第1章數(shù)列練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）選擇性必修第一冊

第1章數(shù)列練習(xí)一、單選題1．已知等比數(shù)列的前三項和為，則（

）A．81 B．243 C．27 D．7292．“角谷猜想”首先流傳于美國，不久便傳到歐洲，后來一位名叫角谷靜夫的日本人又把它帶到亞洲，因而人們就順勢把它叫作“角谷猜想”.“角谷猜想”是指一個正整數(shù)，如果是奇數(shù)就乘以3再加1，如果是偶數(shù)就除以2，這樣經(jīng)過若干次運算，最終回到1.對任意正整數(shù)，按照上述規(guī)則實施第次運算的結(jié)果為，若，且均不為1，則（

）A．5或16 B．5或32C．5或16或4 D．5或32或43．已知數(shù)列滿足,且前n項和為,若,則（

）A． B．145 C． D．1754．已知等差數(shù)列的前項和為，且，，則是中的（

）A．第45項 B．第50項 C．第55項 D．第60項5．在等差數(shù)列中，若，是方程的兩根，則的前12項的和為（

）A．12 B．18 C．－18 D．－126．已知在等比數(shù)列中，，，則（

）A．2 B．4 C． D．27．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則的最大值為（

）A．16 B．8 C．4 D．28．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）．A．當(dāng)時，B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，D．當(dāng)時，二、多選題9．已知數(shù)列的首項，且滿足，下列結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前6項的和為12010．已知為數(shù)列的前n項和，若，且，則（

