高中數(shù)學(xué)解三角形問題及其簡單應(yīng)用（含答案）

.解三角形問題中三角形解的個數(shù)原因探究1.1為什么已知兩邊和其中一邊對角不能確定三角形【典例】在，角所對的邊分別為，且.（1）若，則_______；(2)若，則_______．【解析】（1）由正弦定理得，即.又，則，,所以.(2)由，得，所以.當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，所以.所以或.【評注】在三角形全等的判定定理中，沒有SSA這個定理，因為已知兩邊和其中一邊的對角，不能確定三角形，即三角形可能不唯一.所以已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能出現(xiàn)多解的情況.上述例題（2）就是這個道理，而（1）為什么只有一個解？因為A＜C，A是銳角，所以三角形只有一個解.【變式1】在中，角所對的邊分別為，已知，則=.1.【解析】因為，得，由于，得且，所以.【變式2】已知在中，角所對的邊分別為，，試判斷符合條件的有多少個？2.【解析】（法1）求得，又，得A＞45°，∴或.故符合條件的有個.（法2）.故符合條件的有個.1.2由正弦值求三角形內(nèi)角時可能有兩解【典例1】在中，，求的面積.【解析】（法1）由正弦定理得，得，由，得，又，所以.(1)當(dāng)時，，此時，；(2)當(dāng)時，，此時，.∴的面積為EQ\F(\r(,3),2)或EQ\F(\r(,3),4)．（法2）設(shè)，由余弦定理得，即，解得或2，(1)當(dāng)時，；(2)當(dāng)時，.∴的面積為EQ\F(\r(,3),2)或EQ\F(\r(,3),4)．【評注】因為正弦函數(shù)在上不單調(diào)，由正弦值求三角形的內(nèi)角時，可能會得出兩個解（直角除外），且兩角互補，要注意判斷取舍.【變式1】若的面積為，且，則等于．1.或【解析】，得，所以或.當(dāng)時，；當(dāng)時，.故等于或．【變式2】中，角所對的邊分別為，且，的面積為，求與的值.2.【解析】由已知得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.【變式3】已知，是的內(nèi)角，且，求的大小.3.【解析】，則，由，得，所以，所以.【變式4】在中，角所對的邊分別為，(1)求角；(2)若，的面積為，求.4.【解析】(1)由正弦定理得，則.由，，得，故.(2)由面積為得，由余弦定理得，解得.【典例2】在中，角所對的邊分別為，如果有性質(zhì),試問這個三角形的形狀具有什么特點？【解析】（法1）——化邊為角：有已知得，即，因為，所以，或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.（法2）——化角為邊：因為，所以，得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.【評注】根據(jù)所給條件確定三角形的形狀，常用正弦、余弦定理實施邊、角轉(zhuǎn)換，使之變?yōu)橹缓吇蛑缓堑氖阶樱缓筮M行判斷.但要注意在中，由，可得或，不要漏掉了.【變式1】在中，角所對的邊分別為，已知，判斷的形狀.1.【解析】由已知得，化簡得，與例題相同，所以是等腰三角形或直角三角形．【變式2】在中，角所對的邊分別為，已知，判斷的形狀.2.【解析】或cosC=0或C＝90°或C＝90°.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．【變式3】在中，內(nèi)角所對的邊分別為.已知，．求角的大小．【解析】，即，得，因為，得，得，所以.1.3由產(chǎn)生的漏解現(xiàn)象【典例】在中，角所對的邊分別是，已知.若，求△ABC的面積.【解析】因為所以，化簡得.當(dāng)時，，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，，得；當(dāng)時，，，，所以.故的面積是.【評注】一般地，設(shè)為三角形的一個內(nèi)角，則為非零實數(shù)或不存在,，也就是說可以等于0，如此題容易由，兩邊同除以，得到，遺漏的情況.【變式1】若是三角形的內(nèi)角，則可能為0，但在△ABC中，已知角.若，求角的大小.1.【解析】由已知得，，即，從而，即或，因，所以.【變式2】已知是三角形的內(nèi)角，向量，若，求角的大小.2.【解析】（法1）：由，得，整理得，，即，于是，即或，又因為，所以.（法2）：同法1，由，化簡得，，，得，所以【變式3】等式兩邊乘以或除以同一個不為零的數(shù)，等式仍然成立在中，角所對的邊分別為，已知，判斷的形狀.3.