函數的概念和圖象 高一數學蘇教版（2019）必修第一冊

第5章函數概念與性質5.1函數的概念和圖象在現實生活中，我們可能會遇到下列問題：1.人口數量變化趨勢是我們制定一系列相關政策的依據.從中國統(tǒng)計年鑒中可以查得我國1979~2014年人口數據資料(年末)如表5-1-1所示，你能根據該表說出我國人口的變化情況嗎?表5-1-11979~2014年我國人口數據表年份19791984198919941999200420092014人口數/百萬97510441127119912581300133513682.一物體從靜止開始下落，下落的距離y(單位：m)與下落時間x(單位：s)之間近似地滿足關系式y(tǒng)＝4.9x2.

若一物體下落2s，你能求出它下落的距離嗎?3.圖5-1-1為某市一天24小時內的氣溫變化圖.(1)上午6時的氣溫約是多少?全天的最高、最低氣溫分別是多少?(2)在什么時刻，氣溫為0℃?(3)在什么時段內，氣溫在0℃以上?在上述的每個問題中都含有兩個變量，當一個變量的取值確定后，另一個變量的值隨之唯一確定.根據初中學過的知識，每一個問題都涉及一個確定的函數.這就是它們的共同特點.●如何用集合語言來闡述上述3個問題的共同特點?第一，每個問題均涉及兩個非空數集A，B.例如，在第一個問題中，一個集合A由年份數組成，即A＝{1979，1984，1989，1994，1999，2004，2009，2014}；另一個集合B由人口數(百萬)組成，即B＝{975，1044，1127，1199，1258，1300，1335，1368}.第二，每個問題均存在某種對應關系，對于A中任意元素x，B中總有一個元素y

與之對應.例如，在第一個問題中，若x(年份)取1979，則y(百萬)取975.

這時，我們說“1979對應到975”，或者說“輸入1979，輸出975”，簡記為1979→975.圖5-1-2所示的“箭頭圖”可以清楚地表示這種對應關系，這種對應具有“一個輸入值對應到唯一的輸出值”的特征.197919841989199419992004200920149751044112711991258130013351368一、函數(1)概念：①定義：一般地，給定兩個非空實數集合A和B，如果按照某種對應關系f，對于集合A中的每一個實數x，在集合B中都有______的實數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.唯一②記法：y＝f(x)，x∈A.③定義域：x叫作自變量，集合A叫作函數的定義域；值域：所有輸出值y組成的集合{y∣y＝f(x)，x∈A}

稱為函數的值域.(2)本質：函數的集合定義.【思考】1.對于函數f：A→B，值域一定是集合B嗎?為什么?提示：不一定.值域是集合B的子集.2.對應關系f必須是一個解析式的形式嗎?為什么?3.f(x)的含義是什么?提示：不一定.可以是數表，也可以是圖象.提示：集合A中的數x在對應關系f的作用下對應的數.考察本章引言中的問題(1)，對于每一個x(x∈(0，＋∞))，都有唯一的實數y＝π與x

對應.因此，y＝π(x∈(0，＋∞))是x的函數.由函數定義還可知，雖然兩個函數的表達形式不同，但如果其對應關系相同，定義域相同，那么這兩個函數就是同一個函數.例如函數y＝x2(x∈(0，＋∞))與函數s＝t2(t∈(0，＋∞))是同一個函數.如果兩個函數的表達式相同，即其對應關系相同，但定義域不同，那么這兩個函數就是不同的函數.

給定函數時要指明函數的定義域.

