反比例函數(shù)（原卷版）

18.3反比例函數(shù)1.理解反比例關系，能判斷兩個變量是否成反比例關系；2.理解反比例函數(shù)，會用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式；3.會用描點法畫反比例函數(shù)的圖像，知道反比例函數(shù)的圖像是雙曲線，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)；4.能根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì),確定反比例函數(shù)中參數(shù)的范圍；5.能運用正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的知識以及待定系數(shù)法，確定一個涉及正比例關系和反比例關系的解析式.知識點一反比例函數(shù)的概念反比例如果兩個變量的每一組對應值的乘積是一個不等于零的常數(shù),那么就說這兩個變量成反比例.2.正比例函數(shù)基本概念(1)概念：形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù).(2)定義域：不等于零的一切實數(shù).(3)值域：不等于零的一切實數(shù)注意：（1）函數(shù)解析式右邊是一個分式，分子是不為零的常數(shù)(也叫做比例系數(shù)),分母是自變量;（2）因為,,所以反比例函數(shù)上的函數(shù)值也不等于零.(4)解析式表達形式：①普通形式：;②其他形式：第一種：第二種：學生問：為什么？學生問：為什么？老師說：反比例函數(shù)解析式中的,成反比例,無論變量,怎樣變化,的值始終等于與的乘積,因此人們習慣上稱,則恒成立,為一個常數(shù)函數(shù)，失去了反比例函數(shù)的意義.即學即練1下列函數(shù)中，不是反比例函數(shù)的是（

）A．y=x3 B．y=3x C．即學即練2（2023春·江蘇蘇州·八年級校考階段練習）已知一個反比例函數(shù)為y=m+2xm知識點二反比例函數(shù)的畫法及圖像（1）列表:列出自變量的幾對互為相反數(shù)的值,并算出對應的的值，注意:不能為0.（2）描點:以列表中每一組,的對應值作為點的橫、縱坐標,在平面直角坐標系中描出這些坐標所對應的各點（描的點越多，畫出的反比例函數(shù)圖像越準確）（3）連線:在軸的每一側,按照從左到右的順序分別用一條光滑的曲線聯(lián)結,再向兩方伸展反比例函數(shù)的圖像叫做雙曲線,它有兩支,每支都是向兩方無限伸展,它的圖像向軸軸無限接近，但永遠都無法到達.即學即練（2023秋·山東臨沂·九年級統(tǒng)考期末）已知，在△ABC中，BC邊的長為x，BC邊上的高為y，ΔABC的面積為x…1234…y…6321.5…(1)根據(jù)小華的列表直接寫出y關于x的函數(shù)關系式______，x的取值范圍是______．(2)請你在如圖所示的坐標系中幫助他描點并連線，畫出此函數(shù)圖象；(3)如果Mx1,y1，Nx2知識點三反比例函數(shù)的性質(zhì)反比例函數(shù)k的符號k＞0k＜0圖像圖像的兩支都無限接近于軸和軸，不會與軸和軸相交性質(zhì)圖像的兩支分別位于第一、三象限,在每個象限內(nèi),當自變量的值逐漸增大時，的值隨著逐漸減小圖像的兩支分別位于第二、四象限,在每個象限內(nèi),當自變量的值逐漸增大時，的值隨著逐漸增大知識點四比例系數(shù)k的幾何意義1.與兩坐標軸圍成的矩形的面積如圖，過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線PM，PN，分別交軸、軸于點M，N，所得矩形PMON的面積因為，所以所以，即過雙曲線上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.如圖，過雙曲線上任意一點E作EF垂直于軸，交軸于點F，聯(lián)結EO，則＝，即過雙曲線上任意一點坐標軸的垂線，則以這一點、原點和垂足為頂點的三角形的面積為.即學即練（2023春·江蘇·八年級期末）如圖，兩個反比例函數(shù)y=4x和y=2x在第一象限內(nèi)的圖象分別是C1和C2，設點P在C1上，PA⊥x軸于點A，交C2于點B，則△A．1 B．2 C．4 D．無法計算知識點五反比例函數(shù)解析式的確定待定系數(shù)法.（1）設:設反比例函數(shù)解析式為.（2）代:將已知條件代入函數(shù)解析式，建立關于的方程.（3）解:解關于的方程得到的值.（4）寫:寫出反比例函數(shù)解析式.即學即練如圖，已知反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過第二象限內(nèi)的點A（－1，m），AB⊥x軸于點B，△AOB的面積為2．若直線y=ax+b經(jīng)過點A，并且經(jīng)過反比例函數(shù)的圖象上另一點C（（1）求反比例函數(shù)y=kx與直線y=ax+（2）連接OC，求△AOC的面積；（3）根據(jù)所給條件，直接寫出不等式ax+b≥k題型一用反比例函數(shù)描述數(shù)量關系例1（2023春·上海浦東新·九年級?？茧A段練習）在平面直角坐標系中，如果一個點的橫坐標與縱坐標相等，則稱該點為“雁點”．例如1,1，2023,2023，……，都是“雁點”，函數(shù)y=4x圖像的“雁點”坐標為舉一反三1（2023·北京·九年級專題練習）下面的三個問題中都有兩個變量：①矩形的面積一定，一邊長y與它的鄰邊x；②某村的耕地面積一定，該村人均耕地面積S與全村總人口n；③汽車的行駛速度一定，行駛路程s與行駛時間t．其中，兩個變量之間的函數(shù)關系可以用如圖所示的圖象表示的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③舉一反三2（2022秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）下列關系式中的兩個量成反比例的是(

