新高考數(shù)學(xué)三輪沖刺大題突破練習(xí)專題05 解析幾何（解析版）

專題05解析幾何解析幾何一般作為解答題21題或者是22題形式出現(xiàn)。一般作為壓軸題或者是次壓軸題出現(xiàn)，難度較大。1與原有關(guān)問(wèn)題（蒙日?qǐng)A，阿氏圓等）2面積問(wèn)題3齊次化解決直線定點(diǎn)問(wèn)題4一般的定值問(wèn)題5非對(duì)稱問(wèn)題6探究性問(wèn)題7切線問(wèn)題與阿基米德三角形問(wèn)題8極點(diǎn)極限與調(diào)和點(diǎn)列，蝴蝶模型問(wèn)題9不聯(lián)立問(wèn)題10與其他知識(shí)點(diǎn)交叉問(wèn)題蒙日?qǐng)A定理的內(nèi)容：橢圓的兩條切線互相垂直，則兩切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，該圓稱為蒙日?qǐng)A，其半徑等于橢圓長(zhǎng)半軸和短半軸平方和的算術(shù)平方根，具體結(jié)論及證明如下：結(jié)論一：曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓：．結(jié)論二：雙曲線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是圓．結(jié)論三：拋物線的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)在該拋物線的準(zhǔn)線上．題型一：與原有關(guān)問(wèn)題（蒙日?qǐng)A，協(xié)同圓等）例題1已知橢圓0)．稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓為橢圓的“準(zhǔn)圓”．若橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到的距離為．(1)求橢圓的方程及其“準(zhǔn)圓”方程．(2)點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線交“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求直線的方程并證明．②求證：線段的長(zhǎng)為定值．【解析】(1)依題意可得，∴，∴．．(2)證明：①由(1)題可得，設(shè)切線方程為：．聯(lián)立，消去可得，整理可得．∴，解得．∴設(shè)直線PM：，直線．∴，即．②設(shè)，直線．則，消去可得．即．∴．整理得．同理，設(shè)切線的斜率為，則有．∴．∴在“準(zhǔn)圓”上．∴，∴．∴為“準(zhǔn)圓”的直徑．∴為定值，．1．公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在《平面軌跡》一書(shū)中，研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下著名結(jié)果：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)，距離之比為且的點(diǎn)的軌跡為圓，此圓稱為阿波羅尼斯圓．(1)已知兩定點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；(2)已知，是圓上任意一點(diǎn)，在平面上是否存在點(diǎn)，使得恒成立？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；(3)已知是圓上任意一點(diǎn)，在平面內(nèi)求出兩個(gè)定點(diǎn)，，使得恒成立．只需寫(xiě)出兩個(gè)定點(diǎn)，的坐標(biāo)，無(wú)需證明．解析：(1)4；(2)證明見(jiàn)解析，.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求出點(diǎn)P的軌跡方程為，求出，，求出最小值即得解；（2）設(shè)，兩圓方程相減可得MN的方程為，即得解.（1）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，根據(jù)題設(shè)條件有，所以有，化簡(jiǎn)得.所以，由題知，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，|QM|最小，即四邊形面積取得最小值4.（2）解；設(shè)，由幾何性質(zhì)，可知M，N兩點(diǎn)在以為直徑的圓上，此圓的方程為，而直線MN是此圓與圓的相交弦所在直線，相減可得MN的方程為，所以直線MN恒過(guò)定點(diǎn).題型二：面積問(wèn)題1．已知M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線與直線垂直，A為垂足且位于第一象限，直線與直線垂直，B為垂足且位于第四象限，四邊形（O為原點(diǎn)）的面積為8，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；(2)已知是軌跡C上一點(diǎn)，直線l交軌跡C于P，Q兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為1，，求的面積.【答案】(1)（）(2)【詳解】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由題意知M只能在直線與直線所夾的范圍內(nèi)活動(dòng).，，動(dòng)點(diǎn)在右側(cè)，有，同理有，∵四邊形的面積為8，∴，即，所以所求軌跡C方程為（）.（2）如圖，設(shè)直線的傾斜角為，斜率為k，直線傾斜角為，則斜率為，，，在曲線C上，過(guò)點(diǎn)T直線與曲線C有兩個(gè)交點(diǎn)，則或，同時(shí)或，解得或.