對于用表達式表示的函數，如果沒有指明定義域，那么，就認為函數的定義域是指使函數表達式有意義的輸入值的集合.二、同一個函數前提條件_______相同_________相同結論這兩個函數是同一個函數定義域對應關系【思考】函數有定義域、對應關系和值域三要素，為什么判斷兩個函數是否是同一個函數，只看定義域和對應關系?提示：由函數的定義域和對應關系可以求出函數的值域，所以判斷兩個函數是否是同一個函數，只看定義域和對應關系即可.三、常見的函數的定義域和值域函數一次函數反比例函數對應關系y＝ax＋b(a≠0)y＝(k≠0)定義域R{x∣x≠0}值域R{y∣y≠0}函數二次函數________對應關系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)定義域RR值域

a＞0a＜0例1判斷下列對應是否為函數：

(2)x→y，這里y2＝x，x∈N，y∈R；解考慮輸入值為4，即當x＝4時輸出值y由y2＝4給出，得y＝2和y＝－2.這里一個輸入值與兩個輸出值對應，所以，x→y(y2＝x，x∈N，y∈R)不是函數.(3)當x為有理數時，x→1；當x為無理數時，x→0.解由題意知，對于任意的有理數x，總有唯一的元素1與之對應；對于任意的無理數x，總有唯一的元素0與之對應.因此，根據函數的定義，可知這個對應是函數，可以表示為1，

x

為有理數y

＝0，

x為無理數例2求下列函數的定義域：

例3求下列函數的值域：(1)f(x)＝(x－1)2－1，x∈{－1，0，1，2，3}；解函數的定義域為{－1，0，1，2，3}.因為f(－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，

f(0)＝2，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝5，

所以這個函數的值域為{1，2，5}.(2)f(x)＝(x－1)2＋1.解函數的定義域為R.

因為(x－1)2＋1≥1，

所以這個函數的值域為{y∣y≥1}.【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”. (

)(2)根據函數的定義，定義域中的任何一個x可以對應著值域中不同的y.(

)(3)在研究函數時，除用符號f(x)外，還可用g(x)，F(x)，G(x)等來表示函數. (

)???2.下列兩個變量之間的關系不是函數關系的是 (

)A.出租車車費與出租車行駛的里程B.商品房銷售總價與商品房建筑面積C.鐵塊的體積與鐵塊的質量D.人的身高與體重D解析：A.出租車車費與行程是函數關系；B.商品房銷售總價與建筑面積是函數關系；C.鐵塊的體積與質量是函數關系；D.人的身高與體重不是函數關系.解析3.如圖能表示函數關系的是____________.

①②④解析：由于③中的2與1和3同時對應，故③不是函數關系.解析【課堂檢測·素養(yǎng)達標】1.對于函數f：A→B，若a∈A，b∈A，則下列說法錯誤的是 (

)

A.f(a)∈B

B.f(a)有且只有一個C.若f(a)＝f(b)，則a＝b

D.若a＝b，則f(a)＝f(b)C解析：對于函數f：A→B，a∈A，b∈A，則根據函數的定義，f(a)∈B，且f(a)唯一，故若a＝b，則a，b代表集合A中同一個元素，這時，有f(a)＝f(b)，故A，B，D

都對.但若f(a)＝f(b)，則不一定有a＝b，如f(x)＝x2，顯然f(－1)＝f(1)＝1，但－1≠1，故C錯誤.解析2.如表表示y是x的函數，則該函數的定義域是________，

值域是_______________.

x0＜x＜11≤x＜22≤x＜33≤x≤4y1234(0，4]

{1，2，3，4}解析：由題表可知，函數的自變量x從0開始至4，每個數都有意義，所以定義域為(0，4]；該函數是一個分段函數，從表中的數據可知，y只能取到1，2，3，4這四個數，所以值域為{1，2，3，4}.解析3.若函數y＝x2－3x的定義域為{－1，0，2，3}，則其

值域為_______________.

