數(shù)學(xué)地質(zhì)第七章 有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法

第七章有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法楊永國(guó)中國(guó)礦業(yè)大學(xué)資源與地球科學(xué)學(xué)院內(nèi)容提要:第一節(jié)概述第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第一節(jié)概述■

地質(zhì)數(shù)據(jù)中有相當(dāng)多是有序的。這些按一定順序排列的地質(zhì)變量，叫做有序地質(zhì)

量。例如，沿地層露頭剖面采集的巖石標(biāo)

本；鉆孔取出的巖芯樣品；這類(lèi)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)是樣品的前后次序不能變更。所以，一些不考慮樣品排列順序的

數(shù)學(xué)處理方法，對(duì)此不適用。有序地質(zhì)量

最優(yōu)分割法，就是對(duì)一批有序數(shù)據(jù)（地質(zhì)

體）進(jìn)行分段的統(tǒng)計(jì)方法。第一節(jié)概述

設(shè)有n個(gè)按順序排列的樣品，每個(gè)樣品測(cè)得

p個(gè)變量，這批數(shù)據(jù)可用數(shù)據(jù)矩陣的形式表示為其中， 表示第

i個(gè)樣品第l個(gè)變量的取值。第一節(jié)概述若對(duì)以上n個(gè)有序樣品進(jìn)行分割（分段），可能有種劃分方法，每一種分法稱(chēng)為一種分割。

對(duì)n個(gè)樣品分段并使組內(nèi)離差平方和最小的分割方法，稱(chēng)為最優(yōu)分割法。樣品變量總離差平方和的分解式為：T=W+B（7-1）式中，T為總離差平方和；W為組內(nèi)離差平方和；B為組間離差平方和。第一節(jié)概述

由式（7-1）可知，如果n個(gè)樣品分為K段，每段的樣品個(gè)數(shù)為nk，若每個(gè)樣品只取一個(gè)變量，則(7-2)■(7-3)第一節(jié)概述因此，尋求最優(yōu)分割，就是用計(jì)算的方法找出使組內(nèi)離差平方和（W）最小的那些分割點(diǎn)。這與判別分析中費(fèi)歇準(zhǔn)則相似，

所以有序地質(zhì)量最優(yōu)分割法，有人又稱(chēng)為

“F-分割法”或“有序樣品的聚類(lèi)分析”。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割主要內(nèi)容：一、最優(yōu)二段分割二、最優(yōu)三段分割三、最優(yōu)K段分割第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割若有n個(gè)有序樣品，每個(gè)樣品只取一個(gè)變量，則有n個(gè)有序數(shù)據(jù)序列，為現(xiàn)在試圖將這n個(gè)樣品按順序分割為K段，使段（組）內(nèi)離差平方和盡可能小，而組間離差平方盡可能大。為此，用{xi,xi+1,…,xj}表示從第i個(gè)樣品數(shù)據(jù)開(kāi)始至第j個(gè)樣品數(shù)據(jù)為止的某段樣品，其中1≤i≤j≤n該段樣品變量的離差平方和為（7-4）第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割式中■愈小，表示段內(nèi)各樣品之間差異性愈??；反之， 愈大，表示段內(nèi)各樣品之間的差異愈大。因此，又把 稱(chēng)為{i，…，j}段的段直徑。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，往往事先不知道n個(gè)有序樣品客觀上究竟能劃分成幾段。因此，必須從最優(yōu)分成二段、三段、…、K段進(jìn)行分析。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割一、最優(yōu)二段分割若把n個(gè)有序樣品{則有如下n-1種不同的分法，即}分為兩段，第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割在n個(gè)有序樣品中，對(duì)任意一個(gè)j（1≤j≤n-1）都可以確定一個(gè)二段分割，即{1，…，j}{j+1，…，n}。若把對(duì)n個(gè)樣品在第j個(gè)樣品處進(jìn)行的二段分割

的組內(nèi)離差平方和記為式中，n表示被分割的樣品數(shù)；2表示把n個(gè)樣品分為二段；j表示以第j個(gè)樣品為分割點(diǎn)。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割二、最優(yōu)三段分為三段，和第j個(gè)若把n個(gè)有序樣品其中必有兩個(gè)分割點(diǎn)。假設(shè)第樣品為分割點(diǎn)，則三段分割為若把三段分割的組內(nèi)離差平方和記為：

其中a1，j為兩個(gè)分割點(diǎn)（1≤a1≤j-1,2≤j1），則顯然，如果有 為最優(yōu)三段分割，則 必為最優(yōu)二段分割

。

因此，如果對(duì)n個(gè)有序數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)三段分割，必須對(duì)任意一個(gè)j（2≤j≤n-1），即前j數(shù)據(jù)先求出其最優(yōu)二段分割，為若則前j個(gè)樣品的最優(yōu)二段分割為第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割三、最優(yōu)K段分割若對(duì)n個(gè)有序樣品數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)K段分割，可先找出前j（K-1≤j≤n-1）個(gè)樣品的最優(yōu)K-1段最優(yōu)分割，即應(yīng)當(dāng)指出，分割的段數(shù)K一直可做到所要求的段數(shù)K為止；或者可以預(yù)先給定一個(gè)小正數(shù)

，使K段分割的組內(nèi)離差平方和后為止。這樣得出的K就是最后的分割的段數(shù)。第二節(jié)單元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割