）A． B．是周期數(shù)列且周期為4C． D．11．已知等差數(shù)列的前n項和為，若，且，則下列說法中正確的是（

）A．為遞減數(shù)列 B．當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值C．不等式的解集為 D．不等式的解集為無限集12．定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積，已知數(shù)列是等積數(shù)列，且，前項的和為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C．公積為 D．三、填空題13．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則.14．若等比數(shù)列的前n項和為，，則首項的取值范圍是．15．已知數(shù)列滿足：，則首項的取值范圍是:當(dāng)時，記，且，則整數(shù).16．若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前n項和為．給出下列結(jié)論：①；②是奇數(shù)；③；④．則所有正確結(jié)論的序號是．四、解答題17．已如數(shù)列的前項和為，，當(dāng)時，．(1)證明數(shù)列為等差數(shù)列，并求；(2)求數(shù)列的前項和為．18．已知數(shù)列中，，，前項和為，若．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和為，求證：．19．已知等比數(shù)列的前n項和記為.求該數(shù)列的公比q和通項.20．?dāng)?shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，對任意的，，恒成立，求正數(shù)的取值范圍.21．?dāng)?shù)列滿足：(1)求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列前項和．22．你能通過畫圖來表示數(shù)列1，8，16，24，32，40的和嗎？參考答案：1．B【分析】由等比數(shù)列的概念與性質(zhì)計算即可.【詳解】由.而，∴，又，.故選：.2．B【分析】根據(jù)“角谷猜想”的規(guī)則，由倒推的值.【詳解】由題知，因為，則有：若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，得，不合題意，所以為偶數(shù)，且；若為奇數(shù)，則，可得；若為偶數(shù)，則.綜上所述：或32.故選：B3．D【分析】利用等差中項法可判斷出數(shù)列是等差數(shù)列,由已知條件計算得出的值,再利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項的性質(zhì)可求得的值.【詳解】對任意的,,即,所以數(shù)列為等差數(shù)列,,,由等差數(shù)列的求和公式可得:.故選:D.4．C【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)與通項公式求得和公差后得通項公式，再計算即可得．【詳解】是等差數(shù)列，則，又，聯(lián)立可解得，，，是第55項．故選：C．5．C【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，由等差數(shù)列性質(zhì)及前項和公式計算即可得出結(jié)果.【詳解】由，是方程的兩根，利用韋達(dá)定理可得；則的前12項的和；由等差數(shù)列性質(zhì)可得，即；故選：C6．A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式代入求解、，即可求解.【詳解】解：由題意得：設(shè)等比數(shù)列的公比為，，，整理得，解得故選：A7．C【分析】首先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求得，再根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，，所以，即，得，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為4.故選：C8．C【分析】當(dāng)，時，推得即，判斷A；當(dāng)時，即，說明，不滿足，判斷B；當(dāng)時，，可知，利用遞推式推得，從而當(dāng)時，推出，判斷.【詳解】由于,所以當(dāng)時，，，則對任意的，均有，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，A錯誤；當(dāng)時，即，而，不滿足，B錯誤；當(dāng)時，則，故，則，而，故，依次迭代得，即，所以當(dāng)時，，故，C正確，D錯誤，故選：C．9．BCD【分析】計算數(shù)列前三項可判斷A；利用，構(gòu)造等比數(shù)列，可判斷B，C；結(jié)合C的結(jié)果以及等比數(shù)列前n項和公式可判斷D.【詳解】由題意數(shù)列的首項，且滿足，則，則，故數(shù)列不是等比數(shù)列，A錯誤；由得，，否則與矛盾，則，則數(shù)列是等比數(shù)列，B正確；由B分析知數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，則，C正確；數(shù)列的前6項的和為，D正確，故選：BCD10．BCD【分析】利用遞推關(guān)系求出，，，，……，找到規(guī)律，從而一一判斷四個選項的正誤.【詳解】A選項，當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，即，解得，A錯誤；B選項，當(dāng)時，，即，解得，當(dāng)時，，即，解得，循環(huán)，故是周期數(shù)列且周期為4，B正確；C選項，，C正確；D選項，由于，故，D正確.故選：BCD11．AC【分析】由為等差數(shù)列，，且，得出和，根據(jù)等差數(shù)列通項公式和前項和公式即可對各選項進(jìn)行判斷．【詳解】由得：，所以，即；設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得：，對于A，因為，所以為遞減數(shù)列，故A正確；對于B，，因為，所以當(dāng)取時，取得最大值，故B錯誤；對于C，由得：，因為，所以，故C正確；對于D，因為，所以由得：，則不等式的解集為，為有限集，故D錯誤，故選：AC．12．CD【分析】由題可知，對任意的，（為常數(shù)），推導(dǎo)出，結(jié)合定義可得出，再結(jié)合已知條件求出的值，逐項判斷可得出合適的選項.【詳解】由題可知，對任意的，（為常數(shù)），若，則，可得，的值未知，則的值不一定為，故，則對任意的，，所以，，故，A對；因為，則，所以，，解得，C錯；，B對；，D錯.故選：CD.13．【解析】由等比數(shù)列中的，，成等差數(shù)列列方程，可求出等比數(shù)列的公比，從而可求出結(jié)果.【詳解】由成等差數(shù)列得，由是等比數(shù)列得，化簡得，因為各項為正數(shù)，解得．所以．故答案為：【點睛】此題考查等差中項，等比數(shù)列的基本量計算，屬于基礎(chǔ)題.14．【分析】由題意得等比數(shù)列公比的取值范圍，根據(jù)，結(jié)合等比數(shù)列前n項和為，得，從而得，求解出范圍.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因為，當(dāng)時，，所以，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的取值范圍是.故答案為：【點睛】求解等比數(shù)列極限相關(guān)問題，注意若等比數(shù)列有極限，則該數(shù)列為無窮遞縮等比數(shù)列.15．【分析】根據(jù)遞推關(guān)系可得：，利用即可得到的取值范圍；然后得到，利用裂項相消即可求得，進(jìn)而求解.【詳解】由，可得，所以，即，則，，所以，，，所以，所以，因為，所以，則有，所以，則，故答案為：.16．①②④【分析】根據(jù)遞推公式求出即可判斷①；觀察數(shù)列的奇偶特點即可判斷②；根據(jù)遞推公式，結(jié)合累加法即可判斷③；根據(jù)遞推公式可得，結(jié)合累加法計算即可判斷④.【詳解】對于①，由，且，可得斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，故故①正確；對于②：由斐波那契數(shù)列：，，，，，，，，，，，，可得每三個數(shù)中前兩個為奇數(shù)，后一個偶數(shù)，且，所以是奇數(shù)，故②正確；對于③：因為，相加可得：，故③錯誤；對于④：因為斐波那契數(shù)列總滿足，且，所以，，，類似的有，，其中累加得，，故：，故④正確.故答案為：①②④.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是理解斐波那契數(shù)列的特點，直接計算可判斷①②，利用累加法即可判斷③④.17．(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由可得，即可證明數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，從而求出；（2）由（1）知，利用錯位相減法計算可得.【詳解】（1）解：當(dāng)時，由，得，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以，即．（2）解：由（1）知，所以，①所以，②①②得，所以．18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由，結(jié)合題意可得，再由可得數(shù)列通項；（2）由（1）可知當(dāng)時，，即可得，后結(jié)合在上是遞增的可得相關(guān)結(jié)論【詳解】（1）若，由，可得，則數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時，，則（2）證明：當(dāng)時，可得數(shù)列，則前項和為，由在上是遞增的，可得最小值為，且，則．19．.【分析】由已知列式求得等比數(shù)列的公比，進(jìn)一步求得首項，代入等比數(shù)列的通項公式得答案．【詳解】由且得：，則，又，則，故.20．（1）證明見解析

（2）【分析】（1）對變形得到即可證明；（2）利用錯位相減法即可求數(shù)列{bn}的前n項和，利用作差法可得數(shù)列{}單調(diào)遞增，，恒成立，只需即可.【詳解】解（1）證明：因為所以,等式兩邊同除以可得：，∴數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．（2）由(1)知：，∴，所以，故，.兩式相減得：，所以，由Tn－Tn－1＝3－－＝，當(dāng)n≥2時，Tn－Tn－1>0，所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增．最小為，依題意在上恒成立，設(shè)，則又解得：21．(1)見解析；(2).【分析】（1）令,分別求得，當(dāng)，時，可得，又,即證數(shù)列是等比數(shù)列．（2）由（1）當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，為等差數(shù)列，