重慶市重點(diǎn)學(xué)校2023-20324學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

年重慶重點(diǎn)中學(xué)高2025屆高二上期半期考試數(shù)學(xué)測(cè)試試題卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚。2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試題卷上作答無(wú)效。3．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回，滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．直線(xiàn)的斜率為（）A．B．C．D．2．已知橢圓的離心率為，則（）A．B．1C．3D．43．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，則的公差（）A．1B．2C．3D．44．如圖，在等邊中，點(diǎn)O為底邊AC的中點(diǎn)，將沿BO折起到的位置，使二面角的大小為，則異面直線(xiàn)DO與BC所成的角的大小為（）A．B．C．D．5．已知雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線(xiàn)與該雙曲線(xiàn)的右支交于M，N兩點(diǎn)，若，則周長(zhǎng)為（）A．16B．24C．36D．406．已知等比數(shù)列有項(xiàng)，，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為85，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為42，則（）A．2B．3C．4D．57．?dāng)?shù)列，滿(mǎn)足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)是第（）項(xiàng)．A．6B．7C．8D．98．拋物線(xiàn)有一條重要性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的反射后，反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．己知拋物線(xiàn)，在拋物線(xiàn)內(nèi)平行于x軸的光線(xiàn)射向拋物線(xiàn)C，交拋物線(xiàn)C于點(diǎn)P（不為原點(diǎn)），生點(diǎn)P作C的切線(xiàn)l，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作，垂足為Q，反射光線(xiàn)與直線(xiàn)OQ交于點(diǎn)T，點(diǎn)，則的取值范圍為（）A．B．C．D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是等差數(shù)列B．成等差數(shù)列，公差為C．當(dāng)或時(shí)，取得最大值D．時(shí)，n的最大值為3310．已知圓，下列說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)與圓O交于A，B兩點(diǎn)，則范圍為B．過(guò)直線(xiàn)上任意一點(diǎn)Q作圓O的切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為C，D，則直線(xiàn)CD必過(guò)定點(diǎn)C．圓O與圓有且僅有兩條公切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)r的取值范圍為D．圓O上有2個(gè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離等于111．已知橢圓，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，短半軸長(zhǎng)為，分別為橢圓左右焦點(diǎn)，點(diǎn)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．B．若直線(xiàn)l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且2為AB中點(diǎn)，則直線(xiàn)l的方程為C．內(nèi)切圓面積的最大值為D．的最小值為712．在數(shù)學(xué)中，．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列B．C．D．三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分。把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上）13．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，為拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)，則_________．14．己知數(shù)列滿(mǎn)足，則_________．15．己知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列的前三項(xiàng)分別為1，2，6，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)__________．16．我們把形如的函數(shù)稱(chēng)為類(lèi)雙勾函數(shù)，這類(lèi)函數(shù)有兩條漸近線(xiàn)和，它的函數(shù)圖像是對(duì)稱(chēng)軸不在坐標(biāo)軸上雙曲線(xiàn)．現(xiàn)將函數(shù)的圖像繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定的角度得到焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線(xiàn)C，則該雙曲線(xiàn)C的離心率是___________．四、解答題（本題共6個(gè)小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．（本小題10分）已知數(shù)列中，，為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．18．（本小題滿(mǎn)分12分）如圖所示，在三棱錐中，．（1）求三棱錐的體積；（2）求二面角的正弦值．19．（本小題滿(mǎn)分12分）已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，設(shè)P的軌跡為C．（1）求C的軌跡方程；（2）若過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)與C交于M，N兩點(diǎn)，求取值范圍．20．（本小題滿(mǎn)分12分）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)之和為，滿(mǎn)足（為常數(shù)）．（1）若，求；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列：若存在，求出的值，若不存在，試說(shuō)明理由．21．（本小題滿(mǎn)分12分）已知雙曲線(xiàn)的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，P是直線(xiàn)上一點(diǎn)，且P不在x軸上，以點(diǎn)P為圓心，線(xiàn)段PF的長(zhǎng)為半徑的圓弧AF交C的右支于點(diǎn)N．（1）證明：；（2）取，若直線(xiàn)PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點(diǎn)，過(guò)E作l的垂線(xiàn)，垂足為R，試判斷直線(xiàn)DR是否過(guò)定點(diǎn)若是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．22．（本小題滿(mǎn)分12分）我們把直線(xiàn)叫做橢圓的上準(zhǔn)線(xiàn)．已知一列橢圓的上、下焦點(diǎn)分別是，若橢圓上有一點(diǎn)，使得到上準(zhǔn)線(xiàn)的距離是與的等差中項(xiàng)，（1）當(dāng)取最大值時(shí)，求橢圓的離心率；（2）取，并用表示的面積，請(qǐng)?zhí)剿鲾?shù)列的單調(diào)性．2023年重慶重點(diǎn)中學(xué)高2025屆高二上期半期考試數(shù)學(xué)參考答案一、單項(xiàng)選擇題1-4BCAD4-8CBAB8，由拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)可知，反射光線(xiàn)必經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F，設(shè)P處的切線(xiàn)與x軸交于N點(diǎn)，則，，，而，，即，，的軌跡為以F為圓心，以1為半徑的圓，故．二、多項(xiàng)選擇題9．ACD10．AB11．BCD12．ABC12．對(duì)A：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，而，故，可知對(duì)，即，即，故數(shù)列是遞增數(shù)列，A正確；對(duì)B：，由A知：對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，B正確；對(duì)C：，則，而，即，，即，故，可得，C正確；對(duì)D：，而，則，故，可得，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，，故．則，D錯(cuò)誤；三、填空題13．314．15．16．16．由題意可知，以y軸和為漸近線(xiàn)，其夾角為，故旋轉(zhuǎn)后雙曲線(xiàn)的一條漸近線(xiàn)傾斜角為，故雙曲線(xiàn)離心率．四、解答題17．解：（1）由條件知，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，又由題有，聯(lián)立解得5分（2）由（1）知?jiǎng)t10分18解：（1）由題有，則，同理，有，則平面PAC，是AC的中點(diǎn)．又，則，又，則，則6分（2）由（1）知，故以P為原點(diǎn)PB為x軸，PA為y軸，PC為z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則．易知，平面PBC，故平面PBC的一個(gè)法向量為．，設(shè)平面ABC的法向量為則，取設(shè)所求二面角的平面角為，則12分19．解：（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得，；化簡(jiǎn)得，即C的軌跡方程為；（2）法一：設(shè)W的中點(diǎn)為Q，后面用點(diǎn)差法來(lái)處理，比法二簡(jiǎn)潔很多．法二：由題意知直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí)，不妨取，此時(shí)；直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)MW的方程為，聯(lián)立，整理得，由于直線(xiàn)過(guò)內(nèi)一點(diǎn)，必有，設(shè)，則，則，由于，故，，綜合以上可知．12分20．解：3分（1），則6分（2）；若存在，使得為等差9分，則，故數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之間成等差，偶數(shù)項(xiàng)之間也成等差，其公差均為2．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，；綜上，適合題意．12分21解：（1）證明：過(guò)N作l的垂線(xiàn)，垂足為H，且與圓弧AF交于點(diǎn)M，則，連接AM，PM，NF．因?yàn)樵趫AP中，，所以．由題易知右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則，整理得．因?yàn)椋?，所以．【這里若學(xué)生用雙曲