【解析】由正弦定理得，，化簡得，所以或，又因為，所以.所以是等腰三角形或直角三角形.2.解三角形出現(xiàn)增解的應(yīng)對策略2.1已知兩邊及大邊對角的三角形唯一確定【典例】在中，角所對的邊分別為，若，,,則角的大小為.【解析】由得，即，因為，所以，又因為，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.【評注】已知兩邊及一邊的對角，首選正弦定理，但是要注意三角形形狀的不確定性.如果已知角是已知的兩邊中較小邊所對的角，則由“大邊對大角”可知不會有兩解.簡單地說，三角形中,大邊對大角，小邊對小角，小角只能為銳角【變式1】三角形中大邊對大角，非最大邊所對的角一定是銳角在中，角所對的邊分別為，已知，則邊長等于（）A. B. C. D.1.B【解析】，.由，故,所以，.【變式2】在中，角所對的邊分別為，已知，，，則．2.EQ\F(π,4)【解析】，所以，又易知，所以.【變式3】已知在中，，則的面積為___________.3.【解析】由正弦定理得，得，所以，故.【變式4】在中，角所對的邊分別為，若，則角______.4.EQ\F(π,6)【解析】由，得，因為，所以.【變式5】在中，角所對的邊分別為，若角依次成等差數(shù)列，且，，則角.5.【解析】易得，，，所以，.【變式6】在中，已知.求的值.6.【解析】由余弦定理得，由正弦定理得，又，得C為銳角，∴，∴.2.2根據(jù)兩角正弦值大小剔除增解【典例】在中，，，則的值為___________.【解析】由，，得,又,得，因為為銳角，所以也為銳角，故，所以【評注】在中，．【變式1】在中，求證：.1.【證明】設(shè)為外接圓的半徑，.【變式2】在中，若，，則的值為．2.【解析】由題意易得．由，得，所以角是銳角，所以，易得．【變式3】在中，，，則的值為___________.3.【解析】由題意易得，由，得，所以角B是銳角或鈍角，．進而得或=．2.3根據(jù)三角函數(shù)值的范圍剔除增解【典例】在中，角所對的邊分別為，，，，則滿足此條件的三角形有（）A.0個B.1個C.2個D.3個【解析】，則，這是不成立的，所以不存在滿足條件的三角形.選A.【評注】利用三角函數(shù)值的范圍剔除增解.【變式1】鈍角的面積是，，，則()A．5B.eq\r(5)C．2D．11.B【解析】由已知得，所以或.當(dāng)時，，此時，為直角三角形，不符合題意；當(dāng)時，符合題意，故選B.【變式2】借助余弦函數(shù)的單調(diào)性，縮小角的范圍，避免討論已知在中，角所對的邊分別為，為銳角，且，，則的值為．2.【解析】，所以.由，得，，所以.故，又，故．【變式3】根據(jù)三角形中各內(nèi)角的正弦值均大于零探求隱含條件，合理舍去增解在中，已知，則角.【解析】平方相加，整理得，即，因為，所以或.又由，得，所以，即，故.3．幾何法判斷三角形解的個數(shù)3.1畫圖觀察直觀判斷三角形解的個數(shù)【典例】已知在中，角所對的邊分別為，，試判斷符合條件的有多少個？【解析】以已知角作支架，鄰邊做吊桿，對邊作吊繩蕩起“秋千”如圖，作，由得，，∴.于是，以點為圓心，以為半徑畫圓與直線交于兩點，從而，頂點有兩個可能位置.故符合條件的有個.【評注】三角形解的個數(shù)的判定（畫圖觀察法）：已知，設(shè)，⑴為銳角時：①時，無解；baChbaCh③時，兩解（B為一銳角，一鈍角）；④時，一解（B為一銳角）.⑵為直角或鈍角時：①時，無解；②時，一解（B為銳角）.【變式1】已知在中，角所對的邊分別為，不解三角形，則下列判斷正確的（1）有兩個解；（2）有一個解；（3）有一解；（4）無解.1.（1）（2）（4）【解析】由畫圖、計算易知（1）（2）（4）正確，（3）錯誤.【變式2】已知在中，角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形：①＝30°，＝14，＝7；②＝60°，＝10，＝9．那么，下面判斷正確的是()A．①只有一解，②也只有一解． B．①有兩解，②也有兩解．C．①有兩解，②只有一解． D．①只有一解，②有兩解．2.D【解析】①中，②中又，可知①有一解，A＝90°，②有兩解.【變式3】在中，角所對的邊分別為，若，則此三角形有()A．無解B．兩解C．一解D．解的個數(shù)不確定3.B【解析】，又因為，所以有兩個，三角形有兩解.【變式4】在中，角所對的邊分別為，已知，則滿足此條件的三角形的個數(shù)是幾個？4.【解析】過頂點作，垂足為..