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相交線人教版數(shù)學(xué)七年級下冊1234如圖,觀察剪刀剪開布片過程中有關(guān)角的變化.可以發(fā)現(xiàn),握緊剪刀的把手時,隨著兩個把手之間的角逐漸變小,剪刀刃之間的角也相應(yīng)變小,直到剪開布片.如果把剪刀的構(gòu)造看作兩條相交的直線,這就關(guān)系到兩條相交直線所成的角的問題.探究如圖,任意畫兩條相交的直線,形成四個角,∠1和∠2有怎樣的位置關(guān)系?∠l和∠3呢?ABCDO1234∠1和∠2有一條公共邊OC,它們的另一邊互為反向延長線.∠1和∠3有一個公共頂點O,并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長線.探究分別量一下各個角的度數(shù),∠1和∠2的度數(shù)有什么關(guān)系?∠1和∠3呢?∠1=50°,∠2=130°,∠3=50°,∠4=130°.∠1+∠2=180°,∠1=∠3.ABCDO1234還可以得到:∠3+∠4=180°,∠2=∠4.探究在下圖剪刀把手之間的角變化的過程中,各個角之間的關(guān)系還保持嗎?為什么?各個角之間的關(guān)系仍保持.理由:由圖知∠1+∠2=∠2+∠3=180°,所以∠1=∠3.同理可得∠2=∠4.1234ABCDO1234兩個角有__________和_____________,它們的另一邊互為___________,具有這種關(guān)系的兩個角,互為_______.如下圖中的∠1和∠2,∠2和∠3,∠3和∠4,∠4和∠1都互為_______.歸納公共頂點一條公共邊反向延長線鄰補角鄰補角
1.鄰補角互補.
2.互為鄰補角的兩個角滿足:(1)有公共頂點和一條公共邊;(2)另一邊互為反向延長線.
3.鄰補角是成對出現(xiàn)的,單獨一個角或兩個以上的角不能互為鄰補角.鄰補角的兩種類型(1)由兩條直線相交形成;(2)由一條直線和一條端點在該直線上的射線形成,如圖中的∠1和∠2.12歸納兩個角有__________,且它們的兩邊分別互為___________,具有這種位置關(guān)系的兩個角,互為________.如下圖中的∠1和∠3,∠2和∠4都互為_________.公共頂點反向延長線對頂角ABCDO1234對頂角思考ABCDO1234如圖,可以得到對頂角的什么性質(zhì)?觀察圖形,可以得到:∠1
與∠2
互補,∠3
與∠2
互補,由“同角的補角相等”,可以得出∠1=∠3.類似地,∠2=∠4.得到對頂角的性質(zhì):對頂角相等.推出“對頂角相等”這個結(jié)論的過程,可以寫成下面的形式:因為∠1與∠2互補,∠3與∠2互補(鄰補角的定義),所以∠1=∠3(同角的補角相等).此處進一步將“對頂角相等”的說理過程寫成“因為……所以……”的形式,是為了逐步培養(yǎng)學(xué)生規(guī)范的推理表達.1.兩條直線相交是形成對頂角的前提條件.2.兩直線相交,對頂角有2對.ABCDO1234仔細觀察下面的動圖,感受“對頂角相等”.仔細觀察下面的動圖,感受“對頂角相等”.
例1如圖,直線AB,CD,EF
相交于一點O,請找出∠COF
的鄰補角.ABCDEFO解:∠COF的鄰補角有∠DOF和∠COE.歸納兩步尋找鄰補角第1步:固定角的一邊;第2步:將另一邊反向延長.由固定邊和另一邊的反向延長線組成的角就是原角的鄰補角.
例2下列四個圖形中,∠1與∠2互為對頂角的是().
ABCD解析:選項A,D:均有一邊不互為反向延長線,故不是對頂角;選項B:有一邊不互為反向延長線,且兩角沒有公共頂點,故不是對頂角;選項C:符合對頂角的概念.C12121212歸納抓住兩特征,判斷兩角是否互為對頂角(1)兩角有公共頂點;(2)兩角的兩邊分別互為反向延長線.同時具有以上兩個特征的角互為對頂角,二者缺一不可.方法總結(jié)反向延長法找一個角的對頂角時,分別反向延長這個角的兩邊,以這兩條反向延長線為邊的角即原角的對頂角.
例3如圖,直線a,b相交,∠1=40°,求∠2,∠3,∠4的度數(shù).1234ab解:由鄰補角的定義,得∠2=180°-∠1=180°-40°=140°;由對頂角相等,得∠3=∠1=40°,∠4=∠2=140°.
例4如圖,直線AB,CD,EF兩兩相交,∠1=2∠3,∠2=80°,求∠4的度數(shù).2134ABCDEF分析:∠1與∠2互為對頂角,∠3與∠4互為鄰補角.先根據(jù)∠1與∠2的關(guān)系及∠1與∠3的關(guān)系,∠2=80°,求出∠1及∠3的度數(shù),再根據(jù)∠3與∠4的關(guān)系求出∠4的度數(shù).解:因為∠1和∠2互為對頂角,所以∠1=∠2=80°.
又因為∠1=2∠3,所以∠3=∠1=40°.因為∠3和∠4互為鄰補角,所以∠4=180°-∠3=140°.
例4如圖,直線AB,CD,E
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