高等代數(shù)(全部)

歐氏空間第八章歐氏空間歐氏空間

§1

歐氏空間的定義和性質(zhì)§1歐氏空間的定義和性質(zhì)一、歐氏空間的定義定義1

設(shè)V實(shí)數(shù)域R上的線性空間，在V上定義一個二元函數(shù)，稱為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間。稱為內(nèi)積，記為：(1)(2)(3)它滿足以下四個條件：(4)當(dāng)且僅當(dāng)時有這里是V中任意的向量，k為實(shí)數(shù)，這樣的線性空間V歐氏空間§1歐氏空間的定義和性質(zhì)例1

設(shè)為二維實(shí)空間R2中的任意兩個向量，問：R2對以下規(guī)定的內(nèi)積是否構(gòu)成歐氏空間？(1)(2)(3)(4)(5)例2

設(shè)向量，A=(aij)為n階實(shí)矩陣。證明：的充要條件是A為正定矩陣。為Rn中的任意兩個為Rn的內(nèi)積§1歐氏空間的定義和性質(zhì)歐氏空間內(nèi)積的簡單性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4有歐氏空間二、向量的長度與夾角§1歐氏空間的定義和性質(zhì)向量定義2

對 的長度定義為：定理1

對于歐氏空間V中的任意向量恒有當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時，等號成立。是歐氏空間的兩個非零向量，定義3

設(shè)的夾角為：例3

在R3中，向量求的夾角。歐氏空間

§1

歐氏空間的定義和性質(zhì)三、向量的正交定義4

對歐氏空間V中的兩個向量與

正交或垂直，記為：注意：零向量與任一向量正交。例4

在R4中求一單位與下面三個向量正交。若內(nèi)積則稱歐氏空間四、度量矩陣矩陣注:(1)度量矩陣A是實(shí)對稱矩陣。度量矩陣A是正定矩陣。確定一組基后，向量的內(nèi)積可由度量矩陣A完全確定不同基的度量矩陣是合同的。§1歐氏空間的定義和性質(zhì)稱為基的過渡矩陣(Gram矩陣)。歐氏空間§1歐氏空間的定義和性質(zhì)例5

設(shè)是n維歐氏空間V中的一組向量，令證明：當(dāng)且僅當(dāng)時，線性無關(guān)。§2標(biāo)準(zhǔn)正交基歐氏空間

§2

標(biāo)準(zhǔn)正交基一、標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義與性質(zhì)定義1

歐氏空間V中一組兩兩正交的非零向量稱為V的一個正交向量組。如果一個正交組的每一個向量都是單位向量，則這樣的向量組稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。性質(zhì)1

歐氏空間V中的正交向量組必定線性無關(guān)。注：(1)單個非零向量也稱為一個正交向量組。(2)線性無關(guān)的向量組不一定是正交向量組。歐氏空間定義2

在n維歐氏空間中，由n個向量組成的正交向量組稱為正交基，由n個標(biāo)準(zhǔn)正交向量組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基?！?標(biāo)準(zhǔn)正交基(4)一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的充要條件是它的度量矩陣為單位矩陣。性質(zhì)2

設(shè)是n維歐氏空間V中的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則(1)(2)若則(3)若

則歐氏空間定理1

n維歐氏空間V中任一個正交向量組都可以擴(kuò)充為一組正交基。二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法§2標(biāo)準(zhǔn)正交基定理2

對于n維歐氏空間V中任意一組基都可以找使得一組標(biāo)準(zhǔn)正交基歐氏空間二、標(biāo)準(zhǔn)正交基的求法§2標(biāo)準(zhǔn)正交基例1

把化為單位正交的向量組。其中求W的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。例2

設(shè)是五維歐氏空間V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，令§2標(biāo)準(zhǔn)正交基歐氏空間例3

在R[x]4中定義內(nèi)積為：求R[x]4的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。定義3

n階實(shí)矩陣

A

滿足

A"A=E，則稱

A

為正交矩陣。定理3

在歐氏空間V中，標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣。反之，若第一組是標(biāo)準(zhǔn)正交基，過渡矩陣是正交矩陣，則第二組基也是標(biāo)準(zhǔn)正交基。歐氏空間

§2

標(biāo)準(zhǔn)正交基定理4

設(shè)A=(aij)是n階實(shí)矩陣，則下列幾個結(jié)論等價：A是正交矩陣，即

A"A=E；AA"=E；A的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；A的行向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組；A-1=A。歐氏空間§2標(biāo)準(zhǔn)正交基例4