，解得或（舍去）.時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得.直線的方程為，聯(lián)立，消y得：，則或，得，，點(diǎn)Q到直線的距離

，.方法二：，，，則，.1已知橢圓離心率為，經(jīng)過(guò)的左焦點(diǎn)斜率為1的直線與軸正半軸相交于點(diǎn)，且.(1)求的方程；(2)設(shè)M，N是上異于的兩點(diǎn)，若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由已知，可得，.可得，因?yàn)樾甭蕿?，所以，因?yàn)?，所以，則，則，于是的方程為；（2）由（1）知，因?yàn)?，所以不垂直于軸.設(shè)直線，代入得.當(dāng)時(shí)，設(shè)，，則，①因?yàn)?，所以，而即，根?jù)，，故，可得.將①代入上式可得.因?yàn)?，整理得，則，解得，直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，.因?yàn)?，所以面積.設(shè)，則，則，，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，則，所以當(dāng)，即時(shí)，面積取最大值.題型三：齊次化解決定值定點(diǎn)問(wèn)題1已知橢圓C：（a>b>0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上.（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn).若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn).【答案】(1).(2)證明見(jiàn)解析.解題方法一：試題解析：（1）由于，兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn).又由知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1，所以點(diǎn)P2在C上.因此，解得.故C的方程為.（2）設(shè)直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1，k2，如果l與x軸垂直，設(shè)l：x=t，由題設(shè)知，且，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，）.則，得，不符合題設(shè).從而可設(shè)l：（）.將代入得由題設(shè)可知.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=.而.由題設(shè)，故.即.解得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，欲使l：，即，所以l過(guò)定點(diǎn)（2，）解題方法二：齊次化處理：1．已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.將原坐標(biāo)系平移，原來(lái)的O點(diǎn)平移至點(diǎn)A處，則在新的坐標(biāo)系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡(jiǎn)得，即．設(shè)，因?yàn)閯t，即．代入直線方程中得．則在新坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)，則在原坐標(biāo)系下直線過(guò)定點(diǎn)．又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．題型四：一般的定值定點(diǎn)問(wèn)題1．已知為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，的一條漸近線方程為為上一點(diǎn)，且．(1)求的方程；(2)設(shè)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，過(guò)作，垂足為，是否存在點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)以及的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)存在；點(diǎn)，為定值【詳解】（1）由題意，在雙曲線中，漸近線方程為，由條件可知．根據(jù)雙曲線的定義可知，，∴，則，∴．（2）由題意及（1）得，在中，，∴點(diǎn)在雙曲線的左支上，當(dāng)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立，整理得，，則，，∵為的中點(diǎn)，且，∴，則，∴，整理得，解得或，驗(yàn)證均滿足．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過(guò)點(diǎn)，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，則直線過(guò)定點(diǎn)，符合題意．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，解得，所以直線的方程為：，則直線過(guò)定點(diǎn)．∵，∴是以為斜邊的直角三角形，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上，則當(dāng)為該圓的圓心時(shí)，為該圓的半徑，即，故存在點(diǎn)，使得為定值．1已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為2【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，將代入的方程可得，，故的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線，，．與聯(lián)立，整理得，所以，，解得，且，，，所以．（*）又，所以的坐標(biāo)為，由可得，，從而可得的縱坐標(biāo)，將（*）式代入上式，得，即．所以，，將（*）式代入上式，得．類型五非對(duì)稱問(wèn)題1已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為，，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.（1）（2）（1）由題意，可得，，，聯(lián)立解得，，，.