)A．圓的面積與它的半徑； B．正方形的周長與它的邊長；C．路程一定時，速度與時間； D．長方形一條邊確定時，周長與另一邊．題型二根據(jù)定義判斷是否是反比例函數(shù)例2（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┫铝姓f法不成立的是（

）．A．在y=2x+1中，y?1與x成正比 B．在y=1x+1中，y?1C．若yx=3，則x，y成正比 D．若xy=0，則x，舉一反三1（2020秋·上海浦東新·八年級校聯(lián)考期末）下列四組點中，可以在同一個反比例函數(shù)圖像上的一組點是（

）A．(2,?1),(1,?2) B．(2,?1),(1,2)C．(2,?1),(2,1) D．(2,?1),(?2,?1)舉一反三2（2019秋·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ惺形鞒跫壷袑W?？计谀┤绻苯侨切蔚拿娣e一定，那么下列關于這個直角三角形邊的關系中，正確的是(

)A．兩條直角邊成正比例 B．兩條直角邊成反比例C．一條直角邊與斜邊成正比例 D．一條直角邊與斜邊成反比例題型三根據(jù)反比例函數(shù)的定義求參數(shù)例3（2022秋·上海普陀·八年級校考期中）已知函數(shù)y=k?1x是反比例函數(shù)，則k舉一反三1（2022秋·上海寶山·八年級?？计谀┮阎簓=y1+y2，y1與x+1成正比例，y2與x成反比例．當x=1時，y=7；當x=3舉一反三2已知y=y1+y2，y1與x成正比例，y2與x2成反比例，當（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）當x=3時，求y的值．題型四求反比例函數(shù)值例4（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知fx=6x舉一反三1（2022秋·上海·八年級期末）已知y與x+1成反比例，且當x=1時，y=2；求：當x=0時，y的值．舉一反三2（2021秋·上海浦東新·八年級上海市建平實驗中學?？计谀┙曆坨R的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）呈反比例，其函數(shù)關系式為y=100x，如果近似眼鏡鏡片的焦距x=0.25米，那么近視眼鏡的度數(shù)y為題型五由反比例函數(shù)值求自變量例5（2023春·上海嘉定·八年級校考開學考試）以下選項中的各點，不在反比例函數(shù)y=2x圖象上的是（A．1,2 B．2,1 C．?1,2 D．?1,?2舉一反三1（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谀┤鐖D，將一個長方形放置在平面直角坐標系中，OA=4，OC=6，點E是AB的中點，反比例函數(shù)圖像過點E且和BC相交于點F．(1)求直線OB和反比例函數(shù)的解析式；(2)求四邊形OEBF的面積．舉一反三2（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀┻B結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.如圖1，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，則DE∥BC，且DE=12BC.試用三角形中位線的性質(zhì)解決下列問題：如圖2，函數(shù)y=12x(x>0)的圖像經(jīng)過△OAB的頂點和邊的AB中點C，分別過B、C作BD⊥x軸，CE⊥x軸，垂足分別為D,E,CE是△ABDB的橫坐標為題型六判斷(畫)反比例函數(shù)圖象例6（2023秋·廣東東莞·九年級校聯(lián)考期末）關于函數(shù)y=?2x，下列說法中正確的是（A．