3.3.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（6大題型）精講

拋物線的簡單幾何性質(zhì)重點：1、根據(jù)拋物線的方程、圖象研究拋物線的幾何性質(zhì)；2、直線與拋物線的位置關(guān)系；3、解決拋物線弦長、中點等問題；難點：1、拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用；2、直線與拋物線位置關(guān)系的綜合問題。一、四種拋物線的幾何性質(zhì)標準方程p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形范圍對稱軸焦點坐標準線方程頂點坐標離心率通徑二、焦半徑公式設(shè)拋物線上一點的坐標為，焦點為.1、拋物線，.2、拋物線，.3、拋物線，.4、拋物線，.【注意】三、直線與拋物線的位置關(guān)系1、直線與拋物線的位置關(guān)系有三種情況：相交（有兩個公共點或一個公共點）；相切（有一個公共點）；相離（沒有公共點）.2、以拋物線與直線的位置關(guān)系為例：（1）直線的斜率不存在，設(shè)直線方程為，若，直線與拋物線有兩個交點；若，直線與拋物線有一個交點，且交點既是原點又是切點；若，直線與拋物線沒有交點.（2）直線的斜率存在.設(shè)直線，拋物線，直線與拋物線的交點的個數(shù)等于方程組，的解的個數(shù)，即二次方程（或）解的個數(shù).①若，則當時，直線與拋物線相交，有兩個公共點；當時，直線與拋物線相切，有個公共點；當時，直線與拋物線相離，無公共點.②若，則直線與拋物線相交，有一個公共點.四、直線與拋物線相交弦長問題1、一般弦長設(shè)為拋物線的弦，，，弦AB的中點為.（1）弦長公式：（為直線的斜率，且）.（2）,推導(dǎo)：由題意，知，①②由①②，得，故，即.（3）直線的方程為.2、焦點弦長如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設(shè)，，的中點，過點，，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，，，根據(jù)拋物線的定義有，，故.又因為是梯形的中位線，所以，從而有下列結(jié)論；（1）以為直徑的圓必與準線相切.（2）(焦點弦長與中點關(guān)系)（3）.（4）若直線的傾斜角為，則.（5），兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即，.（6）為定值.題型一由拋物線方程研究其幾何性質(zhì)【例1】（2023秋·江蘇南通·高二統(tǒng)考階段練習）已知拋物線的焦準距(焦點到準線的距離)為2，則拋物線的焦點坐標為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為拋物線的焦點為，準線為，由題意可知：焦準距，所以拋物線的焦點坐標為.故選：C.【變式11】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習）若拋物線上的一點到它的焦點的距離為10，則（）A．6B．8C．10D．12【答案】B【解析】由拋物線上點到焦點的距離為，則點到拋物線的準線的距離為，由拋物線，則其準線為直線，所以，解得.故選：B.【變式12】（2023秋·江蘇鹽城·高二?？茧A段練習）（多選）對于拋物線上，下列描述正確的是（）A．開口向上，焦點為B．開口向上，焦點為C．焦點到準線的距離為4D．準線方程為【答案】ACD【解析】由已知拋物線標準方程是，，，所以焦點坐標為，開口方向向上，A正確，B錯誤；焦點到準線的距離為，C正確；準線方程是，D正確．故選：ACD．【變式13】（2023秋·江蘇南通·高二?？茧A段練習）（多選）已知，則方程與在同一坐標系內(nèi)對應(yīng)的圖形可能是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】將對應(yīng)方程化為標準方程得，，所以拋物線的焦點在軸上，故排除D選項，對于A選項，由圖可知，，，矛盾，故A錯誤；對于B選項，由圖可知，，，滿足，故B正確；對于C選項，由圖可知，，，，滿足，故C正確；故選：BC.題型二由拋物線幾何性質(zhì)求標準方程【例2】（2023秋·全國·高二期中）已知拋物線的焦點在軸上，且焦點到坐標原點的距離為1，則拋物線的標準方程為（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】由題意可知該拋物線的焦點坐標為或，所以其對應(yīng)標準方程為為或.