（2）如圖，由（1）知，方程為，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，∵，根據(jù)對(duì)稱性可得，聯(lián)立，整理得，∴，∵，∴，即，聯(lián)立解得，，∵，，∴，∴，∴，∴直線的方程為，即.1已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且．（Ⅰ）求橢圓C的方程：（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線l交橢圓C于點(diǎn),直線分別交直線于點(diǎn)．求的值．（Ⅰ）；（Ⅱ）1.（2）①當(dāng)直線l與x軸重合，不妨設(shè)，由平面幾何知識(shí)得，所以．②當(dāng)直線l不與x軸重合時(shí)，設(shè)直線，由題意，直線l不過(guò)和點(diǎn)，所以．設(shè)，聯(lián)立得．由題意知，所以．且．直線的斜率存在．．當(dāng)時(shí)，．同理．．因?yàn)椋裕愋土骄啃詥?wèn)題1．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在直線上且不在軸上，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為A，B，直線與雙曲線的交點(diǎn)分別為C，D．(1)設(shè)直線和的斜率分別為，，求的值；(2)問(wèn)直線l上是否存在點(diǎn)P，使得直線OA，OB，OC，OD的斜率，，，滿足？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解析：(1)(2)存在，或（1）設(shè)，，則，所以；（2）假設(shè)直線l上存在點(diǎn)，．設(shè)設(shè)，，∴，同理，由，得得或，當(dāng)時(shí)，由（1）得，，，，得，當(dāng)時(shí)，由（1）得，或，，，，得．所以或．1在直角坐標(biāo)平面中，的兩個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，兩動(dòng)點(diǎn)滿足，向量與共線.(1)求的頂點(diǎn)的軌跡方程；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與（1）的軌跡相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.(3)若為點(diǎn)的軌跡在第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，則是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)存在；理由見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，由知，是的重心，.且向量與共線，在邊的中垂線上，，又，化簡(jiǎn)得，即所求的軌跡方程是.（2）設(shè)，過(guò)點(diǎn)的直線方程為，代入得，，且，解得.，則或，，則的取值范圍是.（3）設(shè)，則，即.當(dāng)軸時(shí)，，即，故猜想.當(dāng)不垂直軸時(shí)，，.與同在內(nèi)，.故存在，使恒成立.類型七切線問(wèn)題與阿基米德三角形問(wèn)題拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍的三角形，這個(gè)三角形又常被稱為阿基米德三角形．阿基米德三角形的得名，是因?yàn)榘⒒椎卤救俗钤缋帽平乃枷胱C明如下結(jié)論：拋物線與阿基米德三角形定理：拋物線的弦與拋物線所圍成的封閉圖形的面積，等于拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形面積的三分之二．下面來(lái)逐一介紹阿基米德三角形的一些推論:如圖，已知是拋物線準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)作拋物線的切線、兩點(diǎn)，中點(diǎn)，則：1.若過(guò)焦點(diǎn)，則的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．2.阿基米德三角形底邊上的中線平行于坐標(biāo)軸，即． 3.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)4.5.阿基米德三角形面積的最小值為1如下圖，設(shè)拋物線方程為，M為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為，．（Ⅰ）設(shè)線段的中點(diǎn)為；（ⅰ）求證：平行于軸；（ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，求此時(shí)拋物線的方程；（Ⅱ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（Ⅰ）（ⅰ）證明見(jiàn)解析；（ⅱ）或；（Ⅱ）僅存在一點(diǎn)適合題意.【分析】（Ⅰ）（ⅰ）設(shè)出的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，結(jié)合是線段的中點(diǎn)進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，由此證得平行于軸.（ⅱ）利用列方程，解方程求得，進(jìn)而求得拋物線方程.（Ⅱ）設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)坐標(biāo)求得線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此進(jìn)行分類討論求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（Ⅰ）（?。┳C明：由題意設(shè)，，，，．由得，則，所以，．因此直線的方程為，直線的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即，也即.所以平行于軸．（ⅱ）解：由（?。┲?，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：，，所以，是方程的兩根，因此，，又，所以．由弦長(zhǎng)公式的．又，所以或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅱ）解：設(shè)，由題意得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或．即或．