圖像位于第一、三象限 B．圖像與坐標軸沒有交點C．圖像是一條直線 D．y的值隨x的值增大而減小舉一反三1（2022秋·上?！ぐ四昙壠谀﹨⒄辗幢壤瘮?shù)研究的內(nèi)容與方法，研究下列函數(shù)：(1)研究函數(shù)y=1(2)研究函數(shù)y=1(3)由（1）（2）的圖像經(jīng)過平移，你還能得出怎樣的函數(shù)圖像與性質(zhì)，請舉例說明；(4)研究函數(shù)y=4x+5舉一反三2（2022·上海長寧·統(tǒng)考二模）關于反比例函數(shù)y＝4xA．y的值隨x的值增大而減小B．它的圖象在第一、三象限C．它的圖象是雙曲線D．若點（a，b）在它的圖象上，則點（b，a）也在它的圖象上題型七已知反比例函數(shù)的圖象，判斷其解析式例7（2019秋·上海浦東新·九年級?？计谥校┰诤瘮?shù)y=kx（k>0）的圖像上有三點A1（x1，y1）.A2（x2.y2）.A3（x3.y3），若x1<x2<0<xA．y1<y2<y3 B．y3<y2<y1 C．y2<y1<y3 D．y3<y1<y2舉一反三1（2023秋·浙江金華·九年級義烏市繡湖中學教育集團?？奸_學考試）如圖是三個反比例函數(shù)y1=k1x，y2=k2x，A．k1<k2<k3 B．舉一反三2（2022·廣東湛江·校聯(lián)考二模）如圖，P是反比例函數(shù)圖象上的一點，點P與坐標軸圍成的矩形面積為3，則反比例函數(shù)的解析式為．題型八由反比例函數(shù)圖象的對稱性求點的坐標例8（2020秋·上?！ぐ四昙壭？计谀┮阎瘮?shù)y=2x與y=kx的圖像的一個交點坐標是（1，2），則它們的圖像的另一個交點的坐標是舉一反三1（2021春·上海寶山·九年級統(tǒng)考期中）我們把直角坐標平面內(nèi)橫、縱坐標互相交換的兩個點稱為“關聯(lián)點對”，如點A2,3和點B3,2為一對“關聯(lián)點對”．如果反比例函數(shù)y=10x在第一象限內(nèi)的圖像上有一對“關聯(lián)點對”，且這兩個點之間的距離為32舉一反三2（2020秋·八年級?？茧A段練習）在同一平面直角坐標系中，正比例函數(shù)y＝k1x的圖像與反比例函數(shù)y=k2x題型九已知雙曲線分布的象限，求參數(shù)范圍例9（2023秋·上海靜安·八年級上海市風華初級中學?？计谀┮阎幢壤瘮?shù)y=2k+1x的圖像在第二、四象限，那么k的取值范圍是舉一反三2（2022秋·上海·八年級?？计谥校┮阎幢壤瘮?shù)y=m?1x的圖像上兩點Ax1,y1、Bx2舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┮阎幢壤瘮?shù)y=2m?6x的圖象在第二、四象限，則m的取值范圍是題型十判斷反比例函數(shù)的增減性例10（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┮阎幢壤瘮?shù)y=kx的圖象經(jīng)過3,?1，那么對此函數(shù)描述正確（A．y隨x增大而增大 B．x<0時，y隨x增大面減小C．y隨x增大而減小； D．x<0時，y隨x增大而增大舉一反三2（2023·上海崇明·統(tǒng)考二模）已知一個反比例函數(shù)圖像經(jīng)過點P?2,3，則該反比例函數(shù)的圖像在各自的象限內(nèi)，函數(shù)值y隨自變量x的值逐漸增大而舉一反三2（2023·上海楊浦·統(tǒng)考三模）平面直角坐標系xOy中，若點A(x1,2)和B(x2A．x1>x2>0 B．x2題型十一判斷反比例函數(shù)圖象所在象限例11（2023·上海奉賢·統(tǒng)考二模）下列函數(shù)圖像中，可能是反比例函數(shù)y=6x的圖像的是（A．

