3.1勾股定理（2）（分層練習）解析版

3.1勾股定理（2）分層練習考查題型一驗證勾股定理1．（2021·山西·統(tǒng)考中考真題）在勾股定理的學習過程中，我們已經(jīng)學會了運用以下圖形，驗證著名的勾股定理：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，簡稱為“無字證明”．實際上它也可用于驗證數(shù)與代數(shù)，圖形與幾何等領(lǐng)域中的許多數(shù)學公式和規(guī)律，它體現(xiàn)的數(shù)學思想是（

）A．統(tǒng)計思想 B．分類思想 C．數(shù)形結(jié)合思想 D．函數(shù)思想【答案】C【解析】解：根據(jù)圖形直觀推論或驗證數(shù)學規(guī)律和公式的方法，如勾股定理的推導是根據(jù)圖形面積轉(zhuǎn)換得以證明的，由圖形到數(shù)學規(guī)律的轉(zhuǎn)化體現(xiàn)的數(shù)學的思想為：數(shù)形結(jié)合思想，故選：C．2．（2022·山東德州·統(tǒng)考一模）勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端．下面四幅圖中不能證明勾股定理的是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】解:A、兩個以a和b為直角邊三角形面積與一個直角邊為c的等腰直角三角形面積和等于上底為a,下第為b,高為(a+b)的梯形面積，故12ab+12B、以a與b為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為c的小正方形面積和等于以a+b的和為邊正方形面積，故4×12ab+cC、以a與（a+b）為兩直角邊四個全等三角形面積與邊長為b的小正方形面積和等于以c為邊正方形面積，4×12aa+bD、四個小圖形面積和等于大正方形面積，2ab+a2故選：D．3．（2022·福建龍巖·校考一模）觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，a>b，根據(jù)圖中圖形面積之間的關(guān)系及勾股定理，可直接得到等式（

）A．a(chǎn)(a-b)=a2-abC．(a-b)2=a【答案】C【解析】標記如下：∵S正方形∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4×＝a2﹣2ab+b2．故選：C．4．（2023·陜西西安·校考模擬預測）我國三國時期數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形.若大正方形的面積為25，每個直角三角形兩直角邊的和為7，求中間小正方形的邊長．

【答案】1【解析】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊中較長邊為a，較短邊為b，∴大正方形的邊長為a2+b由題意得：a2∴2ab=a+b∴a-b2∴a-b=1,∴小正方形的邊長為：4-3=1．5．（2020秋·四川成都·八年級成都七中?？奸_學考試）勾股定理是畢達哥拉斯定理的中國稱謂，它揭示了直角三角形三邊的數(shù)量關(guān)系：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，中國是發(fā)現(xiàn)、研究和運用勾股定理最古老的國家之一，我國古稱直角三角形的直角邊為“勾”或“股”，斜邊為“弦”，因而將這條定理稱為勾股定理．請你從以下圖形中，任意選擇一個來證明這個定理．【解析】方法一：由（1）圖可知：S正又∵S正∴a2∴a2+方法二：由（2）圖可知：S正又∵S=2ab+a∴a2+方法三：由（3）圖可知：S=1又∵S梯形∴12∴a26．（2022·四川涼山·四川省涼山州民族中學校聯(lián)考模擬預測）勾股定理神秘而美妙，它的證法多樣，其巧妙各有不同，其中的“面積法”給了小聰以靈感，他驚喜的發(fā)現(xiàn)；當兩個全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時，都可以用“面積法”來證明，下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過程：將兩個全等的直角三角形按圖1所示擺放，其中∠DAB＝90°，求證：a2+b2＝c2．證明：連接DB，過點D作DF⊥BC交BC的延線于點F，則DF＝EC＝b﹣a．∵S四邊形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝12b2+1又∵S四邊形ADCB＝S△ADB+S△DBC＝12c2+12a（b﹣∴12b2+12ab＝12c2+12a（∴a2+b2＝c2請參照上述證法，利用圖2完成下面的證明：將兩個全等的直角三角形按圖2所示擺放，其中∠DAB＝90°．求證：a2+b2＝c2．【解析】證明：如圖，連接BD，過點B作DE邊上的高BF，可得BF=b-a∵S四邊形ADEB=S∵∠DAB=90°,∴S四邊形ADEB=∴∴考查題型二運用勾股定理解決問題1．（2019秋·廣東佛山·八年級佛山市惠景中學?？茧A段練習）已知一個直角三角形兩邊長分別為3和5，這第三邊長的平方是（