（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，，又，，所以，即，矛盾．對(duì)于，因?yàn)椋藭r(shí)直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意得點(diǎn)．綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題目如圖，設(shè)拋物線方程為，為直線上任意一點(diǎn)，過(guò)引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為．（Ⅰ）求證：三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列；（Ⅱ）已知當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，．求此時(shí)拋物線的方程；yxBAOM（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在拋物線上，其中，點(diǎn)滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．yxBAOM解：（Ⅰ）證明：由題意設(shè)．由得，得，所以，．因此直線的方程為，直線的方程為．所以，①．②由①、②得，因此，即．所以三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，將其代入①、②并整理得：，，所以是方程的兩根，因此，，又，所以．由弦長(zhǎng)公式得．又，所以或，因此所求拋物線方程為或．（Ⅲ）解：設(shè)，由題意得，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為，由點(diǎn)在直線上，并注意到點(diǎn)也在直線上，代入得．若在拋物線上，則，因此或．即或．（1）當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)，點(diǎn)適合題意．（2）當(dāng)，對(duì)于，此時(shí)，，又，，所以，即，矛盾．對(duì)于，因?yàn)?，此時(shí)直線平行于軸，又，所以直線與直線不垂直，與題設(shè)矛盾，所以時(shí)，不存在符合題意的點(diǎn)，綜上所述，僅存在一點(diǎn)適合題類型八極點(diǎn)極限調(diào)和點(diǎn)列蝴蝶模型1.極點(diǎn)和極線的幾何定義如圖,為不在圓錐曲線上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)引兩條割線依次交圓錐曲線于四點(diǎn),連接交于,連接交于,我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn),稱直線為點(diǎn)關(guān)于圓錐曲線的極線.直線交圓錐曲線于兩點(diǎn),則為圓錐曲線的兩條切線.若在圓錐曲線上,則過(guò)點(diǎn)的切線即為極線.(1)自極三角形：極點(diǎn)一一極線；極點(diǎn)一一極線極點(diǎn)一一極線;即中,三個(gè)頂點(diǎn)和對(duì)邊分別為一對(duì)極點(diǎn)和極線,稱為“自極三角形”.(2)極點(diǎn)和極線的兩種特殊情況(1)當(dāng)四邊形變成三角形時(shí)：曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線,就是切線;

(2)當(dāng)四邊有一組對(duì)邊平行時(shí),如：當(dāng)時(shí),和的交點(diǎn)落在無(wú)窮遠(yuǎn)處;點(diǎn)的極線和點(diǎn)的極線滿足:2.極點(diǎn)和極線的代數(shù)定義對(duì)于定點(diǎn)與非退化二次曲線過(guò)點(diǎn)作動(dòng)直線與曲線交于點(diǎn)與點(diǎn),那么點(diǎn)關(guān)于線段的調(diào)和點(diǎn)的軌跡是什么?可以證明:點(diǎn)在一條定直線上，如下圖.我們稱點(diǎn)為直線關(guān)于曲線的極點(diǎn);相應(yīng)地,稱直線為點(diǎn)關(guān)于曲線的極線.一般地,對(duì)于圓錐曲線設(shè)極點(diǎn),則對(duì)應(yīng)的極線為 【注】替換規(guī)則為:(1)橢圓的三類極點(diǎn)極線(1)若極點(diǎn)在橢圓外,過(guò)點(diǎn)作橢圓的兩條?線,切點(diǎn)為,則極線為切點(diǎn)弦所在直線 (2)若極點(diǎn)在橢圓上,過(guò)點(diǎn)作橢圓的切線,則極線為切線;(3)若極點(diǎn)在橢圓內(nèi),過(guò)點(diǎn)作橢圓的弦,分別過(guò)作橢圓切線,則切線交點(diǎn)軌跡為極線由此可得橢圓極線的幾何作法:(2)對(duì)于雙曲線,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為(3)對(duì)于拋物線,極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極線為.3.極點(diǎn)和極線的性質(zhì)(1)引理:已知橢圓方程為,直線的方程為,點(diǎn)不與原點(diǎn)重合.過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn),點(diǎn)在直線上，則“點(diǎn)在直線上"的充要條件是調(diào)和分割,即.1設(shè)橢圓C:x2a2(1)求敉圓C的方程;(2)當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(4,1)的動(dòng)直線l于橢圓C相交于兩不同點(diǎn)A,B時(shí),在線段AB上取點(diǎn)Q,滿足|【答案】(1)x2【解析】（1）由題意得：，解得，所求橢圓方程為x24+(2)解法1:定比點(diǎn)差法設(shè)點(diǎn)Q、A由題設(shè)知|AP|,|PB|,|AQ|,|又A,P于是4=x從而:4x=x又點(diǎn)A、B在橢圓x1x2(1)+(2)×2,并結(jié)合(3)(4)得4x即點(diǎn)Q(x,解法2：構(gòu)造同構(gòu)式設(shè)點(diǎn)Q(由題設(shè)知|AP|,|PB又A,P于是x1=4?由于Ax1,y1,B整理得:x2x2(4)-(3)得:8(2x即點(diǎn)Q(x,解法3：極點(diǎn)極線由|AP|?|QB說(shuō)明點(diǎn)P,Q關(guān)于桞圓調(diào)和共軛,點(diǎn)Q在點(diǎn)此極線方程為4?x4+故點(diǎn)Q總在直線2x如圖,過(guò)直線l:5x?7y?70=0上的點(diǎn)P作橢圓x225+y(1)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)時(shí),證明：直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q;(2)當(dāng)MN//l時(shí),定點(diǎn)Q平分線段【答案】見(jiàn)解析.【解析】解法1:常規(guī)解法(1)證明：設(shè)Px則橢圓過(guò)點(diǎn)M,N的切線方程分別為:因?yàn)閮汕芯€都過(guò)點(diǎn)P,則有:x1x由兩點(diǎn)確定一條直線知,式(1)就是直線MN的方程,