所以滿足條件的三角形不存在.3.2根據(jù)三角形解的個數(shù)確定字母參數(shù)的范圍【典例】如果滿足，的三角形ABC恰好有一個解，那么實數(shù)的取值范圍是【解析】如圖，以C為圓心，12為半徑作圓，當(dāng)圓與射線BA相切時，三角形ABC形狀確定，只有一個解，此時，所以；當(dāng)圓與射線BA相交，且也只有一個解，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍是或【評注】根據(jù)三角形解的個數(shù)確定字母參數(shù)的范圍實質(zhì)上就是把字母參數(shù)視為已知條件，從而把問題重新劃歸成解三角形問題.【變式1】在中，角所對的邊分別為，已知，此三角形有解，則角的取值范圍是.1.【解析】由，得.因為三角形有解，且，所以且角為銳角，所以角的取值范圍是.【變式2】若滿足條件，，的有兩個，則邊長的取值范圍是.2.【解析】由已知得，則.又由，得，所以，故邊長的范圍是.【變式3】在中，角所對的邊分別是，已知，且此三角形只有一個解，則邊長的取值范圍是.或【解析】因為三角形只有一個解，所以或，即或.4.三角形形狀的判定4.1利用余弦定理判斷銳角、直角、鈍角【典例】在中，角所對的邊分別為，用余弦定理證明：當(dāng)角C為鈍角時，；當(dāng)角C為銳角時，.【證明】角C為鈍角時，，由余弦定理得，所以；同理可證，當(dāng)角C為銳角時，.【評注】因為y＝cosx在（0，π）上單調(diào)遞減，且符號易于判斷，故判斷三角形形狀首選余弦定理．【變式1】在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定1.D【解析】易知，，所以為銳角，但的情況不知道，故選D.【變式2】在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定2.C【解析】易知，，所以為鈍角，為鈍角三角形.【變式3】在中，角所對的邊分別為，若三邊滿足，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定3.A【解析】由條件知，所以，所以.則，即，所以為銳角.又，所以是銳角三角形.4.2化邊為角判定三角形形狀【典例】在中，角所對的邊分別為，已知，判定的形狀.【解析】令，由正弦定理得，代入已知條件得，即，又因為，所以，從而是正三角形.【評注】通過三角恒等變換和正弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定三個角的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀．【變式1】在中，角所對的邊分別為，已知，判定的形狀.1.【解析】，,所以是等腰直角三角形.【變式2】在中，已知，判定的形狀.2.【解析】，,得，所以是等腰三角形.【變式3】在中，角所對的邊分別為，已知，判定的形狀.3.【解析】，由變式2知是等腰三角形.【變式4】在中，角所對的邊分別為，已知，，判定的形狀.【解析】，，所以為等腰直角三角形.【變式5】在中，角所對的邊分別為，已知，，判定的形狀.5.【解析】由，得，由余弦定理得，又因為，故.由得，所以為等邊三角形．4.3化角為邊判斷判定三角形形狀【典例1】在中，角所對的邊分別為，已知，，判斷的形狀.【解析】令，由正弦定理得，，代入得，又因為，所以，整理得，所以，再根據(jù)條件得，所以是等邊三角形.【評注】利用正弦或余弦定理化角為邊，再進行代數(shù)恒等變形，直至能確定邊的關(guān)系為止.【變式1】在中，若，則的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形1.C【解析】，所以，故，選C.【變式2】在中，角所對的邊分別為，若，，試判斷的形狀．2.【解析】由題意易得，將代入得，化簡得，又，所以△ABC是等邊三角形．【典例2】在△ABC中，若，試判定△ABC的形狀.【解析】（法1：用角判定）∵;∴整理得即∵是△ABC的內(nèi)角，∴或即或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.（法2：用邊判定）∴整理得∵，，∴整理得∴或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.【評注】判定三角形形狀一般有兩種方向，一個從邊判定,一個從角判定;正弦定理、余弦定理是聯(lián)系三角形邊與角的橋梁，它能使三角形邊與角相互轉(zhuǎn)化.【變式1】在△ABC中，若，則△ABC的形狀.1.等腰三角形【解析】由.∴△ABC是等腰三角形.【變式2】在△ABC中，若，則△ABC的形狀如何？2.