故選：D【變式21】（2023·全國·高二假期作業(yè)）已知拋物線（）上一點M的縱坐標為，該點到準線的距離為6，則該拋物線的標準方程為（）A．B．或C．D．或【答案】D【解析】因為拋物線的準線方程是，而點M到準線的距離為6，所以點M的橫坐標是.所以點M的坐標為，又因為點M在拋物線上，所以32=2p，解得p=8或p=4，故該拋物線的標準方程為或.故選：D.【變式22】（2023春·安徽六安·高二校考開學考試）已知拋物線的準線是圓與圓的公共弦所在的直線，則拋物線的標準方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】將兩圓、的方程相減得：，顯然圓的圓心到直線距離1小于其半徑2，圓的圓心到直線距離小于其半徑，因此直線是圓與圓的公共弦所在的直線，即拋物線的準線，所以拋物線的標準方程為：.故選：C【變式23】（2023秋·高二課時練習）已知以坐標原點為圓心的圓與拋物線：相交于不同的兩點，與拋物線的準線相交于不同的兩點，且.求拋物線的方程；【答案】【解析】依題意，易知圓心到直線（即拋物線的準線）的距離為，不妨設(shè)圓心到直線的距離為，則，，又因為，所以，則由圓與拋物線的對稱性可知，軸，故直線的方程為，即過拋物線的焦點，所以，故，故拋物線的方程為.題型三判斷直線與拋物線位置關(guān)系【例3】（2023秋·高二課時練習）已知直線與拋物線只有一個公共點，則直線與拋物線的位置關(guān)系是（）A．相交B．相切C．相離D．相交或相切【答案】D【解析】直線與拋物線的對稱軸平行或與拋物線相切時有一個公共點，所以D選項正確.故選：D【變式31】（2023·全國·高二專題練習）已知直線，拋物線，l與有一個公共點的直線有（）A．1條B．2條C．3條D．1條、2條或3條【答案】C【解析】聯(lián)立直線和拋物線方程可得，整理可得，直線l與有一個公共點等價于方程只有一個實數(shù)根，當時，方程為僅有一解，符合題意；當時，一元二次方程僅有一解，即，解得，所以滿足題意得直線有三條，即，和.故選：C【變式32】（2023秋·高二課時練習）（多選）已知直線l過定點，則與拋物線有且只有一個公共點的直線l的方程為（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】（1）當過點的直線l的斜率存在時，設(shè)其方程為，由方程組消去y得，①若，則，解得，此時直線與拋物線只有一個交點，直線l的方程為，A正確；②若，令，解得，此時直線與拋物線相切，只有一個交點，直線l的方程為，即，B正確.（2）當過點的直線l的斜率不存在時，方程為，與拋物線相切，只有一個交點，C正確．綜上，直線l的方程為，或.故選：ABC.【變式33】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線C的方程為，過點和點的直線l與拋物線C沒有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】當時，直線，與拋物線有交點，所以，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，得，消元整理，得，由于直線與拋物線無公共點，即方程無解，故有，解得或.故選：A題型四直線與拋物線相交弦長問題【例4】（2022秋·四川綿陽·高二校考期中）已知拋物線的方程為，過其焦點的直線交拋物線于兩點，若，（）A．B．3C．D．2【答案】C【解析】如下圖所示：易知，不妨設(shè)；設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立消去得，,由韋達定理可知；由可得；聯(lián)立解得，即；根據(jù)焦點弦公式可得；代入計算可得.故選：C【變式41】（2023·全國·高二專題練習）已知雙曲線E：，若拋物線的焦點到雙曲線E的漸近線的距離為，過焦點傾斜角為的直線與拋物線交于A，B兩點，則的值為（）A．B．C．8D．【答案】A【解析】因為拋物線的焦點為，雙曲線E：其中一條漸近線方程為，所以焦點到漸近線的距離，解得，所以拋物線的標準方程為，因為直線過焦點且傾斜角為，所以直線方程為，所以拋物線標準方程與直線方程聯(lián)立消，得，由韋達定理得，，所以弦長.故選：A【變式42】（2023秋·高二課時練習）已知直線被曲線截得的弦長為，求實數(shù)的值．【答案】【解析】聯(lián)立方程組，整理得，設(shè)直線與曲線的交點為，可得，解得，且，由弦長公式可得因為直線與曲線截得的弦長為，可得，解得，所以實數(shù)的值為.【變式43】（2023·全國·高二專題練習）已知拋物線的焦點為F，已知第一象限的點A在拋物線上，連接AF并延長交拋物線于另一點B，且，則的面積是.