其中

當(dāng)點(diǎn)

代入(1)消去

變形可得

故直線MN恒過(guò)定點(diǎn)Q25

(2)當(dāng)

將此方程與橢圓方程聯(lián)立,消去

由此可得,此時(shí)MN截圓所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q25x代入(3)式可得弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)恰好為點(diǎn)Q25即y這就是說(shuō),點(diǎn)Q2514,?解法2:(1)動(dòng)點(diǎn)P在定直線l上,則相應(yīng)的切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn),可知定點(diǎn)Q必為極點(diǎn),于是只需求極點(diǎn)即可:由5x?7y(2)由橢圓內(nèi)一點(diǎn)極線方向與以極點(diǎn)為中點(diǎn)弦的方向相同,也即OQ與極線方向共軛,即得結(jié)論(2).蝴蝶定理（ButterflyTheorem），是古代歐氏平面幾何中最精彩的結(jié)果之一.這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年,由W.G.霍納提出證明.【蝴蝶定理】M是⊙O中弦AB的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M的兩條弦CD,EF,連接DE,CF交AB于P問(wèn)題中的圖形酷似圓中翩翩起舞的蝴蝶,因此而被冠之“蝴蝶定理".蝴蝶定理還可以推廣到橢圓,甚至雙曲線與拋物線中.例題.如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:x2a2+y(1)求橢圓C的方程;(2)過(guò)點(diǎn)P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M,N的A,B兩點(diǎn),直線AM,【答案】(1)x2【解析】(1)由題意可知:2c=a有b=3,c=1,(2)由題意知直線l的斜率存在,設(shè)其方程為y=聯(lián)立直線方程和橢圓方程得y=kx+13x設(shè)Ax1又A,P,B三點(diǎn)共線,則構(gòu)造式子:x2y1又l由∴解之,得y=3.故點(diǎn)T類型九不聯(lián)立問(wèn)題1已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．解析：（1）設(shè)，由點(diǎn)都在雙曲線上，得，，所以，結(jié)合斜率公式，相減后變形，可得：，.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，所以，由得.②由得.③由②-③，得，從而，即的斜率為.1已知橢圓C：的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求的方程：（2）點(diǎn)，在上，且，，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得為定值．解析：（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.（2）設(shè)，依題意知，因?yàn)椋?，整理得同理得相減可得即直線恒過(guò)定點(diǎn).又，D在以為直徑的圓上．的中點(diǎn)即為圓心Q．經(jīng)檢驗(yàn)，直線垂直于x軸時(shí)也成立．故存在，使得．類型十與其他知識(shí)點(diǎn)交叉問(wèn)題某電廠冷卻塔的外形是由雙曲線的一部分繞其虛軸所在的直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.如圖所示，已知它的最小半徑為，上口半徑為，下口半徑為，高為，選擇適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系.(1)求此雙曲線的方程；(2)定義：以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線叫做的共軛雙曲線，求雙曲線的方程；(3)對(duì)于（2）中的雙曲線?的離心率分別為?，寫(xiě)出與滿足的一個(gè)關(guān)系式，并證明.【答案】(1)(2)(3)（1）以冷卻塔的軸截面的最窄處所在的直線為軸，垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線的方程為，由題意知，所以，，，所以，，所以，解得，所以雙曲線的方程為.（2）以（1）中求出的雙曲線的實(shí)軸為虛軸，以的虛軸為實(shí)軸的雙曲線為.（3）與滿足的一個(gè)關(guān)系式為，證明如下，雙曲線的半焦距，所以雙曲線的離心率為，雙曲線的半焦距，所以雙曲線的離心率為，所以，所以與滿足的一個(gè)關(guān)系式為.1在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于直線和點(diǎn)、，記，若，則稱點(diǎn)、被直線分隔，若曲線與直線沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線上存在點(diǎn)、被直線分隔，則稱直線為曲線的一條分隔線．(1)判斷點(diǎn)是否被直線分隔并證明；(2)若直線是曲線的分隔線，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到軸的距離之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是的分隔線．【答案】(1)點(diǎn)被直線分隔(2)(3)證明見(jiàn)解析(1)解：把點(diǎn)、分別代入可得，所以點(diǎn)、被直線分隔．(2)解：聯(lián)立，可得，根據(jù)題意，此方程無(wú)解，故有，所以．當(dāng)時(shí)，對(duì)于直線，曲線上的點(diǎn)和滿足，即點(diǎn)和被分隔．