{－2，0，4}解析：依題意，當x＝－1時，y＝4；當x＝0時，y＝0；

當x＝2時，y＝－2；當x＝3時，y＝0，

所以函數y＝x2－3x的值域為{－2，0，4}.解析4.下列對應關系是集合P上的函數的是______.(填序號)

①P＝Z，Q＝N*，對應關系f：對集合P中的元素取絕對值與集合Q中的元素相對應;②P＝{－1，1，－2，2}，Q＝{1，4}，對應關系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x∣x＞0}，對應關系f：對P中的三角形求面積與集合Q中的元素對應.②練習1.某班級學號為1~6的學生參加數學測試的成績如下表所示，試將學號與成績的對應關系用“箭頭圖”表示

在下圖中.學號123456成績807579809880學號123456成績807579809880123456757980982.從甲地到乙地的火車票價為80元，兒童乘火車時，按

照身高選擇免票、半票或全票.選購票種的規(guī)則如下表

所示：身高h/m購票款數/元h≤1.201.2＜h≤1.540h＞1.580身高h/m購票款數/元h≤1.201.2＜h≤1.540h＞1.580(1)若兒童身高h為輸入值，相應的購票錢款為輸出值，則1.0→________，1.3→_______，1.6→________；(2)若購票錢款為輸入值，兒童身高h

為輸出值，則0→__________，40→______________.04080h≤1.21.2＜h≤1.53.判斷下列對應是否為從A到B的函數：(1)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{0，2，4，6，8}，對任意的x∈A，x→2x；解

x＝5∈A，2x＝10?B，故不是函數.綜上所述，結論是：

對應x→2x

不是從A到B的函數.(2)A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∣x＜10，x∈N，對任

意的x∈A，x→2x＋1；解：x＝1∈A→2x＋1＝3∈B；x＝2∈A→2x＋1＝5∈B；

x＝3∈A→2x＋1＝7∈B；

x＝4∈A→2x＋1＝9∈B；滿足函數的定義.綜上所述，結論是：對應x→2x＋1是從A到B的函數.(3)A＝B＝N*，對任意的x∈A，x→x－1；解

x＝1∈A，x－1＝0?B，故不是函數.綜上所述，結論是：

對應x→x－1不是從A到B的函數.(4)A為正實數集，B＝R，對任意的x∈A，x→x的算

術平方根.

4.判斷下列對應是否為函數：

是是是是不是是

6.求下列函數的定義域：(1)f(x)＝1－3x；

解：R.解由x2－1≠0，得x≠±1，∴函數f(x)的定義域為{x∣x≠±1}.

2＋x＞0解由得－2≤x≤1，1－x≥0∴函數f(x)的定義域為[－2，1].

x＋1≥0解由得x≥－1且x≠0，

x≠0∴函數f(x)的定義域為[－1，0)∪(0，＋∞).7.求下列函數的值域：(1)f(x)＝x2＋x，x∈{l，2，3}；解

函數的定義域為{1，2，3}，

∵f(1)＝12＋1＝2，f(2)＝6，f(3)＝12.

∴函數f(x)的值域為{2，6，12}.(2)f(x)＝(x－1)2－1；解函數的定義域為R，

∵(x－1)2－1＞－1，

∴函數f(x)的值域為[－1，＋∞).(3)f(x)＝x＋1，x∈(1，2].解∵x∈(1，2]，

∴x＋l∈(2，3]，

∴函數f(x)的值域為(2，3].

四、函數的圖象(1)定義將自變量的一個值x0作為_______，相應的___________作為縱坐標，就得到坐標平面上的一個點(x0，f(x0)).

當自變量取遍函數定義域A中的每一個值時，就得到一系列這樣的點.所有這些點組成的圖形就是函數y＝f(x)的圖象.橫坐標函數值f(x0)(2)集合表示：

所有這些點組成的集合(點集)為________________，即_________________________.(3)本質：函數對應的圖形，即幾何意義.{(x，f(x))∣x∈A}{(x，y)∣y＝f(x)，x∈A}

【思考】集合{x∣y＝f(x)，x∈A}、{y∣y＝f(x)，x∈A}能表示函數的圖象嗎?為什么?提示：不能.上述兩個集合都是數集，不是點集.因此不能表示函數的圖象.第一個集合表示函數的定義域，第二個集合表示函數的值域.例4試畫出下列函數的圖象：(1)f(x)＝x＋1；(2)f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3).解：描點作出圖象，函數圖象分別如圖5-1-4和5-1-5所示.函數f(x)＝(x－1)2＋1，x∈[1，3)的圖象為函數g(x)＝(x