【答案】【解析】拋物線的焦點為，由拋物線的定義可知：，過A做，由，，，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，∴直線AB的斜率為，直線AB的方程為，聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得：，整理得：，由韋達定理可知：，則，而原點到直線AB的距離為，則三角形AOB的面積，故答案為：．題型五拋物線的中點弦及點差法【例5】（2023秋·寧夏·高二?？计谥校┮阎獮閽佄锞€上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，則直線AB的斜率為.【答案】【解析】由題意，為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標為2，設(shè)，線段AB中點為，∴，，∴即∴直線AB的斜率為：故答案為：【變式51】（2023秋·高二課時練習）已知直線與拋物線相交于兩點，若線段的中點坐標為，則直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】設(shè)，由得：，線段的中點為，，，，即直線的斜率為，直線的方程為：，即.故選：A.【變式52】（2023·全國·高二專題練習）過拋物線的焦點作直線交拋物線于、兩點，則線段的中點的軌跡方程為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】拋物線的焦點為，設(shè)點、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達定理可得，所以，，設(shè)線段的中點為，則，，則，所以，，化簡可得.因此，線段的中點的軌跡方程為.故選：D.【變式53】（2022秋·高二?？颊n時練習）已知拋物線的焦點為.（1）求的值；（2）過點的直線與拋物線交于，兩個不同點，若的中點為，求的面積.【答案】（1）2；（2）.【解析】（1）由已知可得，，所以.（2）由（1）知，拋物線的方程為.設(shè)，，則有，，顯然，兩式作差可得，，即.因為的中點為，所以，則，即，所以直線斜率為，此時直線方程為，即.聯(lián)立與拋物線的方程可得，，，直線與拋物線有兩個交點，滿足.所以，直線方程為.又，根據(jù)拋物線的定義可知.點到直線的距離，所以的面積.題型六拋物線的綜合問題【例6】（2023春·廣東汕頭·高二?？计谥校┮阎本€與拋物線C：交于A，B兩點，分別過A，B兩點作C的切線，兩條切線的交點為D．（1）證明點D在一條定直線上；（2）過點D作y軸的平行線交C于點E，求面積的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）設(shè)，，，由得，則在點處的切線方程為，將代入上式得，∴，同理，∴，兩點都在直線上，所以直線與直線同一直線，∴，，即點在定直線上．（2）由（1）可知，，即為，∴為，將與聯(lián)立得，∴，，∴線段的中點為，∴，，三點共線，且為的中點．∵，到直線的距離，∴（當時取等）∵，∴面積的最小值為．【變式61】（2022·高二課時練習）已知拋物線的焦點為，若過點且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，滿足．（1）求拋物線的方程；（2）過點且斜率為的直線被拋物線截得的弦為，若在以為直徑的圓內(nèi)，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，則直線的方程為．聯(lián)立可得，，設(shè)、，則．由拋物線的定義可得，解得，所以拋物線的方程為．（2）由題意知直線的方程為，聯(lián)立得，由，得．設(shè)、，得，．又，所以，．因為點在以為直徑的圓內(nèi)，所以為鈍角，即，得，解得.因為，所以的取值范圍為．【變式62】（2023秋·高二單元測試）已知拋物線C：的焦點F與橢圓的右焦點重合，點M是拋物線C的準線上任意一點，直線MA，MB分別與拋物線C相切于點A，B．（1）求拋物線C的標準方程及其準線方程；（2）設(shè)直線MA，MB的斜率分別為，，證明：為定值．【答案】（1）拋物線C的標準方程為，準線方程為；（2）證明見解析【解析】（1）因為，所以，所以，可得橢圓的右焦點為，可得拋物線C的焦點為，∴，所以拋物線C的標準方程為，準線方程為；（2）由于點M是拋物線C的準線上任意一點，故可設(shè)，因為直線MA，MB的分別與拋物線C相切于點A，B點可知直線MA，MB的斜率存在，且不為0，設(shè)過點的直線方程為，聯(lián)立，消去得：，其