故實(shí)數(shù)的取值范圍是．(3)證明：設(shè)點(diǎn)，則由題意可得，故曲線的方程為①．對(duì)任意的，不是上述方程的解，即軸（即）與曲線沒(méi)有公共點(diǎn)．又曲線上的點(diǎn)、對(duì)于軸（即）對(duì)稱，滿足，即點(diǎn)和被軸分隔，所以軸，即為曲線的分隔線．若過(guò)原點(diǎn)的直線不是軸，設(shè)為，代入，可得，令，當(dāng)時(shí)，，所以在有實(shí)數(shù)解，當(dāng)時(shí)，有實(shí)數(shù)解，，即與有公共點(diǎn)，所以不是的分隔線．所以通過(guò)原點(diǎn)的直線中，有且僅有一條直線是的分隔線，即．1．（2022·北京海淀·?？寄M預(yù)測(cè)）橢圓C：的右頂點(diǎn)為，離心率為(1)求橢圓C的方程及短軸長(zhǎng)；(2)已知：過(guò)定點(diǎn)作直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)，過(guò)E作AB的平行線交直線DB于點(diǎn)F，設(shè)EF中點(diǎn)為G，直線BG與橢圓的另一點(diǎn)交點(diǎn)為M，若四邊形BEMF為平行四邊形，求G點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）由題意可得，，所以，，短軸長(zhǎng)所以橢圓C的方程：；（2）設(shè)直線AD的方程：，即，，，由，消去y，整理得，則，所以，，則直線BD的方程：，令，則，所以，所以，，則直線BG的斜率，所以直線BG的斜率為，所以直線BG的方程：，因此，則，解得或，所以，當(dāng)BEMF為平行四邊形時(shí)，G為BM的中點(diǎn)，則，所以2．（2022·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，過(guò)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的線OA，OB分別交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接AB，交y軸于點(diǎn)P．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)證明：存在相異于點(diǎn)P的定點(diǎn)T，使得恒成立，請(qǐng)求出點(diǎn)T的坐標(biāo)，并求出面積的最小值．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析，，8.【詳解】（1）設(shè)，，，的斜率必存在，設(shè)與拋物線聯(lián)立可得，∴，可知：.∵，∴∵，∴，則∴，即.（2）由，可知：，當(dāng)與x軸平行時(shí)，，∴存在點(diǎn)T在y軸上，設(shè)，，∴TP為的角平分線，有，∴，∵，∴，∴，∴存在，使得：恒成立，∴，當(dāng)且僅當(dāng)軸時(shí)，面積的最小值為8.3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)為，直線恰為拋物的準(zhǔn)線.(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上四點(diǎn)滿足：，設(shè)中點(diǎn)為.（i）求直線的斜率；（ii）設(shè)面積為，求的最大值.【答案】(1)(2)（i）0；（ii）48【詳解】（1）設(shè)直線與軸交于.由幾何性質(zhì)易得：與相似，所以，，即：，解得：.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)（i）由題意，中點(diǎn)在拋物線上，即，又，將代入，得：，同理：，有，此時(shí)點(diǎn)縱坐標(biāo)為，所以直線的斜率為0.（ⅱ）因?yàn)?，所以點(diǎn)，此時(shí)，，，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，有，即，代入上式可得：，由，所以時(shí)，取到最大價(jià).所以的最大值為48.4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線．，為C上兩點(diǎn)，且，分別在第一、四象限．直線與x正半軸交于，與y負(fù)半軸交于．(1)若，求橫坐標(biāo)的取值范圍；(2)記的重心為G，直線，的斜率分別為，，且．若，證明：λ為定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）設(shè)，∵，∴，即，∴，直線的方程為：，整理可得，，令，則，即橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）的重心為，，∴，又，且，∴，化簡(jiǎn)得，，∵，∴，.即，所以λ為定值．5．（2023河北·校聯(lián)考三模）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)且斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，斜率為的直線與相切于點(diǎn)，且與不垂直，為的中點(diǎn).（1）若，求；（2）若直線過(guò)，求.【答案】（1）（2）【詳解】（1）∵拋物線Γ：（p＞0）的焦點(diǎn)為F（0，1），∴拋物線Γ的方程為．由直線的斜率為，且過(guò)F（0，1），得的方程為，代入，化簡(jiǎn)得，設(shè)，則，．∵=，∴；（2）設(shè)P（，），將Γ的方程化為y=，求導(dǎo)得y′=，∵斜率為的直線與Γ相切于點(diǎn)P，∴=，則P（2，），由（1）知=4，且Q為AB的中點(diǎn)，易得Q（2，+1），∵直線PQ過(guò)（0，2），∴，整理得，∵與不垂直，∴，則-2=0，即=．6．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上方，，直線，交于點(diǎn).已知當(dāng)軸時(shí)，.(1)求橢圓的方程；(2)求證：點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題知，，點(diǎn)在橢圓C上，則，解得，所以橢圓C的方程為；（2）證明：∵，且點(diǎn)A在x軸上方∴設(shè)，，，，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得，∴或（舍），∴同理，所以，由，得∴∴又點(diǎn)B在橢圓C上，∴，則∴同理：，所以∴又，∴∴點(diǎn)P在以，為焦點(diǎn)的定橢圓上.7．