B．

C．

D．

舉一反三2（2023秋·上海楊浦·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)y=2?kxk<0A．第一、三象限 B．第一、二象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限舉一反三2（2022秋·上海金山·八年級校聯(lián)考期末）關于反比例函數(shù)y=3x，下列說法中錯誤的是（A．它的圖象是雙曲線B．它的圖象在第一、三象限C．y的值隨x的值增大而減小D．若點（a,b）在它的圖象上，則點題型十二已知反比例函數(shù)的增減性求參數(shù)例12（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┓幢壤瘮?shù)y=1?mx圖像經(jīng)過A1,y1、B2,y舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級校考期中）設p，q都是實數(shù)，且p<q．我們規(guī)定：滿足不等式p≤x≤q的實數(shù)x的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為[p,q]．對于一個函數(shù)，如果它的自變量x與函數(shù)值y滿足：當p≤x≤q時，有p≤y≤q，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間[p,q]上的“閉函數(shù)”．請寫出一個閉區(qū)間[1,2022]上的“閉函數(shù)”：．舉一反三2（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤舴幢壤瘮?shù)y=3k?4x在每一象限內(nèi)，y隨x的減小而減小，則k的取值范圍是題型十三比較反比例函數(shù)值或自變量的大小例13（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┰诤瘮?shù)y=k+1x的圖像上有三點A1(x1,y1)舉一反三1（2021秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A2020，?2021，Bx1，y1、CxA．y1<y2 B．y1舉一反三2（2023·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如果點?2,y1、?1,y2、2,yA．y1>y2>y3 B．題型十四已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積例14（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，點P在反比例函數(shù)y=kx（x>0）第一象限的圖像上，PQ垂直x軸，垂足為Q，設△POQ和面積是s，那么s與k之間的數(shù)量關系是（A．s=k4 B．s=k2 舉一反三1（2022秋·上?！ぐ四昙壭？计谥校┤鐖D，已知正方形OABC的面積為9，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B在函數(shù)y=kx（k>0，x>0）圖象上，點P是函數(shù)y=kx（k>0，x>0）圖象上異于點B的任意一點，過點P分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為點E、F．設矩形OFPE和正方形(1)點B的坐標是______，k=______；(2)當S=92，求點(3)求出S關于m的函數(shù)關系式．舉一反三2（2022秋·上海閔行·八年級校考階段練習）如圖，點P1、P2、P3、P4在反比例函數(shù)y=2x舉一反三3（2022秋·上海徐匯·八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，點A、B、C為反比例函數(shù)y=kx（k＞0）上不同的三點，連接OA、OB、OC，過點A作AD⊥y軸于點D，過點B、C分別作BE，CF垂直x軸于點E、F，OC與BE相交于點M，記△AOD、△BOM、四邊形CMEF的面積分別為S1、S2、S3A．