－1)2＋1，x∈R的圖象上x∈[1，3)的一段.其中，點(1，1)在圖象上，用實心點表示；而點(3，5)不在圖象上，用空心點表示.例5在5.1節(jié)開頭的第一個問題中，如果把人口數y(百萬)看作年份

x

的函數，試根據表5-1-1，畫出這個函數的圖象.解由表5-1-1的數據，西出的函數圖象是8個點，如圖5-1-6所示.思考設函數y＝f(x)的定義域為A，集合P＝{(x，y)∣y＝

f(x).x∈A}與Q＝{y∣y＝f(x)，x∈A}相等嗎?請說明理由.例6試畫出二次函數f(x)＝x2＋1的圖象，并根據圖象回答下列問題：(1)比較f(－2)，f(1)，f(3)的大?。?2)若0＜x1＜x2，試比較f(x1)與f(x2)的大小.解函數圖象如圖5-1-7.(1)比較f(－2)，f(1)，f(3)的大小；解根據圖5-1-7(1)，容易發(fā)現

f(－2)＝f(2)，

f(1)＜f(2)＜f(3).所以f(1)＜f(－2)＜f(3).(2)若0＜x1＜x2，試比較f(x1)與f(x2)的大小.解根據圖5-1-7(2)，容易發(fā)現當0＜x1＜x2時，

f(x1)＜f(x2).思考在例6(2)中，(1)如果把“0＜x1＜x2”改為“x1＜x2＜0”，那么f(x1)與f(x2)哪個大?(2)如果把“0＜x1＜x2”改為“∣x1∣＜∣x2∣”，那么f(x1)與f(x2)哪個大?請結合圖象回答上述兩個問題，并用不等式的基本知識來解決例6及上述思考中的問題.信息技術下面我們介紹在Excel工作表中用“描點連線”的方法繪制函數f(x)＝(x－1)2＋1的圖象，不妨作x∈[－2，2]上的圖象.(1)第一列產生自變量的值：在單元格A1，A2內分別輸入－2，－1.9，選中這兩個單元格后，按住鼠標左鍵并向下方拖曳“填充柄”，如圖5-1-8，直到單元格內出現填充值2時為止.(2)第二列產生對應的函數值：

如圖5-1-9，在B1內輸入“＝(A1－1)^2＋1”，敲回車鍵或在編輯欄內選中“√”，拖曳B1的填充柄至所需的單元格(或雙擊B1的填充柄)，得到與第一列相對應的函數值.(3)成圖：光標置于數據區(qū)的任一位置，插入“圖表”，選擇“XY散點圖/無數據點平滑線散點圖”，點擊“完成”，便得函數f(x)＝(x－1)2＋1在區(qū)間[－2，2]上的圖象，如圖5-1-10.你能用上面的方法繪制函數f(x)＝x3的圖象嗎?【基礎小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)(1)已知函數y＝f(x)，x∈A，若x0?A，則點(x0，f(x0))一定不在函數的圖象上.(

)(2)直線x＝a和函數y＝f(x)，x∈[m，n]的圖象有1個交點. (

)(3)函數的圖象一定是連續(xù)的. (

)???2.(多選題)下列坐標系中的曲線或直線，能作為函數

y＝f(x)的圖象的有 (

)BD解析：能作為函數的圖象，必須符合函數的定義，即定義域內的每一個x只能有唯一的y與x對應，故BD可以，AC不可以.解析3.函數y＝x＋1，x∈Z，且∣x∣＜2的圖象是________.

(填序號)

③解析：由題意知，函數的定義域是{－1，0，1}，值域是{0，1，2}，函數的圖象是三個點，故③正確.解析【課堂檢測·素養(yǎng)達標】

1.函數y＝x0

的圖象是 (

)B解析解析：因為函數y＝x0的定義域為{x|x≠0}，所以排除A，C.又y＝x0＝1，所以排除D.