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與的兩個(gè)頂點(diǎn)連線的斜率之和為4．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）．設(shè)直線與軸垂直且交直線于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)為，證明：直線的斜率為定值，并求該定值．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析，定值為2【詳解】（1）雙曲線的兩頂點(diǎn)為，所以，，即，將代入的方程可得，，故的方程為．（2）依題意，可設(shè)直線，，．與聯(lián)立，整理得，所以，，解得，且，，，所以．（*）又，所以的坐標(biāo)為，由可得，，從而可得的縱坐標(biāo)，將（*）式代入上式，得，即．所以，，將（*）式代入上式，得．8．（2023·重慶·統(tǒng)考二模）過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作斜率分別為的兩條不同的直線，且相交于點(diǎn)，，相交于點(diǎn)，．以，為直徑的圓，圓為圓心的公共弦所在的直線記為．(1)若，求；(2)若，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．【答案】(1)24(2)【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點(diǎn)為，且其在拋物線內(nèi)部，設(shè)直線的方程為，由，得，設(shè)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，，同理可得的坐標(biāo)為，，于是，又，所以．（2）結(jié)合（1），由拋物線的定義得，，所以，所以圓的半徑，所以圓的方程為化簡(jiǎn)得，同理可得圓的方程為，于是圓與圓的公共弦所在直線的方程為，又，則直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，故當(dāng)時(shí)，取最小值．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答小問(wèn)（2）的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的定義求得，，進(jìn)而可得，從而得到圓的半徑，可得到圓的方程，同理可得到圓的方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解．9．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓C：的短軸長(zhǎng)為2，離心率為．點(diǎn)，直線：．(1)證明：直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且每一點(diǎn)與的連線都是橢圓的切線；(2)若過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意可知，因此，則橢圓方程為：因?yàn)橛上タ傻?，，則該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，所以直線與橢圓相交于兩點(diǎn)；設(shè)為直線與橢圓的交點(diǎn)，則，，直線的方程為，即，代入橢圓方程得，所以，整理得，即，所以，故是橢圓的切線.（2）因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，由（1）可知在線段外，在線段內(nèi)，所以與的方向相同，與的方向相同，要證，只需要，即證，設(shè)，不妨設(shè)，因?yàn)樗狞c(diǎn)共線，所以等價(jià)于，即，顯然，設(shè)直線的方程為，即，由，可得；由可得，從而可知，因此，所以結(jié)論成立.一、解答題1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求E的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.（2），所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，過(guò)點(diǎn).②若過(guò)點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).聯(lián)立得，可得，，且聯(lián)立可得可求得此時(shí)，將，代入整理得，將代入，得顯然成立，綜上，可得直線HN過(guò)定點(diǎn)2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過(guò)F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，此時(shí)，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點(diǎn)共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點(diǎn)共線，由所以，化簡(jiǎn)得，反之，若,可得MN過(guò)定點(diǎn)因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，

由M、D、A三點(diǎn)共線，得，

由N、D、B三點(diǎn)共線，得，則，AB過(guò)定點(diǎn)（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.3．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問(wèn)結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過(guò)程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．4．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.5．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．（1）求；（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．所以．從而有．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．又，解之得，因此．