【解析】∴,整理得∵∴∴△ABC是直角三角形.5.三角形中的取值范圍與最值問題5.1三角形形狀隱含角的范圍【典例】設(shè)銳角三角形的內(nèi)角的對邊分別為，且，求的取值范圍．【解析】由得,所以，所以由為銳角三角形，知，，所以，因此，所以，即，故的取值范圍為．【評注】銳角滿足：不等式，，同時成立.不論問哪個角的大小，必須三個角同時考慮，以避免失誤.【變式1】在銳角中，，，則的取值范圍是.1.【解析】由，，，所以，故，所以的取值范圍是．【變式2】銳角的內(nèi)角的對邊分別為，設(shè)，則的取值范圍是.2.【解析】=，由題意知，，，得，即，所以的范圍是.【變式3】鈍角三角形的三個內(nèi)角成等差數(shù)列，且最大邊與最小邊之比為，則的取值范圍是.3.【解析】不妨設(shè)，，,，所以的取值范圍是.【變式4】在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.4.2；【解析】則，，得，，且，解得，所以，，的取值范圍為.【變式5】銳角△ABC滿足不等式同時成立銳角中，若，則的取值范圍是.5.【解析】5.2三角形兩邊之和大于第三邊的配合使用【典例】在銳角中，角所對的邊分別為，邊長，則邊長的取值范圍是.【解析】因為是銳角三角形且，所以只需要且.由，得，于是；由,則，得，又由，得，所以，故邊長的取值范圍是【評注】為銳角三角形同時成立，且三角形兩邊之和大于第三邊；若是鈍角，則且.【變式1】銳角的邊長分別為，3，1，則的取值范圍是.1.【解析】由題意得，又且，解得的取值范圍是.【變式2】在鈍角中，三邊長分別為4,5，，則實數(shù)的取值范圍為_______________.2.【解析】或，解得實數(shù)的取值范圍為.5.3利用余弦定理、基本不等式求最值【典例1】若的內(nèi)角A、B、C滿足，則的最小值是.【解析】由正弦定理得，再由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立.故所求的最小值是.【評注】現(xiàn)將等式中角應(yīng)用正余弦定理化為邊，化簡整理后，再應(yīng)用基本不等式求最值。同時要注意取等的條件，即取最值的條件?！咀兪?】在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為（）A.B.C.D.1.C【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”.【變式2】利用，求角的取值范圍在△ABC中，角所對邊長分別為，,則角的取值范圍是.【解析】，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以角的取值范圍是.【變式3】在△ABC中，角所對邊長分別為，若a、c、b成等差，則角C的取值范圍是.【解析】因為a、c、b成等差，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以角的取值范圍是.【變式4】在△ABC中，角所對邊長分別為，若a、c、b成等比，則角C的取值范圍是.4.【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以角的取值范圍是.【變式5】利用，求邊長的最小值在△中，角所對邊長分別為，，若△的面積為，則邊的最小值為．5.【解析】，得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的最小值為．【變式6】利用，，求周長的最小值已知分別是的三個內(nèi)角的對邊，.（=1\*ROMANI）求角的大?。唬↖I）若的面積，求周長的最小值．6.【解析】（=1\*ROMANI）由正弦定理得，化簡整理得，所以.（II）由，得，，所以，又，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為，的最小值為.故周長的最小值為.【典例2】已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，且，則面積的最大值為_________．【解析】由條件可得,由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,即A=60°.再由，得.故△ABC的面積.所以面積的最大值為．【評注】最值問題經(jīng)常利用的不等式：，，.【變式1】利用余弦定理結(jié)合求周長的最大值已知分別為三個內(nèi)角的對邊，，，則周長的最大值為_______．1.6【解析】由余弦定理得，，解得，當(dāng)時取“=”，所以周長的最大值為6.