滬科版9直線和圓的位置關系3切線長定理

直線與圓的位置關系切線長定理

作經(jīng)過一定點C的圓的切線．思考：定點C在圓的什么位置？COO.C(1)點C在圓上．(２)點C在圓外．作法：連接OC，過點C作AB⊥OC．那么直線AB就是所要作的切線．BA證明：直線AB經(jīng)過點C，并且AB⊥OC．由切線的判定定理可知，AB就是⊙O的切線，切點是點C．作法：連接OC,以OC為直徑的圓為⊙O1，與⊙O相交于兩點P和P′.連接CP和CP′,那么CP和CP′都是過點C所引⊙O的切線．PP′O1證明：∵∠OPC是⊙O1內(nèi)半圓上的圓周角，∴∠OPC=90°.∴PC⊥OP.又∵OP是⊙O的半徑，PC經(jīng)過點C，∴PC就是所要作的切線.同理，CP′也是所要作的切線.尺規(guī)作圖：過⊙O外一點作⊙O的切線O·PABO請跟我做在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長·OPAB切線與切線長是一回事嗎？切線長概念··它們有什么區(qū)別與聯(lián)系呢？

切線和切線長是兩個不同的概念：1、切線是一條與圓相切的直線，不能度量；2、切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量。切線和切線長OPAB比一比

OABP思考：已知⊙O切線PA、PB，A、B為切點，把圓沿著直線OP對折,你能發(fā)現(xiàn)什么?12折一折請證明你所發(fā)現(xiàn)的結論。APOBPA=PB∠OPA=∠OPB證明：∵PA，PB與⊙O相切，點A，B是切點∴OA⊥PA，OB⊥PB即∠OAP=∠OBP=90°∵OA=OB，OP=OP

∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)∴PA=PB∠OPA=∠OPB試用文字語言表達你所發(fā)現(xiàn)的結論證一證PA、PB分別切⊙O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提供新的方法OPAB

切線長定理APOB假設連結兩切點A、B，AB交OP于點M.你又能得出什么新的結論?并給出證明.OP垂直平分AB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分ABM試一試APO。B假設延長PO交⊙O于點C，連結CA、CB，你又能得出什么新的結論?并給出證明.CA=CB證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點A，B是切點∴PA=PB∠OPA=∠OPB

∴PC=PC∴△PCA≌△PCB∴AC=BCC。PBAO〔3〕連結圓心和圓外一點〔2〕連結兩切點〔1〕分別連結圓心和切點反思：在解決有關圓的切線長問題時，往往需要我們構建根本圖形。想一想例1、如圖，AB是⊙O的直徑，AC、BD、CD都是⊙O的切線，A、B、E是切點，連接CO、DO。(1)求證：AC+BD=CD；(2)求∠DOC的度數(shù)。OABCDE例題講解例2、如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA和圓⊙O分別相切于點L、M、N、P，求證：AD+BC=AB+CDDLMNABCOP證明：由切線長定理得∴AL=AP，LB=MB,NC=MC，DN=DP∴AL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP即AB+CD=AD+BC隨堂訓練(2)觀察OP與BC的位置關系，并給予證明。(1)假設OA=3cm,∠APB=60°，那么PA=______.PABCOM如圖，AC為⊙O的直徑，PA、PB分別切⊙O于點A、B，OP交⊙O于點M，連結BC。一判斷〔1〕過任意一點總可以作圓的兩條切線〔〕〔2〕從圓外一點引圓的兩條切線，它們的長相等?！病尘毩?1)如圖PA、PB切圓于A、B兩點，連結PO，則度。25PBOA二填空選擇三、綜合練習：如圖PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點。直線OP交⊙O于D、E，交AB于C。OPABCDE（1）圖中互相垂直的關系有對，分別是〔2〕圖中的直角三角形有個，分別是等腰三角形有個，分別是（3）圖中全等三角形對，分別是（4）如果半徑為3cm，PO=6cm，則點P到⊙O的切線長為

cm，兩切線的夾角等于度362360Rt△OAP,Rt△OAP,Rt△ACORt△ACP,Rt△BCO,Rt△BCP△AOB,△APB△OAP≌△OBP△OCA≌△OCB△ACP≌△BCP〔2〕OA=3cm,OP=6cm，那么∠APB=PABCO60°〔4〕OP交⊙O于M，那么，ＡＢＯＰＡＭ＝ＢＭ⌒⌒M⊥牛刀小試〔3〕假設∠P=70°，那么∠AOB=°110〔1〕假設PA=4、PM=2，求圓O的半徑OAOA=3：如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點分別是A、B，Q為AB上一點，過Q點作⊙O的切線，交PA、PB于E、F點，PA=12CM，求△PEF的周長。EAQPFBO易證EQ=EA,FQ=FB,PA=PB∴PE+EQ=PA=12cmPF+FQ=PB=PA=12cm∴周長為24cm牛刀再試切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。APO。BECD∵PA、PB分別切⊙O于A、B∴PA=PB,∠OPA=∠OPBOP垂直平分AB

切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應用。我們學過的切線，常有五個性質：1、切線和圓只有一個公共點；2、切線和圓心的距離等于圓的半徑；3、切線垂直于過切點的半徑；4、從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。六個練習1.如圖，AB是⊙O的直徑，AD