[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，設(shè)點(diǎn)、、，直線的方程為，即，即，同理可知，直線的方程為，由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，所以，直線的方程為，聯(lián)立，可得，由韋達(dá)定理可得，，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，，由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值同方法一得到．過(guò)P作y軸的平行線交于Q，則．．P點(diǎn)在圓M上，則．故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．判別式，即，且．拋物線C的方程為，即，有．則，整理得，同理可得．聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．由弦長(zhǎng)公式得．點(diǎn)P到直線的距離為．所以，其中，即．當(dāng)時(shí)，．6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開(kāi)口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）[方法一]：設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過(guò)與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過(guò)與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．當(dāng)時(shí)，同解法1．當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，同理，由直線與相切得．因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．所以直線與相切．綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．7．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過(guò)的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】（1）；（2）.【詳解】(1)因?yàn)?，所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，所以，軌跡的方程為.（2）[方法一]【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立如圖所示，設(shè),設(shè)直線的方程為．聯(lián)立,化簡(jiǎn)得.則．故．則．設(shè)的方程為，同理．因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，所以，即．因?yàn)?，所以．[方法二]：參數(shù)方程法設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，則其參數(shù)方程為，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，可得，整理得．設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得．設(shè)直線的傾斜角為，，同理可得由，得．因?yàn)?，所以．由題意分析知．所以，故直線的斜率與直線的斜率之和為0．[方法三]：利用圓冪定理因?yàn)?，由圓冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．設(shè),直線的方程為，直線的方程為,則二次曲線．又由，得過(guò)A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：，整理可得：，其中．由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.8．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，又，所以橢圓方程為；（2）由（1）得，曲線為，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，必要性：若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，解得，聯(lián)立可得，所以，所以,所以必要性成立；充分性：設(shè)直線即，由直線與曲線相切可得，所以，聯(lián)立可得，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以或，所以直線或，所以直線過(guò)點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．9．（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點(diǎn)，G為E的上頂點(diǎn)，，P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn)，PA與E的另一交點(diǎn)為C，PB與E的另一交點(diǎn)為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過(guò)定點(diǎn).【答案】（1）；（2）證明詳見(jiàn)解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結(jié)合已知即可求得：，問(wèn)題得解.（2）方法一：設(shè)，可得直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)，命題得證.【詳解】（1）依據(jù)題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）[方法一]：設(shè)而求點(diǎn)法證明：設(shè)，則直線的方程為：，即：聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或?qū)⒋胫本€可得：所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過(guò)定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，直線：，直線過(guò)點(diǎn)．故