【變式2】利用，結(jié)合余弦定理求面積的最大值在銳角中，角的對邊分別為,已知,，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面積的最大值．2.【解析】（Ⅰ）由，得，，，所以，又,故.（Ⅱ）由余弦定理得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故.【變式3】已知內(nèi)接于單位圓(半徑為1個單位長度的圓),且.(1)求角的大小;(2)求面積的最大值.3.【解析】(1)由已知得,整理得,所以,(2)由得,由得,(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號)所以，面積的最大值為.【變式4】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知（Ⅰ）證明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.4.【解析】(Ⅰ)由題意知，化簡得，即，因為,所以.從而.由正弦定理得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故的最小值為.【變式5】已知分別是的三個內(nèi)角的對邊，且(I)求角B的大??；(II)若，求b的取值范圍．5.【解析】(1)由已知得,化簡得，，所以.(2)由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以，又，所以b的取值范圍是.5.4化歸為三角函數(shù)的最值與值域問題【典例】在中，，則的最大值為________.【解析】由正弦定理知，得，又,所以,其中是第一象限角，所以的最大值為.【評注】在中，根據(jù)（為外接圓半徑），可將邊長轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角的正弦值，進而轉(zhuǎn)化為某一個角的三角函數(shù)的最值或值域問題.【變式1】在ABC中，.（1）求的大?。唬?）求的最大值.1.【解析】（1）由余弦定理及題設(shè)得又∵，∴；（2）由（1）知，，因為，所以當(dāng)時，取得最大值.【變式2】設(shè)的內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求角B的大??；（2）若，求的周長的取值范圍。2.【解析】（1）由余弦定理得化簡整理得，所以.（2）由，，，故的周長的取值范圍為．【變式3】如圖，在等腰直角中，，，點在線段上．(1)若，求的長；(2)若點在線段上，且，問：當(dāng)取何值時，的面積最小？并求出面積的最小值．3.【解析】(1)由余弦定理得，,解得.(2)設(shè)，則，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故.因，所以當(dāng)時，的最大值為1，此時的面積取到最小值，即時，的面積的最小值為.6.三角形中幾種常見的變換方法6.1兩角和與第三角的三角函數(shù)關(guān)系【典例】在中，角所對應(yīng)的邊分別為.已知，，求角C.【解析】，得即，化簡得，又因為是的內(nèi)角，所以，又因為，所以.【評注】在中，，所以有；；.【變式1】在中，角所對應(yīng)的邊分別為.若,,，則（）（A）4（B）（C）3（D）1.D【解析】，∴，由余弦定理得.【變式2】在中，角所對應(yīng)的邊分別為.已知，則的值為.2.1【解析】由題意易得，?！咀兪?】在中，角所對應(yīng)的邊分別為.若，則之間的關(guān)系可用等式表示為．3.【解析】，即，即，所以，故.【變式4】在中，角所對應(yīng)的邊分別為.已知，，求B.4.【解析】，，，.【變式5】已知是三角形三內(nèi)角，向量，且，若，求的值.5.【解析】由，得，即，因為,所以.因為，化簡得，，得.所以．【變式6】在中，已知．(1)求證：；(2)若求A的值．6.【解析】（1）由已知得，即，，所以.（2）由，則.即.∴.由（1），得，解得，又因為，，所以A,B為銳角，所以，∴.∴.【變式7】已知的內(nèi)角，面積滿足所對的邊，求證：。7.【解析】，,，即得；根據(jù)三角形面積公式，得，所以，，所以，又，得，所以【變式8】在銳角三角形中，若，則的最小值是.8.【解析】由，得，又，又，可得（*），由三角形為銳角三角形，則，在（*）式兩側(cè)同時除以可得，所以,所以。6.2不能遺忘的“切化弦”【典例】已知銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為.