正交矩陣的特征值為±1。例5

奇數(shù)階的正交矩陣A滿足|A|>0，則A一定有特征值1。例6

證明上三角矩陣A必為對角矩陣，且對角線上元素為1或-1例7

設(shè)A為n階實(shí)非奇異矩陣，證明：A可以分解為A=QR，其中Q為正交矩陣，R為對角線上全為正實(shí)數(shù)的上三角矩陣，并且這種分解是唯一的。歐氏空間§3同構(gòu)§3同構(gòu)定義1

設(shè)V與W都是實(shí)數(shù)域R上的歐氏空間，如果存在V到W的雙射

對(1)滿足(2)(3)則稱映射是歐氏空間V到W的同構(gòu)映射，稱歐氏空間V與W同構(gòu)。歐氏空間§3同構(gòu)定理1

同構(gòu)是歐氏空間之間的等價關(guān)系。定理2

兩個有限維歐氏空間同構(gòu)的充要條件是它們的維數(shù)相等推論任意

n

維歐氏空間均與

Rn

同構(gòu)。例1

設(shè)

與如果為歐氏空間V的兩組向量，則子空間與同構(gòu)。歐氏空間§4正交變換§4正交變換一、正交變換的定義與性質(zhì)定義1設(shè)

A

是歐氏空間

V

中的線性變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對 都有那么稱線性變換

A

為正交變換。例如：是R3上的一個正交變換。歐氏空間

§4

正交變換定理1設(shè)A

是n維歐氏空間

V

中的一個線性變換，則下面四個命題等價：A

是正交變換；A

保持向量的長度不變；也是標(biāo)準(zhǔn)正交基；(4)A

在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣。(3)如果是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么歐氏空間§4正交變換正交變換的性質(zhì)：正交變換保持向量夾角不變；正交變換是歐氏空間到自身的一個同構(gòu)映射；正交變換的乘積仍是正交變換；正交變換是可逆的，其逆變換仍是正交變換；歐氏空間

§4

正交變換二、正交變換的分類行列式等于1的正交變換稱為第一類正交變換或旋轉(zhuǎn)變換；行列式等于-1的正交變換稱為第二類正交變換。例1

設(shè)A

為歐氏空間V的一個線性變換，證明：A

是正交變換例2

無限維歐氏空間V中的正交變換不一定是可逆變換。的一組基，此基下的Gram矩陣為G，A

在這組基下的矩陣是

A，則

A"GA=G

。的充要條件是

A

保持任意兩個向量即與

的距離保持不變，例3

設(shè)A

是n維歐氏空間V的一個正交變換，為V歐氏空間

§4

正交變換例4

設(shè) 是歐氏空間V中的一個單位向量，定義變換：證明：1)A

是正交變換(這樣的正交變換稱為鏡面反射)；當(dāng)V是有限維空間時，A

是第二類的；設(shè)V為n維歐氏空間，正交變換

A

有特征值1，且屬于特征值1的特征子空間V1的維數(shù)為n-1，則

A

為鏡面反射。存在一個鏡面反射

A

使得2)證明：n維歐氏空間V中任一正交變換都可以表示為一系列鏡面反射的乘積。例5

1)設(shè)是歐氏空間V中的兩個不同的單位向量，證明：歐氏空間§5子空間§5子空間一、子空間正交的定義和性質(zhì)定義1

設(shè)V1，V2是歐氏空間

V

的兩個子空間，若對子空間正交的性質(zhì)性質(zhì)1

與自己正交的向量只能是零向量。性質(zhì)2

若兩個子空間V1與V2正交，則V1+V2為直和。性質(zhì)3

若子空間V1，…，Vs兩兩正交，則V1+…+Vs為直和。恒有對則稱V1與V2正交，記為若向量記為恒有則稱與子空間V1正交，歐氏空間

§5

子空間二、子空間的正交補(bǔ)定義2

設(shè)V1是歐氏空間

V

的子空間，若存在V的子空間V2滿足定理1

n維歐氏空間

V

的每一個子空間V1都有唯一的正交補(bǔ)。例1

設(shè)V1與V2是歐氏空間V的兩個子空間，證明：(1)(2)(3)且則稱V2是子空間V1的正交補(bǔ)。推論恰由所有與V1正交的向量組成，即歐氏空間§5子空間維子空間，證明：向量

是向量

在

上的正投影的充要條件是對任意的向量

有例3

求齊次線性方程組而則例2

如果稱為

在上的正投影(內(nèi)射影)。設(shè)V1是歐氏空間的有限的解空間V，并寫出

V

在R4中的正交補(bǔ)歐氏空間§5子空間例4

設(shè)則非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是向量b

屬于齊次線性方程組A"x=0的正交補(bǔ)。例5

設(shè)是n維歐氏空間V的一個線性變換，是V中的變換，滿足：且對V中任何向量證明：(1)是一個線性變換；(2) 的核等于

的值域的正交補(bǔ)。歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣§6對稱變換與對稱矩陣一、對稱變換的定義和性質(zhì)定義1設(shè)A

