數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期3.21《整式的乘除》+全章復(fù)習(xí)與鞏固

專題3.21《整式的乘除》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握正整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能運(yùn)用它們熟練地進(jìn)行運(yùn)算；掌握單項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘（或除以）單項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則，并運(yùn)用它們進(jìn)行運(yùn)算；2.會推導(dǎo)乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；3.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運(yùn)算，并能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡化運(yùn)算；【知識要點(diǎn)】要點(diǎn)一、冪的運(yùn)算1.同底數(shù)冪的乘法：(為正整數(shù))；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.2.冪的乘方：(為正整數(shù))；冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.3.積的乘方：(為正整數(shù))；積的乘方，等于各因數(shù)乘方的積.4.同底數(shù)冪的除法：(≠0,為正整數(shù)，并且).同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減.5.零指數(shù)冪：即任何不等于零的數(shù)的零次方等于1.特別說明：公式中的字母可以表示數(shù)，也可以表示單項(xiàng)式，還可以表示多項(xiàng)式；靈活地雙向應(yīng)用運(yùn)算性質(zhì)，使運(yùn)算更加方便、簡潔.要點(diǎn)二、整式的乘法和除法1.單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把他們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式.2.單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即(都是單項(xiàng)式).3.多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加.即.特別說明：運(yùn)算時(shí)，要注意積的符號，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)前面的“＋”“－”號是性質(zhì)符號，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式各項(xiàng)的結(jié)果，要用“＋”連結(jié)，最后寫成省略加號的代數(shù)和的形式．根據(jù)多項(xiàng)式的乘法，能得出一個(gè)應(yīng)用比較廣泛的公式：.4.單項(xiàng)式相除把系數(shù)、相同字母的冪分別相除作為商的因式，對于只在被除式里出現(xiàn)的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個(gè)因式.5.多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，再把所得的商相加.即：要點(diǎn)三、乘法公式1.平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差. 特別說明：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.2.完全平方公式：；兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.特別說明：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.【典型例題】類型一、冪的運(yùn)算 1、計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先計(jì)算冪的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪，最后合并同類項(xiàng)即可；（3）先計(jì)算冪的乘方，再計(jì)算同底數(shù)冪，最后合并同類項(xiàng)即可．解：（1），=，=，=；（2），=，=，=，=．【點(diǎn)撥】本題考查整式的冪指數(shù)運(yùn)算，掌握冪的乘方，同底數(shù)冪的乘法，合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】已知，求的值．【答案】-3【分析】運(yùn)用冪的乘方，把底數(shù)都化為3的形式，結(jié)合同底數(shù)冪的乘法得出，求出m的值，算乘方，算乘除，最后把m的值代入求出即可．解：∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的混合運(yùn)算和求值的應(yīng)用，能運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡和求出m的值是解此題的關(guān)鍵．【變式2】計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進(jìn)行冪的運(yùn)算再合并同類項(xiàng)；（2）先進(jìn)行冪的乘方運(yùn)算，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算和冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個(gè)運(yùn)算方法．