坐標增減性在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而增大．簡記：左減右增在對稱軸的左側，即當時，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，即當時，y隨x的增大而減?。営洠鹤笤鲇覝p最大(小)值拋物線有最低點，當時，y有最小值，拋物線有最高點，當時，y有最大值，知識點4二次函數圖象和性質a、b、c及b2-4ac的符號之間的關系項目字母字母的符號圖象的特征aa＞0開口向上a＜0開口向下bab＞0(a，b同號)對稱軸在y軸左側ab＜0(a，b異號)對稱軸在y軸右側cc=0圖象過原點c＞0與y軸正半軸相交c＜0與y軸負半軸相交b2-4acb2-4ac=0與x軸有唯一交點b2-4ac＞0與x軸有兩個交點b2-4ac＜0與x軸沒有交點【題型1：二次函數的y=ax2+bx+c頂點、對稱軸與最值問題】【典例1】（2022秋?郊區(qū)期末）拋物線y＝﹣4x2+3的開口方向和頂點坐標分別是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）【變式1-1】（2022秋?鎮(zhèn)海區(qū)期末）拋物線y＝﹣3x2+6x﹣1的對稱軸是（）A．直線x＝2 B．直線x＝1 C．直線x＝﹣2 D．直線x＝﹣1【變式1-2】（2022秋?廈門期末）點A（0，5），B（4，5）是拋物線y＝ax2+bx+c上的兩點，則該拋物線的頂點可能是（）A．（2，5） B．（2，4） C．（5，2） D．（4，2）【題型2:二次函數y=ax2+bx+c圖像變換問題】【典例2】（2023?納溪區(qū)模擬）把函數y＝x2﹣2x+3的圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【變式2-1】（2023?納溪區(qū)模擬）把函數y＝x2﹣2x+3的圖象向左平移1個單位長度，平移后圖象的函數解析式為（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2﹣3【變式2-2】（2022?瀘州）拋物線y＝﹣x2+x+1經平移后，不可能得到的拋物線是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1【變式2-3】（2023?神木市一模）把拋物線y＝x2+bx+c向右平移4個單位，再向下平移3個單位，得到拋物線y＝x2﹣4x+3，則b、c的值分別為（）A．b＝﹣12，c＝32B．b＝4，c＝﹣3 C．b＝0，c＝6 D．b＝4，c＝6【題型3：二次函數y=ax2+bx+c的性質】【典例3】（2023?成都模擬）下列關于拋物線y＝x2+4x﹣5的說法正確的是（）①開口方向向上；②對稱軸是直線x＝﹣4；③當x＜﹣2時，y隨x的增大而減??；④當x＜﹣5或x＞1時，y＞0．A．①③ B．①④ C．①③④ D．①②③④【變式3-1】（2022秋?綿陽期末）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）中，y與x的部分對應值如表：x…1346…y…8182018…下列結論中，正確的是（）A．拋物線開口向上 B．對稱軸是直線x＝4 C．當x＞4時，y隨x的增大而減小 D．當x＜4.5時，y隨x的增大而增大【變式3-2】（2022秋?金水區(qū)期末）關于二次函數y＝x2+4x﹣1，下列說法不正確的是（）A．圖象與y軸的交點坐標為（0，﹣1） B．圖象的對稱軸在y軸的左側 C．圖象的頂點坐標為（﹣2，﹣5） D．當x＜2時，y的值隨x值的增大而減小【變式3-3】（2023?秦都區(qū)校級模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c上的部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應值如表：x…﹣10123…y…3﹣1m3…以下結論錯誤的是（）A．拋物線y＝ax2+bx+c的頂點坐標為（1，﹣1） B．當x＞1時，y隨x增大而增大 C．方程ax2+bx+c＝0的根為0和2 D．當y＞0時，x的取值范圍是0＜x＜2【題型4:二次函數y=ax2+bx+c的y值大小比較】【典例4】（2023?漢中二模）二次函數y＝ax2﹣2ax+c（a＞0）的圖象經過A（﹣4，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），D（5，y4）四個點，y2＜0，y4＞0，則下列結論正確的是（）A．y3y4＞0 B．y2y3＜0 C．y1y2＜0 D．y1y3＞0【變式4-1】（2023?宜州區(qū)二模）P1（﹣2，y1），P2（﹣1，y2），P3（3，y3）均在二次函數y＝x2+2x﹣3的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y1＞y3＞y2 B．y1＝y(tǒng)2＞y1 C．y3＞y1＞y2 D．y1＞y2＞y3【變式4-2】（2023?邯鄲模擬）已知點A（n﹣2，y1），B（n，y2）在二次函數的y＝﹣x2+2x+3圖象上，若y1＜y2，則n的取值范圍為（）A．n≤1 B．n＜2 C．1＜n＜2 D．n＞2【變式4-3】（2023?洞頭區(qū)二模）已知（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）是拋物線y＝﹣x2+4x+c上的點，則（）A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2【變式4-4】（2023?南崗區(qū)模擬）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2）是拋物線y＝﹣x2﹣4x+1上的點，則（）A．y2＜y1 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．y1≤y2【題型5:二次函數y=ax2+bx+c的最值問題探究】【典例5】（2022秋?江門校級期末）已知二次函數y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）在﹣2≤x≤2時有最小值﹣2，則m＝（）A．﹣4或﹣ B．4或﹣ C．﹣4或 D．4或【變式5-1】（2023?山丹縣模擬）二次函數y＝2x2﹣8x﹣2的最小值是（）A．﹣2 B．﹣10 C．﹣6 D．6【變式5-2】（2022秋?江陽區(qū)期末）若函數y＝x2﹣2x+1在a≤x≤a+2上的最小值為4，則實數a的值為（）A．﹣3或3 B．