是歐氏空間

V

的一個線性變換，若對恒有則稱

A

為對稱變換。歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣對稱變換的性質(zhì)：n維歐氏空間V中的線性變換

A

為對稱變換的充要條件是它在任一個標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是對稱矩陣。設(shè)A

為歐氏空間V的對稱變換，則屬于

A

的不同特征值的特征向量彼此正交。歐氏空間中對稱變換的特征值只能是實(shí)數(shù)。設(shè)A

為歐氏空間V的對稱變換，V1是A

的不變子空間，也是

A

的不變子空間。則歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣?yán)?

設(shè)

A

為歐氏空間V的一個變換，且對V中任意向量均有則A

是否必為對稱變換？例2設(shè)A

為n維歐氏空間V的一個線性變換，A

在基下的矩陣是

A。證明：A

是對稱變換的充要條件是其中G為該組基下的Gram矩陣。歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣?yán)?

設(shè)A

為歐氏空間V中的線性變換，若對有則稱

A

為反對稱變換。證明：n維歐氏空間V中的線性變換

A

為反對稱變換的充要條件是A

在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為反對稱矩陣。歐氏空間V中反對稱變換的特征值為零或純虛數(shù)。若V1是反對稱變換

A

的不變子空間，則

也是

A

的不變子空間。歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣?yán)?

設(shè)

V

為歐氏空間，證明：(1)對V中每一個線性變換

A

，都存在唯一的線性變換

A

*，對下的矩陣為

A"。A

為對稱變換的充要條件是

A=A

*。A

為正交變換的充要條件是

AA

*=A

*A

=E。均有則稱

A

*為A

的共軛變換。(2)若A

在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣為A，則

A*在這組基歐氏空間

§6

對稱變換與對稱矩陣二、實(shí)對稱矩陣的對角化定理1

設(shè)A

為n階實(shí)對稱矩陣，則存在n階正交矩陣T使得對稱矩陣A對角化的步驟：求出A的特征值；對每個特征值求出相應(yīng)的齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，并將其化為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基；將不同特征值對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組構(gòu)成正交矩陣T。其中為A的全部特征值。歐氏空間§6對稱變換與對稱矩陣?yán)?

已知求一正交矩陣T使得T

-1AT為對角形。例7

設(shè)A，B是兩個實(shí)對稱矩陣，證明：存在正交矩陣Q使得Q-1AQ=B的充要條件是A與B的特征多項式的根完全相同。例8

設(shè)實(shí)對稱矩陣

A

滿足

A2=E。證明：存在正交矩陣Q使得歐氏空間§6對稱變換與對稱矩陣定理2

任意一個實(shí)二次型都可以經(jīng)過正交的線性替換變成平方和其中平方項的系數(shù)就是矩陣A的特征根。歐氏空間§6對稱變換與對稱矩陣?yán)?

設(shè)證明：對任一x∈Rn，有例10

設(shè)A，B是兩個n階實(shí)對稱矩陣，且A為正定矩陣，則必存在可逆矩陣P，使得是一實(shí)二次型，是A的特征值，且其中是矩陣A-1B的特征值。歐氏空間

§7

向量到子空間的距離

最小二乘法§7向量到子空間的距離最小二乘法一、向量到子空間的距離定義1

長度稱為向量

與 的距離，記為：它滿足距離的三條基本性質(zhì)：(1)(2)當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立(3)歐氏空間

§7

向量到子空間的距離

最小二乘法在解析幾何中，點(diǎn)到直線或平面上所有點(diǎn)的距離以垂線最短。推廣到一般歐氏空間：向量到子空間中所有向量的距離也是以“垂線”最短。設(shè)

W

是歐氏空間V中的子空間，

則有：結(jié)論1

向量 與子空間

W

垂直(正交)的充要條件是

與每個 正交。結(jié)論2

向量 到子空間

W

中各向量的距離垂線最短，即有當(dāng)且僅當(dāng)向量垂直(正交)于子空間

W。W歐氏空間§7向量到子空間的距離最小二乘法二、最小二乘法設(shè)線性方程組則該線性方程組可能無解，那么設(shè)法找到一組數(shù)使得則這組數(shù)就是該線性方程組的最小二乘解，這種問題就稱為最小二乘問題。歐氏空間§8酉