B解析

C解析4.若函數y＝f(x)的圖象經過點(0，1)，那么函數y＝f(x＋4)

的圖象經過點___________.

(－4，1)解析解析：y＝f(x＋4)可以認為把y＝f(x)向左移了4個單位，由y＝f(x)經過點(0，1)，易知f(x＋4)經過點(－4，1).練習1.畫出下列函數的圖象：(1)f(x)＝2x－1；(2)f(x)＝2x－1，x∈[－1，2)；

(5)f(x)＝x2，x∈[－1，2]；(6)f(x)＝(x－1)2，x∈[0，3].2.先畫出下列函數的圖象，再求出每個函數的值域：(1)f(x)＝(x－1)2，x∈{－1，0，1，2}；解由定義域為{－1，0，1，2}知，其函數圖象就是四個點：A(－1，4)，B(0，1)，C(1，0)，D(2，1)，圖象如圖所示.其值域為{4，1，0}.(2)f(x)＝x2，x∈[1，2)；解函數f(x)＝x2，x∈[1，2)的圖象是拋物線x2＝y(tǒng)落在第一象限內的一部分，其圖象如圖所示.函數f(x)＝x2，x∈[1，2)為增函數，故值域為[f(1)，f(2))＝[1，4)

3.根據如圖所示的函數y＝f(x)的圖象填空：(1)f(0)＝_______，f(1)＝_______，f(2)＝_______.(2)若－1＜x1＜x2＜1，則f(x1)與f(x2)的大小關系是___________.230f(x1)＜f(x2)習題5.1感受·理解1.已知函數y＝5x－2.(1)當x＝0，1，5時，分別求出y的值；解∵函數y＝5x－2，

∴當x＝0時，y＝5×0－2＝－2；

當x＝1時，y＝5×1－2＝3；

當x＝5時，y＝5×5－2＝23；(2)當y＝0，1，5時，分別求出x的值.

2.判斷下列對應f是否為從集合A

到集合B

的函數：

滿足函數的定義，則f為從集合A到集合B的函數.(2)A＝{1，2，3}，B＝{7，8，9}，f(1)＝f(2)＝7，f(3)＝8；滿足函數的定義，f是從集合A到集合B的函數.(3)A＝B＝{1，2，3}，f(x)＝2x－1；∵f(2)＝5，不滿足條件.

故f不是從集合A到集合B的函數；(4)A＝B＝{x∣x

≥

－1}，f(x)＝2x＋1；滿足函數的定義，則f是從集合A到集合B的函數；(5)A＝Z，B＝{－1，1}，n為奇數時，f(n)＝－1；

n為偶數時，f(n)＝1.滿足函數的定義，則f是從集合A到集合B的函數.3.求下列函數的定義域、值域，并畫出圖象：(1)f(x)＝3x；解函數f(x)＝3x定義域為R，值域為R，圖象如下：(2)f(x)＝－3x＋1；解函數f(x)＝－3x＋1定義域為R，值域為R，圖象如下：

解定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，

值域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，

圖象如下：

解定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，

值域為(－∞，1)∪(1，＋∞)，

圖象如下：(5)f(x)＝1－x2；解定義域為R，

值域為(－∞，1]，

圖象如下：(6)f(x)＝x2＋2x.解定義域為R，

值域為[－1，＋∞)，

圖象如下：4.判斷下列各組函數是否是同一個函數，并說明理由：

(2)y＝x2，y＝x2，x∈[0，＋∞)；解不是.

因為兩個函數的定義域不同(3)y＝x，s＝t；解

是.雖然兩個函數的變量不同，

但定義域都是R，對應關系也相同.(4)f(x)＝1，g(x)＝1.解

是.因為兩個函數的定義域相同，

對應關系也相同.思考·運用5.已知函數f(x)＝ax＋b，且f(3)＝7，f(5)＝－1，

求f(0)，f(1)的值.解∵f(x)＝ax＋b，且

f(3)＝7，f(5)＝－1，3a＋6＝7∴，解得a＝－4，b＝19.