﹣1或1 C．0或2 D．2或4【變式5-3】（2022秋?鹽山縣校級期末）當y＝x2﹣6x﹣3的值最小時，x的取值是（）A．0 B．﹣3 C．3 D．﹣9【變式5-4】（2022秋?和平區(qū)校級期末）已知二次函數y＝x2﹣2x+2在m≤x≤m+1時有最小值m，則整數m的值是（）A．1 B．2 C．1或2 D．±1或2【題型6:二次函數y=ax2+bx+c的圖像問題】【典例6】（2023?興慶區(qū)校級二模）若二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數y＝bx﹣a在坐標系內的大致圖象為（）A． B． C． D．【變式6-1】（2023?綏化模擬）函數y＝ax2+bx+1和y＝ax﹣b（a是常數，且a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式6-2】（2023?新都區(qū)模擬）如圖，在同一平面直角坐標系中，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y＝acx+b的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式6-3】（2023?拱墅區(qū)模擬）二次函數y＝ax2﹣2x+1和一次函數y＝ax﹣a（a是常數，且a≠0）在同一平面直角坐標系的圖象可能是（）A． B． C． D．【題型7:二次函數y=ax2+bx+c中a,b,c系數間的關系】【典例7】（2023?梅州一模）如圖是二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象，有如下結論：①abc＞0：②a+b+c＜0：③4a+b＜0；④4a＞c．其中正確的結論有（）個．A．1 B．2 C．3 D．4【變式7-2】（2023?廣東模擬）二次函數y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有如下結論：①abc＜0；②2a﹣b+c≤0；③3b﹣2c＜0；④對任意實數m，都有2am2+2bm﹣b≥0．其中正確的有（）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【變式7-3】（2023?雁塔區(qū)校級三模）如圖，直線x＝1是二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的對稱軸，則下列結論：①abc＞0；②b+2a＝0；③3a+c＞0；④4a+2b+c＞0，正確的是（）A．②③ B．②④ C．②③④ D．①②④【變式7-4】（2023?滕州市校級模擬）在平面直角坐標系中，已知二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個結論：①abc＞0；②a﹣b＝0；③9a+3b+c＞0；④b2＞4ac；⑤a+c＜b．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個1．（2021?蘭州）二次函數y＝x2+4x+1的圖象的對稱軸是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝﹣2 D．x＝﹣42．（2021?河池）二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，下列說法中，錯誤的是（）A．對稱軸是直線x＝ B．當﹣1＜x＜2時，y＜0 C．a+c＝b D．a+b＞﹣c3．（2022?六盤水）如圖是二次函數y＝x2+bx+c的圖象，該函數的最小值是﹣4．4．（2022?鹽城）若點P（m，n）在二次函數y＝x2+2x+2的圖象上，且點P到y(tǒng)軸的距離小于2，則n的取值范圍是．5．（2022?長春）已知二次函數y＝﹣x2﹣2x+3，當a≤x≤時，函數值y的最小值為1，則a的值為．5．（2022?北京）在平面直角坐標系xOy中，點（1，m），（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）當c＝2，m＝n時，求拋物線與y軸交點的坐標及t的值；（2）點（x0，m）（x0≠1）在拋物線上．若m＜n＜c，求t的取值范圍及x0的取值范圍．6．（2022?紹興）已知函數y＝﹣x2+bx+c（b，c為常數）的圖象經過點（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．（1）求b，c的值．（2）當﹣4≤x≤0時，求y的最大值．（3）當m≤x≤0時，若y的最大值與最小值之和為2，求m的值．1．（2023?高陽縣校級模擬）拋物線y＝x2﹣2x﹣3的頂點為（）A．（1，﹣4） B．（1，4） C．（0，﹣3） D．（2，﹣3）2．（2022秋?云州區(qū)期末）已知點（﹣3，y1），（﹣2，y2），（0，y3）在函數y＝x2+4x+3的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系是（）A．y2＜y3＜y1 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y1＜y3＜y23．（2023?拱墅區(qū)模擬）將二次函數y＝5x2的圖象先向右平移3個單位，再向下平移2個單位，得到的函數圖象的解析式為（）A．y＝5（x+3）2+2 B．y＝5（x﹣3）2+2 C．y＝5（x+3）2﹣2 D．y＝5（x﹣3）2﹣24．（2023?宛城區(qū)校級模擬）將拋物線y＝x2﹣2x+1向上平移2個單位長度，再向左平移3個單位長度，得到拋物線y＝x2+bx+c，則b，c的值為（）A．b＝﹣8，c＝18 B．b＝8，c＝14 C．b＝﹣4，c＝6 D．b＝4，c＝65．（2023?碑林區(qū)校級模擬）已知二次函數y＝x2﹣2x﹣2，當y＞1時，則x的取值范圍為（）A．﹣1＜x＜3 B．﹣3＜x＜1 C．x＜﹣1或x＞3 D．x＜﹣3或x＞16．（2022秋?大連期末）畫二次函數y＝ax2+bx+c的圖象時，列表如下：x…12345…y…010﹣3﹣8…關于此函數有下列三個結論：①函數圖象開口向上；②當x＞2時，y隨x的增大而減??；③當x＝0時，y＝﹣3．其中正確的結論個數是（）A．0 B．1 C．2 D．37．（2023?鄞州區(qū)校級一模）二次函數y＝x2+bx+1中，當x＞1時，y隨x的增大而增大，則一次項系數b滿足（）A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣28．（2022秋?鹽湖區(qū)期末）二次