S1=S2+S3 B．S2=S3C．S3＞S2＞S1 D．S1S2＜S32題型十五根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)(解析式)例15（2022秋·上海奉賢·八年級?？计谥校┮阎狿是反比例函數(shù)圖象上的點，若PA⊥x軸，且△PAO的面積是3，那么反比例函數(shù)的解析式是．舉一反三1（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谀┓幢壤瘮?shù)在第二象限內(nèi)的圖像上有一點A，過A作AB⊥x軸于點B，聯(lián)結OA，已知△OAB的面積為4．則反比例函數(shù)的解析式為舉一反三2（2022秋·上海青浦·八年級?？计谥校┤鐖D，A為反比例函數(shù)y=kxk<0的圖象上一點，AP⊥y(1)聯(lián)結AO，當S△APO(2)聯(lián)結AO，若A?1,2，y軸上是否存在點M，使得S△APM=(3)點B在直線AP上，且PB=3PA，過點B作直線BC∥y軸，交反比例函數(shù)的圖象于點C，若△PAC的面積為4，求題型十六求反比例函數(shù)解析式例16（2022秋·上海·八年級?？计谥校┤鐖D，正比例函數(shù)y=kxk≠0與反比例函數(shù)y=?2x的圖像交于點A?1,m和點B．求舉一反三1（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）已知反比例函數(shù)y=kx的圖像經(jīng)過點(1)求k的值；(2)完成下面的解答過程．解不等式組x+3>1解：解不等式①，得______；在方格中畫出反比例函數(shù)y=k把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；從圖中可以找出這兩個不等式解集的公共部分，得到原不等式組的解集是______．舉一反三2（2023·上海嘉定·統(tǒng)考二模）如果反比例函數(shù)y=a?1x的圖像經(jīng)過點1,?2，那么這個反比例函數(shù)的解析式為題型十七實際問題與反比例函數(shù)例17（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）近視眼鏡的度數(shù)y（度）與鏡片焦距x（米）成反比例，已知400度的近視眼鏡鏡片的焦距為0.25米，那么眼鏡度數(shù)y關于鏡片焦距x的函數(shù)解析式是．舉一反三1（2022秋·上海寶山·八年級統(tǒng)考期末）辦公區(qū)域的自動飲水機，開機加熱時水溫每分鐘上升20℃，水溫到100℃時停止加熱，此后水溫開始下降．水溫y（℃）與開機通電時間x(min)成反比例關系．若水溫在20℃(1)水溫從20℃加熱到100℃，需要(2)求水溫下降過程中，y與x的函數(shù)關系式，并寫出定義域；(3)如果上午8點接通電源，那么8：20之前，不低于80℃舉一反三2（2023秋·上海徐匯·八年級上海市徐匯中學?？计谀?jù)醫(yī)學研究，使用某種抗生素可治療心肌炎，某一患者按規(guī)定劑量服用這種抗生素，已知剛服用該抗生素后，血液中的含藥量y（微克）與服用的時間x成正比例藥物濃度達到最高后，血液中的含藥量y（微克）與服用的時間x成反比例，根據(jù)圖中所提供的信息，回答下列問題：(1)抗生素服用_______小時時，血液中藥物濃度最大，每毫升血液的含藥量有____微克；(2)根據(jù)圖象求出藥物濃度達到最高值之后，y與x之間的函數(shù)解析式及定義域；(3)求出該患者服用該藥物10小時時每毫升血液的含藥量y．題型十八反比例函數(shù)與幾何綜合例18（2021秋·上海青浦·八年級校考期末）在平面直角坐標系的第一象限內(nèi)，邊長為1的正方形ABCD的邊均平行于坐標軸，A點的坐標為a,a．(1)如圖1，如果正方形的頂點B在直線y=12x(2)如圖2，若雙曲線y=3x(x>0)舉一反三1（2021秋·上?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A、C在坐標軸上，點B的坐標是2，2．