且，則角B的大小為_________．【解析】由，得，所以，又因為△ABC是銳角三角形，所以.【評注】在三角函數(shù)部分切弦互化是很容易想到，在解三角形問題中，遇到切也要考慮是否需要采用“切化弦”.【變式1】在中，已知，則．1.3【解析】由已知得，所以，故.【變式2】在銳角中，角所對應(yīng)的邊分別為.，則.【解析】，.【變式3】在中，角所對的邊分別為，若，且，則該三角形的面積的最大值為.【解析】由已知得，化簡整理得，，有正弦定理得，再由余弦定理整理得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”，所以該三角形的面積的最大值為.7.常見的解三角形實例7.1距離的測量問題【典例】在相距2千米的兩點處測量目標(biāo)點C（無法到達），若，，則兩點之間的距離為________千米．【解析】由已知條件，得.結(jié)合正弦定理，得，即，解得(千米)．所以兩點之間的距離為eq\r(6)千米.【評注】(1)在測量上，我們根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線（如本題中的線段AB）．一般來說，基線越長，測量的精確度越高．(2)解決實際測量問題的過程一般要充分理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解．【變式1】如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°處，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75°處，且與它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.1.32【解析】設(shè)航速為nmile/h，在中，，nmile，，，所以nmile/h.【變式2】要測量對岸兩點之間的距離，選取相距eq\r(3)km的兩點，并測得，求之間的距離．2.【解析】如圖所示，在中，，，在中，,有正弦定理得（km），在中，有余弦定理得（km）.7.2高度的測量問題【典例1】如圖所示，為測一樹的高度，在地面上選取兩點，從兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且兩點間的距離為60m，則樹的高度為________m.【解析】在中，，所以，由正弦定理得，，所以樹的高度為(m).【評注】仰角和俯角：與目標(biāo)線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方叫俯角(如圖)．【變式1】如圖，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為，，此時氣球的高是，則河流的寬度BC約等于.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：，，，，）1.【解析】易得，.【變式2】某登山隊在山腳A處測得山頂B的仰角為45°，沿傾斜角為30°的斜坡前進1000m后到達D處，又測得山頂?shù)难鼋菫?0°，則山的高度BC為________m.2.【解析】過點作交，,由正弦定理得(m)，(m).【變式3】在某個位置測得某山峰仰角為，對著山峰在水平地面上前進900m后測得仰角為，繼續(xù)在水平地面上前進300eq\r(3)m后，測得山峰的仰角為，則該山峰的高度為________m.3.【解析】如圖所示，，，由，解得，則，，所以山峰的高度（m）.【變式4】如圖，在湖面上高為10m的處測得天空中一朵云C的仰角為30°，測得云C在湖中之影D的俯角為45°，則云C距湖面的高度為________m.4.【解析】，在,中，，在中，,所以，解得.【典例2】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北的方向上，行駛600m后到達處，測得此山頂在西偏北的方向上，仰角為，則此山的高度m.【解析】依題意，，，在中，由，所以，因為，所以在中由正弦定理得，即m.在中，因為，，所以，故m.【評注】方向角：從東、西、南、北的某一方向開始最小角旋轉(zhuǎn)到另一方向時所轉(zhuǎn)的角度．如西偏北75°，就是從西開始旋轉(zhuǎn)到正北，轉(zhuǎn)過的角度為75°．方位角：從測者所站位置逆時針旋轉(zhuǎn)到正北方向時所轉(zhuǎn)的最小角．