由圖7-1所示組內(nèi)離差平方和是隨分段段數(shù)K的增加而單調(diào)地減少。所以當(dāng)K=n時(shí)，組內(nèi)離差平方和為零。因此，可根據(jù)組內(nèi)離差平方和隨段數(shù)增加而下降到比較穩(wěn)定的時(shí)候（即圖中曲線平緩時(shí)）再確定分段段數(shù)。圖7-1組內(nèi)離差平方和（W）與分段數(shù)（K）關(guān)系圖第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割為了分層，有時(shí)需要匯集樣品更多的信息，采用多個(gè)變量指標(biāo)。例如，采集n個(gè)有序樣品，每個(gè)樣品測(cè)得p個(gè)變量，原始數(shù)據(jù)可構(gòu)成一個(gè)階矩陣，為第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割在多變量情況下，人們自然會(huì)聯(lián)想到是否能將單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割原理引伸到多元數(shù)據(jù)中來(lái)，以此對(duì)n個(gè)有序樣品進(jìn)行分割，一般最簡(jiǎn)單有效的辦法就是把一段樣品多個(gè)變量合并為一個(gè)變量來(lái)處理，統(tǒng)一定義“段直徑”。但是，為了使不同變量具有共同的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)，事先要對(duì)各個(gè)變量進(jìn)行數(shù)據(jù)規(guī)格化處理，如使數(shù)據(jù)作正規(guī)化變換。原始數(shù)據(jù)矩陣中元素記為： ，則正規(guī)化數(shù)據(jù)為（7-8）第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割

根據(jù)正規(guī)化數(shù)據(jù)，將樣品段{i,…，j}的段直徑定義為■（7-9）式中（1≤

i≤j≤n，

β=1，2，…，p）

（7-10）第三節(jié)多元有序數(shù)據(jù)的最優(yōu)分割

若n個(gè)有序樣品分為K段，每段內(nèi)有nk個(gè)樣品，則多元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割的原理與單元有序數(shù)據(jù)最優(yōu)分割一樣，使組內(nèi)離差平方和

應(yīng)當(dāng)指出，樣品的段直徑除了用式（7-9）定義外，還可用其它方法定義。第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟1、數(shù)據(jù)正規(guī)化

設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟將X中的元素xil變換為（i=1,2,…，n；l=1，2，…，p）得正規(guī)化數(shù)據(jù)矩陣第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟2、計(jì)算段直徑矩陣D其中因?yàn)榈谒墓?jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟故只須計(jì)算個(gè)，得第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟3、計(jì)算全部分割的組內(nèi)離差平方和（或段直徑和）及各種分段的最優(yōu)分割1）最優(yōu)二段分割由D矩陣對(duì)每一個(gè)m=n，n-1，…，2計(jì)算相應(yīng)的組內(nèi)離差平方和，為找出最小值，確定響應(yīng)的最優(yōu)二段分割點(diǎn)，即第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟2）最優(yōu)三段分割根據(jù)D矩陣及最優(yōu)二段分割結(jié)果，對(duì)每一個(gè)m=n，n-1，…，3計(jì)算相應(yīng)的三段分割的組內(nèi)離差平方和，為然后求出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu)三段分割點(diǎn)，為第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟3）最優(yōu)K段分割根據(jù)矩陣D及最優(yōu)K-1段分割計(jì)算結(jié)果，對(duì)于每一個(gè)m=n，n-1，…，K分別計(jì)算相應(yīng)的K段分割的組內(nèi)離差平方和，為找出最小值，并確定相應(yīng)的最優(yōu)K段分割點(diǎn)，即第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟4繪制W-K曲線在W-K曲線上，選擇曲線拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的K值（取整）作為最終分段數(shù)。第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟例7-1 某煤礦所采煤層的煤質(zhì)牌號(hào)為主焦煤。在煤巷中見(jiàn)一火成巖墻侵入煤層，致使煤質(zhì)發(fā)生變化，為弄清楚煤質(zhì)變化情況，從火成巖附近每隔0.5m依次取一煤樣，獲得6個(gè)有序煤樣的鏡煤最大反射率數(shù)據(jù)為試進(jìn)行最優(yōu)分割。第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟此樣本的可能分割法共有25-1=31種，今要在這31種分割中找出一種最優(yōu)的分割（類(lèi)內(nèi)差別小，類(lèi)間差別大）。其作法如下：對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行正規(guī)化變換后得正規(guī)化數(shù)據(jù)，為計(jì)算直徑矩陣D，即第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟（3）最優(yōu)二段分割。由D對(duì)于m=6，5，4，3，2時(shí)，計(jì)算第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟從而得到6個(gè)樣品的最優(yōu)二段分割為：其中， 為分割點(diǎn)。（4）最優(yōu)三段分割。即對(duì)于m=6，5，4，3時(shí)，計(jì)算當(dāng)m=6時(shí)，則分割點(diǎn)為：第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟（5）最優(yōu)四段分割。即對(duì)于m=6，5，4時(shí)，計(jì)算當(dāng)m=6時(shí)，則第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟（6）最優(yōu)五段分割。即對(duì)于m=6，5時(shí)，計(jì)算第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟當(dāng)m=5時(shí)，則其中則其分割點(diǎn)為：第四節(jié)最優(yōu)分割法的計(jì)算步驟由組內(nèi)離差平方和（W）與分段段數(shù)（K）的關(guān)系圖（圖7-2）中看出，三段最優(yōu)分割