甘肅省蘭州市教育局第四片區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

20232024學(xué)年第一學(xué)期聯(lián)片辦學(xué)期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題：本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在數(shù)列，，，，，，中，是它的（）A．第8項(xiàng) B．第9項(xiàng) C．第10項(xiàng) D．第11項(xiàng)2．?dāng)?shù)列，，，，的一個(gè)通項(xiàng)公式為（）A． B． C． D．3．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個(gè)面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)）一次，觀察擲出向上的點(diǎn)數(shù)，設(shè)事件A為鄭出向上為小于5的偶數(shù)點(diǎn)，事件B為鄭出向上為3點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．朱世杰是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數(shù)”五問中有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉(zhuǎn)多七人，每人日支米三升．”其大意為“官府陸續(xù)派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人，修筑堤壩的每人每天分發(fā)大米3升．”在該問題中前7天共分發(fā)多少升大米？（）A．1170 B．1440 C．1785 D．17725．已知直線的方程是，的方程是，則下列各圖形中，正確的是（）A． B． C． D．6．已知數(shù)列滿足，若，則（）A．2 B． C． D．7．在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，若，是方程的兩個(gè)根，那么的值為（）A．88 B． C．110 D．8．已知隨機(jī)事件A，B，C中，A與B互斥，B與C對(duì)立，且，，則（）二、多選題：本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（）A． B． C． D．10．下列結(jié)論正確的是（）A．若為等比數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則，，是等比數(shù)列B．若為等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，則，，是等差數(shù)列C．若為等差數(shù)列，且m，n，p，q均是正數(shù)，則“”是“”的充要條件D．滿足（且）的數(shù)列為等比數(shù)列11．口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個(gè)形狀大小完全相同的小球，從中任取2球，事件“取出的兩球同色”，“取出的2球中至少有一個(gè)黃球”，“取出的2球中至少有一個(gè)白球”，“取出兩個(gè)球不同色”，“取出的2球中至多有一個(gè)白球”．下列判斷中正確的是（）A．事件A與D為對(duì)立事件 B．事件B與C是互斥事件C．事件C與E為對(duì)立事件 D．事件12．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A．是遞增數(shù)列 B．C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)或4時(shí)，取得最大值第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．直線的一個(gè)法向量______．14．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行投籃比賽，甲投籃命中的概率為，乙投籃命中的概率為，在每次投籃中，甲和乙投籃是否命中相互沒有影響．甲乙各投籃一次，恰好有1人命中的概率為______．（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）15．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若，則______．16．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．17．（10分）袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是．求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為．（1）求，；（2）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．19．（12分）根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程．（1）求經(jīng)過、兩點(diǎn)的直線方程；（2）求在x軸、y軸上的截距分別是、的直線方程；（3）求經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線方程．20．（12分）設(shè)數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且．（1）證明數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．21．（12分）直線l的方程為．（1）證明：直線l恒經(jīng)過第一象限；（2）若直線l一定經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍．22．（12分）已知等差數(shù)列滿足，，公比不為的等比數(shù)列滿足，．（1）求與的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和．20232024學(xué)年度高中數(shù)學(xué)期中考試卷參考答案1．B【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得到結(jié)果．【詳解】由題意可得，數(shù)列的通項(xiàng)公式為，令，解得．故選：B2．B【分析】根據(jù)所給數(shù)列前幾項(xiàng)，尋找規(guī)律，代入選項(xiàng)檢驗(yàn)即可．【詳解】由數(shù)列的前幾項(xiàng)可知，分母為相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積，并且正負(fù)相間，代入驗(yàn)證知，故選：B3．C【分析】根據(jù)事件的運(yùn)算結(jié)合古典概型運(yùn)算求解．【詳解】由題意可知：樣本空間，，，則，可得，，所以．故選：C．4．C【分析】建立等差數(shù)列模型，根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求得結(jié)果．【詳解】由題意得，每天分發(fā)的大米升數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，則，記第一天共分發(fā)大米為（升），則前7天共分發(fā)大米（升）．故選：C．5．D【分析】有條件知，兩直線的斜率均存在且不為0，寫出它們的斜截式方程后再進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵，∴直線與直線的斜率均存在∴直線的斜截式方程為；直線的斜截式方程為對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)小于0，直線的縱截距應(yīng)小于0，故A圖象不符合；對(duì)于B選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在y軸上的截距應(yīng)小于0，故B圖象不符合；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在y軸上的截距應(yīng)大于0，故C圖象不符合；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)直線的圖象可知，且，因此直線的斜率應(yīng)大于0，在y軸上的截距應(yīng)大于0，故D圖象符合．