【變式1】要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇兩觀測點，在兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得電視塔底部與地連線及兩地連線所成的角為120°，兩地相距500m，則電視塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m1.D【解析】設(shè)塔高m，則m，m，在中，得，解得(負(fù)值已舍)，，故選D.【變式2】如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個測點與.測得＝，＝，＝30m，并在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高＝m.2.【解析】由，,所以（m）.【變式3】如圖，為測量山高，選擇和另一座山的山頂為測量觀測點．從點測得點的仰角，點的仰角以及；從點測得.已知山高m，則山高＝____m.3.150【解析】易得(m)，在中，由，得，在中，可求(m).【變式4】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂在西偏北的方向上，仰角為，行駛4km后到達處，測得山頂在西偏北的方向上.（Ⅰ）求山的高度；（Ⅱ）設(shè)汽車行駛過程中，仰望山頂?shù)淖畲笱鼋菫?，?4.【解析】（Ⅰ）設(shè)山高為（m)，則.在中，，，根據(jù)正弦定理，得（m）.（Ⅱ）如圖，過點作，垂足為，連接，，，，所以?！咀兪?】如圖，跳傘塔高4，在塔頂測得地面上兩點的俯角分別是，又測得,求兩地的距離.5.【解析】因為,所以在中,，又因為,所以在中,在中，由余弦定理得：，故.7.3角度的測量問題【典例】甲船點發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東60°的處，乙船以每小時海里的速度向北行駛，已知甲船的速度是每小時海里，問甲船應(yīng)沿著什么方向前進，才能最快與乙船相遇？【解析】如圖所示．設(shè)經(jīng)過t小時兩船在點相遇，則在中，(海里)，(海里)，B＝120°，由正弦定理得，整理得，又因為，所以，因此.所以甲船應(yīng)沿著北偏東30°的方向前進，才能最快與乙船相遇．【評注】追及問題常用正余弦定理求解．【變式1】兩座燈塔和與海岸觀察站的距離相等，燈塔在觀察站北偏東40°，燈塔在觀察站南偏東60°，則燈塔在燈塔的()北偏東10°B.北偏西10°C.南偏東10°D.南偏西10°1.B【解析】燈塔,的相對位置如圖所示，由已知得，，則，即北偏西10°.故選B.【變式2】如圖，兩座相距60m的建筑物的高度分別為20m，50m，為水平面，則從建筑物的頂端看建筑物的張角為________．2.45°【解析】依題意可得在中，有余弦定理得?！咀兪?】如圖所示，位于處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向即沿直線前往處救援，求的值．3.【解析】在中，由余弦定理，得.由正弦定理得,，所以.【變式4】某漁船在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，立即測出該漁船在方位角為45°，距離為10海里的處，并測得漁船正沿方位角為105°的方向，以10海里/小時的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以10eq\r(3)海里/小時的速度直線航行前去營救，求艦艇的航向和靠近漁船所需的時間．【解析】如圖所示，設(shè)所需時間為t小時，則，在中，，，根據(jù)余弦定理可解得，此時，，又有正弦定理求得，所以艦艇航行的方位角為75°，艦艇需1小時靠近漁船.7.4是否進入某區(qū)域問題【典例】海濱某城市A附近海面上有一臺風(fēng)，在城市A測得該臺風(fēng)中心位于方位角150°、距離400km的海面P處，并以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移動.如果臺風(fēng)侵襲的范圍是半徑為250km的圓形區(qū)域，問：幾小時后該城市開始受到臺風(fēng)侵襲？（）【解析】如圖所示，設(shè)臺風(fēng)移動到B時，A市開始受到臺風(fēng)侵襲.由題意知，由正弦定理得,則，又再由正弦定理得，，故，即2.8小時后該城市開始受到臺風(fēng)侵襲.【評注】是否進入某區(qū)域問題，一般轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離與符合某區(qū)域條件的距離的大小比較.【變式1】如圖，一船由西向東航行，在A處