類型二、整式的乘除法運(yùn)算2、計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進(jìn)行冪的運(yùn)算再合并同類項(xiàng)；（2）先進(jìn)行冪的乘方運(yùn)算，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算和冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個(gè)運(yùn)算方法．3、已知xa=2，xb=3.（1）求x3a+2b的值．（2）求x2a-3b的值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接利用同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案；（2）直接利用同底數(shù)冪的除法運(yùn)算法則以及冪的乘方運(yùn)算法則計(jì)算得出答案．解：（1）∵xa=2，xb=3，∴；（2））∵xa=2，xb=3，∴．【點(diǎn)撥】此題主要考查了同底數(shù)冪的乘除法運(yùn)算以及冪的乘方運(yùn)算，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】計(jì)算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先進(jìn)行冪的運(yùn)算再合并同類項(xiàng)；（2）先進(jìn)行冪的乘方運(yùn)算，再進(jìn)行同底數(shù)冪的乘除運(yùn)算．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】本題考查整式的運(yùn)算和冪的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握這兩個(gè)運(yùn)算方法．【變式2】已知與的乘積中不含和項(xiàng)，求的值．【答案】，【分析】先把按多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則進(jìn)行運(yùn)算，再根據(jù)乘積不含和項(xiàng)，列出，，即可求解．解：∵乘積中不含和項(xiàng)，∴，，∴，．【點(diǎn)撥】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，靈活掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則，注意各項(xiàng)符號的處理．類型三、乘法公式4、計(jì)算：．【答案】2022【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算分母即可解答．解：原式＝＝＝2022．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平方差公式，掌握（a＋b）（a?b）＝a2?b2是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式將整式展開，進(jìn)而合并同類項(xiàng)，最后將的值代入求解即可解：原式===當(dāng)時(shí)，原式=【點(diǎn)撥】本題考查了整式的乘法運(yùn)算，化簡求值，掌握乘法公式是解題的關(guān)鍵．5、已知，求代數(shù)式的值．【答案】5【分析】先用乘法公式進(jìn)行化簡，再整體代入求值即可．解：原式=，=，∵，∴，原式=．【點(diǎn)撥】本題考查了整式的化簡求值，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用乘法公式進(jìn)行化簡，整體代入求值．【變式】先化簡再求值：（1）當(dāng)x＝1，求代數(shù)式（﹣2x）2+（x+3）（x﹣3）的值．（2）當(dāng)ab＝﹣1，求代數(shù)式（a﹣b）2﹣（a+b）2的值【答案】（1）；；（2）；．【分析】（1）先計(jì)算積的乘方和平方差公式，然后合并同類項(xiàng)，最后將已知值代入求解即可；（2）利用平方差公式的逆運(yùn)算進(jìn)行因式分解，然后化簡求值即可．解：（1），；當(dāng)時(shí)，原式；（2），，，；當(dāng)時(shí)，原式，．【點(diǎn)撥】題目主要考查整式的化簡求值，包括平方差公式及積的乘方運(yùn)算，熟練掌握平方差公式及其逆運(yùn)算是解題關(guān)鍵．5、如圖，某校有一塊長為(3a＋b)米，寬為(2a+b)米的長方形地塊，學(xué)校計(jì)劃將陰影部分進(jìn)行綠化，中間將修建一座雕像．(1)用含a、b的代數(shù)式表示綠化面積；(2)求出當(dāng)a=3米，b=2米時(shí)的綠化面積．【答案】（1）5a2+3ab（m2）；（2）63m2【分析】（1）綠化的面積=長方形的面積-中間部分的面積，據(jù)此可列出代數(shù)式．

（2）把a(bǔ)=3米，b=2米代入（1）式所得的代數(shù)式可求出解．解：（1）由題意可得：（3a+b）（2a+b）-（a+b）2

=（6a2+5ab+b2）-（a2+2ab+b2）

=5a2+3ab；

（2）當(dāng)a=3，b=2時(shí)，

原式=5×32+3×3×2=63m2．【點(diǎn)撥】本題考查列代數(shù)式和代數(shù)求值，關(guān)鍵知道完全平方公式，整式的混合運(yùn)算等知識點(diǎn)．舉一反三：【變式】乘法公式的探究及應(yīng)用.小題1：如圖1，可以求出陰影部分的面積是_______(寫成兩數(shù)平方差的形式)；小題2：如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個(gè)矩形，它的寬是_______，長是______，面積是_________(寫成多項(xiàng)式乘法的形式).小題3：比較圖1，圖2的陰影部分面積，可以得到乘法公式________(用式子表達(dá)).【答案】小題1：；小題2：，，；小題3：【分析】對于小題1，利用正方形面積的計(jì)算公式并結(jié)合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題2，利用長方形面積的計(jì)算公式并結(jié)合已知表示出陰影部分的面積即可；

對于小題3，由圖②與圖①陰影