故選：D．6．A【分析】從特殊到一般的思想方法，求出幾項(xiàng)的值尋找規(guī)律．【詳解】因?yàn)?，，所以，，；所以的周期?，所以．故選：A．7．D【分析】由根與系數(shù)關(guān)系得，再根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式、下標(biāo)和性質(zhì)求．【詳解】由題設(shè)，而．故選：D8．C【分析】由對(duì)立事件概率關(guān)系得到B發(fā)生的概率，再由互斥事件的概率計(jì)算公式即可．【詳解】因?yàn)?，事件B與C對(duì)立，所以，又，A與B互斥，所以，故選：C．9．AC【分析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可．【詳解】當(dāng)截距為0時(shí)，過點(diǎn)和原點(diǎn)，直線方程為，即，當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)直線方程為，可得，∴，所以直線方程為，故選：AC．10．BD【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)及等比數(shù)列定義判斷，利用特例判定其余錯(cuò)誤選項(xiàng)．【詳解】若為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，，是的前n項(xiàng)和，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，，，，，不是等比數(shù)列，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；若為等差數(shù)列，是的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為d，則，，，所以，，是等差數(shù)列，所以B選項(xiàng)正確；為等差數(shù)列，考慮，，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)等比數(shù)列定義，數(shù)列，（且）的數(shù)列為等比數(shù)列，所以D選項(xiàng)正確．故選：BD11．AD【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的知識(shí)確定正確答案．【詳解】設(shè)是樣本空間，A選項(xiàng)，由于，，所以A與D是對(duì)立事件，A選項(xiàng)正確．B選項(xiàng)，由于“取出的2球中，一個(gè)黃球一個(gè)白球”，所以B與C不是互斥事件，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．C選項(xiàng)，由于“取出的2球中，恰好有1個(gè)白球”，所以C與E不是對(duì)立事件，C選項(xiàng)錯(cuò)誤．D選項(xiàng)，由于，所以，所以D選項(xiàng)正確．故選：AD12．BCD【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到，單調(diào)遞減，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由通項(xiàng)公式直接求解即可；C選項(xiàng)，解不等式即可；D選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸可得D正確．【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又，所以，因?yàn)?，則是遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由可得，故B正確；C選項(xiàng)，令，解得，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，開口向下，又，所以當(dāng)或4時(shí)，取得最大值，故D正確．故選：BCD．13．（答案不唯一）【分析】根據(jù)給定直線方程求出其方向向量，再由法向量的意義求解作答．【詳解】直線的方向向量為，而，所以直線的一個(gè)法向量．故答案為：14．【分析】利用獨(dú)立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有1人命中的概率．【詳解】記“甲投籃命中”為A事件，“乙投籃命中”為B事件，則，，，，因?yàn)榧缀鸵彝痘@是否命中相互沒有影響，所以A與B互為獨(dú)立事件，那么，恰好有1人命中的概率．故答案為：．15．2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解．【詳解】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，因?yàn)?，可得，則．故答案為：2．16．【分析】由已知可得，利用為等差數(shù)列求的通項(xiàng)公式．【詳解】由得，故為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以所以．故答案為：17．得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，【分析】設(shè)出事件，由已知條件得出事件的概率，根據(jù)對(duì)立事件以及互斥事件的概率性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】從袋中任取一球，記事件“得到紅球”，“得到黑球”，“得到黃球”，“得到綠球”分別為A，B，C，D，則事件A，B，C，D彼此互斥．由已知可得，，，，則，即，所以，，．故從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，．18．（1），；（2）．【分析】（1）代入求，由可得；（2）由與的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)公式．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)和為，所以，則；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式．19．（1）（2）（3）【分析】（1）由兩點(diǎn)式方程表示出所求直線的方程，化簡(jiǎn)為一般式方程即可得出答案．（2）由截距式方程表示出所求直線的方程，化簡(jiǎn)為一般式方程即可得出答案．（3）由點(diǎn)斜式方程表示出所求直線的方程，化簡(jiǎn)為一般式方程即可得出答案．【詳解】（1）由兩點(diǎn)式方程，可知所求直線的方程為，化為一般式方程為．（2）由截距式方程，可知所求直線的方程為，化為一般式方程為．（3）因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得：，化為一般式方程為．20．（1）證明見解析（2）【分析】（1）將兩邊取倒數(shù)，再結(jié)合等差數(shù)列的定義即可得證；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可．【詳解】（1）由數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，且，得，即，所以數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列；（2），由（1）得，所以，則，所以．21．（1）證明見解析（2）【分析】（1）可利用直線經(jīng)過的定點(diǎn)進(jìn)行說(shuō)明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，只要直線的y軸上的截距大于0即可．【詳解】（1），即直線一定過定點(diǎn)，該點(diǎn)在第一象限，于是直線l一定經(jīng)過第一象限．（2）由于直線經(jīng)過第一象限的定點(diǎn)，只要該直線在y軸上的截距大于0即可，而經(jīng)過y軸上的點(diǎn)，則，