）A．16 B．16或34 C．16或31 D．34【答案】B【解析】當?shù)谌吺侵苯沁厱r，則可設(shè)第三邊為斜邊值x，由勾股定理得：x2當?shù)谌吺切边厱r，則可設(shè)第三邊直角邊值x，由勾股定理得：x2故答案為：B．2．（2019·山東·?？级＃┰赗t△ABC中，斜邊BC=2，則AB2A．4 B．6 C．8 D．無法計算【答案】C【解析】解：∵在Rt△ABC中，斜邊為BC∴BC2∵BC=2，∴4=AB∴AB故選C．3．（2019·貴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點E在正方形ABCD的邊AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD的面積為．【答案】3．【詳解】解：由勾股定理得，BC=E∴正方形ABCD的面積=BC故答案為3．4．（2021·湖南長沙·九年級學業(yè)考試）如圖，等腰三角形ΔABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，若AB=5?cm，BC=6?cm，則AD=【答案】4【解析】∵等腰三角形ΔABC中，AB=AC，AD是底邊上的高，∴AD是△ABC中BC邊上的中線，∴BD=DC，∵BC=6?cm∴DB=3cm，∵AB=5?cm∴AD故答案為4.5．（2023秋·八年級單元測試）如圖，一架梯子AB長5m，斜靠在一面豎直的墻上．若要使梯子頂端離地面的豎直高度AC為4.8m，求此時梯子底端離墻的距離BC．【解析】解：∵△ABC是直角三角形，∴BC=答：此時梯子底端離墻的距離為1.4m．6．（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，AC=20，BC=15．求CD【答案】CD=12，AD=16【解析】∵∠ACB=90°，AC=20，∴AB=A根據(jù)直角三角形的面積公式，得CD=AC?BC在Rt△ACD中，AD=1．（2023春·廣東河源·八年級?？奸_學考試）如圖，RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4.A．16 B．18 C．20 D．22【答案】B【解析】解：過F作AM的垂線交AM于D，連接PF，設(shè)CP和AF的交點為T，EF和CM的交點為K，可得Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，所以S2=SRt△ABC．由Rt△DFK≌Rt△CAT可進一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，∴S3=S△FPT，又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，∴S1+S3=SRt△AQF=SRt△ABC．易證Rt△ABC≌Rt△EBN，∴S4=SRt△ABC，∴S1+S2+S3+S4=（S1+S3）+S2+S4=SRt△ABC+SRt△ABC+SRt△ABC=SRt△ABC×3=4×3÷2×3=18．故選：B．2.（2022秋·八年級單元測試）閱讀理解：我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長為c的大正方形中放四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c）．(1)請根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：(2)小亮將“弦圖”中的2個三角形進行了運動變換，得到圖2，請利用圖2證明勾股定理；問題解決：(3)如圖2，若a=6，b=8，此時空白部分的面積為__________；(4)如圖3，將這四個直角三角形緊密地拼接，形成風車狀，已知外圍輪廓（實線）的周長為24，OC=3，求該風車狀圖案的面積．【解析】（1）證明：由圖可知，每個直角三角形的面積為S△空白小正方形的面積為S小正方形整個圍成的大正方形的面積為S大正方形∵S大正方形=S故c2（2）如下圖所