數(shù)學七年級下學期3.21《整式的乘除》+全章復習與鞏固

專題3.21《整式的乘除》全章復習與鞏固（知識講解）【學習目標】1.掌握正整數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能運用它們熟練地進行運算；掌握單項式乘（或除以）單項式、多項式乘（或除以）單項式以及多項式乘多項式的法則，并運用它們進行運算；2.會推導乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進行乘法運算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，并能靈活地運用運算律與乘法公式簡化運算；【知識要點】要點一、冪的運算1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.特別說明：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項式，還可以表示多項式；靈活地雙向應用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.要點二、整式的乘法和除法1.單項式乘以單項式單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式.2.單項式乘以多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即(都是單項式).3.多項式乘以多項式多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.特別說明：運算時，要注意積的符號，多項式中的每一項前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項式乘以多項式各項的結果，要用“＋”連結，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項式的乘法，能得出一個應用比較廣泛的公式：.4.單項式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式.5.多項式除以單項式先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加.即：要點三、乘法公式1.平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.【典型例題】類型一、冪的運算 1、計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪，最后合并同類項即可；（3）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪，最后合并同類項即可．解：（1），=，=，=；（2），=，=，=，=．【點撥】本題考查整式的冪指數(shù)運算，掌握冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項是解題關鍵．舉一反三：【變式1】已知，求的值．【答案】-3【分析】運用冪的乘方，把底數(shù)都化為3的形式，結合同底數(shù)冪的乘法得出，求出m的值，算乘方，算乘除，最后把m的值代入求出即可．解：∵，∴，∴，∴，∴．【點撥】本題考查了整式的混合運算和求值的應用，能運用整式的運算法則進行化簡和求出m的值是解此題的關鍵．【變式2】計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進行冪的運算再合并同類項；（2）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘除運算．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題考查整式的運算和冪的運算，解題的關鍵是掌握這兩個運算方法．類型二、整式的乘除法運算2、計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進行冪的運算再合并同類項；（2）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘除運算．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題考查整式的運算和冪的運算，解題的關鍵是掌握這兩個運算方法．3、已知xa=2，xb=3.（1）求x3a+2b的值．（2）求x2a-3b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用同底數(shù)冪的乘法運算法則以及冪的乘方運算法則計算得出答案；（2）直接利用同底數(shù)冪的除法運算法則以及冪的乘方運算法則計算得出答案．解：（1）∵xa=2，xb=3，∴；（2））∵xa=2，xb=3，∴．【點撥】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法運算以及冪的乘方運算，正確將原式變形是解題關鍵．舉一反三：【變式1】計算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進行冪的運算再合并同類項；（2）先進行冪的乘方運算，再進行同底數(shù)冪的乘除運算．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】本題考查整式的運算和冪的運算，解題的關鍵是掌握這兩個運算方法．【變式2】已知與的乘積中不含和項，求的值．【答案】，【分析】先把按多項式與多項式相乘的法則進行運算，再根據(jù)乘積不含和項，列出，，即可求解．解：∵乘積中不含和項，∴，，∴，．【點撥】本題考查了多項式乘多項式，靈活掌握多項式乘以多項式的法則，注意各項符號的處理．類型三、乘法公式4、計算：．【答案】2022【分析】根據(jù)平方差公式計算分母即可解答．解：原式＝＝＝2022．【點撥】本題主要考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a?b）＝a2?b2是解題的關鍵．舉一反三：【變式】先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將整式展開，進而合并同類項，最后將的值代入求解即可解：原式===當時，原式=【點撥】本題考查了整式的乘法運算，化簡求值，掌握乘法公式是解題的關鍵．5、已知，求代數(shù)式的值．【答案】5【分析】先用乘法公式進行化簡，再整體代入求值即可．解：原式=，=，∵，∴，原式=．【點撥】本題考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練運用乘法公式進行化簡，整體代入求值．【變式】先化簡再求值：（1）當x＝1，求代數(shù)式（﹣2x）2+（x+3）（x﹣3）的值．（2）當ab＝﹣1，求代數(shù)式（a﹣b）2﹣（a+b）2的值【答案】（1）；；（2）；．【分析】（1）先計算積的乘方和平方差公式，然后合并同類項，最后將已知值代入求解即可；（2）利用平方差公式的逆運算進行因式分解，然后化簡求值即可．解：（1），；當時，原式；（2），，，；當時，原式，．【點撥】題目主要考查整式的化簡求值，包括平方差公式及積的乘方運算，熟練掌握平方差公式及其逆運算是解題關鍵．5、如圖，某校有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a+b)米的長方形地塊，學校計劃將陰影部分進行綠化，中間將修建一座雕像．(1)用含a、b的代數(shù)式表示綠化面積；(2)求出當a=3米，b=2米時的綠化面積．【答案】（1）5a2+3ab（m2）；（2）63m2【分析】（1）綠化的面積=長方形的面積-中間部分的面積，據(jù)此可列出代數(shù)式．

（2）把a=3米，b=2米代入（1）式所得的代數(shù)式可求出解．解：（1）由題意可得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2

=（6a2+5ab+b2）-（a2+2ab+b2）

=5a2+3ab；

（2）當a=3，b=2時，

原式=5×32+3×3×2=63m2．【點撥】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)求值，關鍵知道完全平方公式，整式的混合運算等知識點．舉一反三：【變式】乘法公式的探究及應用.小題1：如圖1，可以求出陰影部分的面積是_______(寫成兩數(shù)平方差的形式)；小題2：如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的寬是_______，長是______，面積是_________(寫成多項式乘法的形式).小題3：比較圖1，圖2的陰影部分面積，可以得到乘法公式________(用式子表達).【答案】小題1：；小題2：，，；小題3：【分析】對于小題1，利用正方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題2，利用長方形面積的計算公式并結合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題3，由圖②與圖①陰影